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% https://tex.stackexchange.com/questions/7208/how-to-vertically-center-the-text-of-the-cells/
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\begin{document}
\title{Algunas aplicaciones de ÓÓ. EE. dispersivos}
\author[carleos]{Carlos Carleos\\\textit{Dep"o Estadística e Investigación
  Operativa\\y Didáctica de la Matemática}\\U. Oviedo}
\date[2024-11-21]{\textsc{21 nov 2024 in memoriam Miguel López-Díaz}}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Índice}
  \tableofcontents[hideallsubsections]
\end{frame}

\section{Introducción}

\subsection{Mi genealogía académica}

\begin{frame}
  \tItulo
  \centering
  \begin{tabular}{lc}
  \centered{1993: Pedro Gil}         & \centered{\includegraphics[width=4em]{graf/pedro-gil-fuzzy.png}} \\ 
  \centered{1996: Ángeles Gil    }   & \centered{\includegraphics[height=5ex]{graf/Angeles-gil-fuzzy.png}} \\ 
  \centered{1999: Norberto Corral}   & \centered{\includegraphics[height=5ex]{graf/norberto-corral-fuzzy.png}} \\
  \centered{2004: Asun Lubiano   }   & \centered{\includegraphics[height=8ex]{graf/asun-bordif.png}} \\ 
  \centered{2008: Miguel López-Díaz} & \centered{\includegraphics[height=10ex]{graf/miguel.png}}
  \end{tabular}
  
  \imgsrc*[Imágenes]{ \tt elcomercio.es / rac.es / lne.es / uniovi.es}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\subsection{{Orden determinista}}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item orden: relación reflexiva, antisimétrica, transitiva
  \item orden total: $\forall$ $(x,y)$, $x\le y$ o bien $y\le x$
  \item $x$, $y$ $\in$ $\mathbb R$ ; $x\le y$ :
  \end{itemize}
  \includegraphics{graf/pdf/01-orden-simple}{}{}
\end{frame}

\subsection{Orden estocástico}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item orden ¿total? entre variables aleatorias
  \item $X\leE Y \deflecha E(X)\le E(Y)$ 
  \end{itemize}
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-puntos-sep-}{1}{100}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-hist-sep}{}{}\\[-5ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-medias-sep}{}{}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item orden ¿total? entre variables aleatorias
  \item $X\leE Y \deflecha E(X)\le E(Y) \notimplies \text{mediana}(X)\le\text{mediana}(Y)$, etc.
  \end{itemize}
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-puntos-jun-}{1}{100}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-hist-jun}{}{}\\[-5ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-medias-jun}{}{}
\end{frame}

\subsection{Orden estocástico usual}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item dominancia estocástica (Lehmann 1955)
  \item $X\lest Y \deflecha \forall\,t,\Pr[X>t]\le\Pr[Y>t] \iff F_X\ge F_Y$
  \end{itemize}
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-puntos-sep-}{1}{100}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-hist-sep}{}{}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-ojiva-sep}{}{}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item dominancia estocástica: orden parcial
  \item $X\lest Y \deflecha \forall\,t,\Pr[X>t]\le\Pr[Y>t] \iff F_X\ge F_Y$
  \end{itemize}
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-puntos-jun-}{1}{100}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-hist-jun}{}{}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-ojiva-jun}{}{}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $X\sigue\gausiana{0}{1}$,\quad$Y\sigue\gausiana{5}{2}$,\quad$X\not\lest Y$
  \end{itemize}
  \includegraphics{graf/pdf/02-orden-st-gaus-dens}
  \only<1>{\includegraphics{graf/pdf/02-orden-st-gaus-ojiv0}}
  \only<2>{\includegraphics{graf/pdf/02-orden-st-gaus-ojiv}}
  \only<3>{\includegraphics{graf/pdf/02-orden-st-gaus-ojiv1}}
\end{frame}

\subsection  {Orden estocástico dispersivo}
\imgsrc*{ \tt pxhere.com / mdpi.com}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item a veces, variabilidad más importante que centralización
  \item p.ej. en mejora genética
    \begin{itemize}
    \item<1-> tiempos de maduración
    \item<2> automatización de despiece de canales
    \end{itemize}
    \includegraphics<1>[height=.5\textheight]{graf/florforcejo.jpeg}
    \includegraphics<2>[height=.5\textheight]{graf/canales.png}
  \end{itemize}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\subsection{Orden dispersivo univariante}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item (Shaked 1982) compara recorridos intercuantílicos  % (Saunders y Moran 1978)
    $\Delta {}^\beta_\alpha F^{-1}\colonequals F^{-1}_X(\beta)-F^{-1}_X(\alpha)$
  \item
    $X\ledisp Y \deflecha
    \forall\,0<\alpha<\beta<1,\;\Delta {}^\beta_\alpha F^{-1}_X \le \Delta {}^\beta_\alpha F^{-1}_Y$
  \end{itemize}
%  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/02-orden-estojAstico-puntos-jun-}{1}{100}\\[-2ex]
  \includegraphics{graf/pdf/03-orden-dispersivo-hist.pdf}\\[-2ex]
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasa}{graf/pdf/03-orden-dispersivo-interv}{}{}
\end{frame}

\subsection{Orden dispersivo (multivariante) débil }

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item (Giovagnoli y Wynn 1995) compara distancia entre\\
    dos copias independientes de la misma variable    
  \item $X\leD Y \deflecha \|X_1-X_2\| \lest \|Y_1-Y_2\|$ \quad $\Longleftarrow$ \quad $X\ledisp Y$
  \end{itemize}
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasados}{graf/pdf/03-orden-dispersivo-dEbil}{}{}\\
  \animategraphics[autoplay,loop]{\tasados}{graf/pdf/03-orden-dispersivo-dEbil-ojiva}{}{}
\end{frame}

\subsection{Cómo contrastar$\;\;\;H_0\colon X\lest Y\;\;\; H_1\colon X\not\lest Y$}
\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item Kolmogórov-Smirnov (KS) unilateral
    $$\sup_{-\infty<t<\infty}\hat F_Y(t)-\hat F_X(t)$$
    \only<1>{\centering
      \animategraphics[autoplay,loop]{2}{graf/pdf/03-ks1}{}{}
      }
    \item<2> Wilcoxon--Mann-Whitney (WMW)
    $$\sum _{i=1}^{n_X}\sum_{j=1}^{n_Y} \mathbb1(X_i>Y_j)$$
    consistente si\quad$H_1:\quad X\gtst Y$ $\deflecha$  $Y\lest X\cap X\not\est Y$
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Aplicación: Urogallos}

\frame{\sectionpage}

\subsection{Artículo}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
    \only<2>{  \item Criterio indexado de dispersión para contrastar\\
      diferencias entre sexos en el emparejamiento\\ de los urogallos en cantaderos}
    \only<1>{  \item An indexed dispersion criterion for testing\\
      the sex-biased dispersal of lek mating behavior\\of capercaillies}
  \item \emph{Environmental and Ecological Statistics} 17:283-301
  \item C. Carleos y M. López-Díaz
  \item 2010
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Contexto}
\imgsrc*{ \tt wikimedia.org}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering
  \includegraphics[height=35ex]{graf/urogallo-macho.jpg}
  \includegraphics[height=35ex]{graf/urogallo-hembra.jpg}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{graf/urogallo-dOnde.png}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo\centering
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{graf/urogallo-europa.png}
\end{frame}
\imgsrc*{ \tt irec.es}
\begin{frame}
  \tItulo\centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{graf/urogallo-astur1.png}
\end{frame}
\imgsrc*{ \tt wikimedia.org}
\begin{frame}
  \tItulo\centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{graf/uromacho-cantando.jpg}
\end{frame}
\imgsrc*{ \tt wikimedia.org}
\begin{frame}
  \tItulo\centering
  \includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf/cantadero.png}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item movimientos de animales influyen en
    \begin{itemize}
    \item distribución espacial
    \item estructura genética
    \end{itemize}
    \pause
  \item en muchas especies de aves hay diferencias entre sexos
    \begin{itemize}
    \item hembras se dispersan para escoger macho
    \item minimización de consanguinidad
    \end{itemize}
    \pause
  \item emparejamiento en cantaderos
    \begin{itemize}
    \item territorios donde se congregan machos para cortejo
    \item urogallos: forma circular con diámetro entre 1 hm y 2 hm
    \end{itemize}
    \pause
  \item suposición tradicional
    \begin{itemize}
    \item machos pasan mucho tiempo en cantaderos
    \item hembras entran y salen con frecuencia
    \end{itemize}
    \pause
  \item Mäki-Petäys y col. 2007
    \begin{itemize}
    \item machos y hembras muestran dispersión similar
    \item datos del norte de Finlandia, con abundantes urogallos
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Material}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
%  \item ¿qué ocurre con los urogallos asturianos?
  \item datos suministrados por Mario Quevedo\\
    (Dep"o Biología de Organismos y Sistemas, U. Oviedo)
%  \item datos de la Consejería de Medio Ambiente, Asturias, vía\\
  \item 145 machos, 126 hembras; 1999-2006
  \item coordenadas $(X,Y)$ respecto a los centros de los cantaderos
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Métodos}
\begin{frame}
\tItulo
  \begin{itemize}
  \item se pretende
    \begin{itemize}
    \item ordenar según dispersión del movimiento
    \item que influya sólo el movimento fuera del cantadero
    \end{itemize}    
  \item cantadero de radio $r$ = bola $\bola r{\v x}$ = $\conjunto{\v y}{\norma{\v x-\v y}\le r}$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item distancia de Hausdorff
    $$
    \dh A C \colonequals \max\left\{\sup_{\v a\in A}\inf_{\v c\in C}\norma{\v a-\v c},
      \sup_{\v c\in C}\inf_{\v a\in A}\norma{\v a-\v c}\right\}
    $$
  \end{itemize}
    \centering
    \only<1>{\includegraphics{graf/pdf/03-haus1.pdf}}%
    \only<2>{\includegraphics{graf/pdf/03-haus2.pdf}}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
\tItulo
  \begin{itemize}
  \item distancia de Hausdorff
    $$
    \dh AC = \inf\conjunto{\epsilon\ge0}{A\subset C+\bolaeps{\v 0},C\subset A+\bolaeps{\v 0}}
    $$
  \end{itemize}
  \centering
  \animategraphics[autoplay]{2}{graf/pdf/03-haus3}{}{}
\end{frame}

\begin{frame}
\tItulo
  \begin{itemize}
  % \item distancia de Hausdorff
  %   $$
  %   \dh A C \colonequals \max\left\{\sup_{\v a\in A}\inf_{\v c\in C}\norma{\v a-\v c},
  %     \sup_{\v c\in C}\inf_{\v a\in A}\norma{\v a-\v c}\right\}
  %   $$
  %   $$
  %   \dh AC = \inf\conjunto{\epsilon\ge0}{A\subset C+\bolaeps{\v 0},C\subset A+\bolaeps{\v 0}}
  %   $$
  \item $\tilde{X} = \bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_1\}$\pause
  \item $W^r_{\v X}\colonequals \dh{\tilde X_1}{\tilde X_2}$\\
    $\phantom{W^r_{\v X}} \;\,= \dh{\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_1\}}{\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_2\}}$
    \pause
  \item orden dispersivo de bola de radio $r$
    $$
    \v{X} \leB \v Y\quad \deflecha \quad \tilde{X}\leD\tilde{Y} \quad\iff\quad
     W^r_{\v X} \lest  W^r_{\v Y}
    $$
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Resultados matemáticos}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\v{X} \leB \v Y\iff{}$\\
    $\phantom{\lest}
    \min\bigl\{\norma{\v X_1-\v X_2},\max\{0,\norma{\v X_1-\esper\v X}-r,\norma{\v X_2-\esper\v X}-r\}\bigr\}
    \lest$\\
    $\lest
    \min\bigl\{\norma{\v Y_1-\v Y_2},\max\{0,\norma{\v Y_1-\esper\v Y}-r,\norma{\v Y_2-\esper\v Y}-r\}\bigr\}
    \phantom{\lest}$
  \end{itemize}
  \vspace{-30mm}
  \vbox to 60mm{\animategraphics[autoplay,loop]{.5}{graf/pdf/04-haus4}{}{}}
\end{frame}

 \begin{frame}
   \tItulo
   \begin{itemize}
   \item $\forall \;\v a,\v c\in\mathbb R^d, \quad\v{X} \leB \v Y\iff \v{X}+\v a \leB \v Y + \v c$
     \pause
   \item $\v{X} \leB \v Y\iff \v{X}-\esper X \leB \v Y - \esper\v Y$
     \pause
   \item $|\lambda|\le1\implies \lambda\v X\leB\v X\qquad|\lambda|\ge1\implies \v X\leB\lambda\v X$
     \pause
   \item $\v X \eB -\v X$
     \pause
   \item $\v X \leB \v Y \implies \lambda \v X \leBr{r|\lambda|} \lambda \v Y$
   \end{itemize}
 \end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\m A$, $\m C$ matrices ortogonales, $\v X \leB \v Y \implies \m A\por\v X \leB \m C\por\v Y$
    \pause
  \item $\sigma$, $\tau$ permutaciones,
    $(X_1,...,X_d)\leB(Y_1,...,Y_d)\iff(X_{\sigma(1)},...,X_{\sigma(d)})\leB(Y_{\tau(1)},...,Y_{\tau(d)})$
    \pause
  \item $\v X_m\convergeL\v X$, $\v Y_m\convergeL\v Y$, $\v X_m \leB \v Y_m\implies\v X \leB \v Y$
    \pause
  \item $|W^{r_1}_{\v X}-W^{r_2}_{\v X}| \le 2\por|r_1-r_2|$
    \pause
  \item $r_m\xrightarrow[m\to\infty]{}r$, $\v X\leBr{r_m}\v Y$ $\implies$ $\v X\leB\v Y$
    \pause
  \item $X_1\leB Y_1,\;X_2\leB Y_2 \notimplies (X_1,X_2)\leB(Y_1,Y_2)$\\
    $\because$ producto cartesiano de bolas no es bola
    \pause
  \item $\v X\leBr{r_1}\v Y \notimplies \v X\leBr{r_2}\v Y$\\
    $\because$ la bola $\bola{r}{\esper{\v X}}$ enmascara la distribución de $\v X$ en la bola
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  %\item relación con 
    % \item orden dispersivo débil
    %   $$
    %   \v X\leD\v Y\deflecha \|X_1-X_2\| \lest \|Y_1-Y_2\| \quad\Longleftarrow\quad \v X\leSD\v Y
    %   $$
    % \item orden de Hausdorff (López-Díaz 2006)
    %   $$ V^r_{\v X} \colonequals
    %   \dh{\hull \bigl[\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_1\} \bigr]}
    %   {\hull \bigl[\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_2\} \bigr]}
    %   $$
    %   $$
    %   \v X \leH \v Y \iff V^r_{\v X} \lest V^r_{\v Y}
    %   $$
    %\end{itemize}
  \item sea
    $$
    \v X\leSD\v Y\deflecha \exists\,g\colon\mathbb R^d\to\mathbb R^d\text{ contracción},\;\v X\est g(\v Y)
    $$
    el orden dispersivo fuerte; \\entonces si $g(\v Y)=\v A\por\v Y+\v c$
    %, $\v A$ matriz, $\v c\in\mathbb R^d$
    $$\v X\leSD\v Y \implies \v X\leB\v Y\quad\forall\,r$$
  \end{itemize}  
\end{frame}
\subsection{Resultados de la aplicación}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item variable: posición $\mathbb R^2$ de urogallo respecto a su cantadero
    \begin{itemize}
    \item considerar el cantadero como una unidad
    \end{itemize}
    \pause
  \item $\v H$ posición de hembras ; $\v M$ posición de machos
    \begin{itemize}
    \item $H_0:$ dispersión de $\v H$ = dispersión de $\v M$ 
    \item $H_1:$ dispersión de $\v H$ > dispersión de $\v M$
    \item consideraremos los conjuntos aleatorios
      \begin{itemize}
      \item $\{\v H\}\cup\bola{r}{\v 0}$
      \item $\{\v M\}\cup\bola{r}{\v 0}$
      \end{itemize}
    \end{itemize}
    \pause
  \item $r$ radio (hm) del cantadero, $0.5<r<1$ considerado fijo\pause
  % \item $H_0:\esper{\v H}=\v0$, $H_1:\esper{\v H}\not=\v0
  %   \xrightarrow{\text{t-test}} \text{Pval = $0.16,0.40$}\implies H_0$\pause
  % \item $H_0:\esper{\v M}=\v0$, $H_1:\esper{\v M}\not=\v0
  %   \xrightarrow{\text{t-test}} \text{Pval = $0.63,0.14$}\implies H_0$
  \item $t$-test
    \begin{center}
      \begin{tabular}{ccccc}
        &       & \multicolumn{2}{c}{$P$-valor} \\
        $H_0$ & $H_1$ & abscisa & ordenada \\ \hline
        $\esper{\v H}=\v0$ & $\esper{\v H}\not=\v0$ & $0.16$ & $0.40$ \\
        $\esper{\v M}=\v0$ & $\esper{\v M}\not=\v0$ & $0.63$ & $0.14$
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item dispersión similar \quad=\quad $\v H\leB\v M$ y $\v M\leB\v H$ simultáneamente\pause
  \item procedimiento
    \begin{itemize}
    \item $H_0:\v M\leB\v H \quad H_1:\v M\not\leB\v H\quad
      \xrightarrow{\text{WMW}} \quad H_0 \;\forall\,r$
    \item $H_0:\v H\leB\v M \quad H_1:\v H\not\leB\v M\quad
      \xrightarrow{\text{WMW}} \quad H_0 \;\forall\,r$
    \item %$\v M\leB\v H\cap \v H\leB\v M$
      $\portanto\v H\eB\v M$ como
    Mäki-Petäys y col. 2007
    \end{itemize}\pause
  \item MWM requiere variables continuas, por lo que se definen
    $$
    Z_{\v X}^r \colonequals
    \begin{cases}
      W_{\v X}^r & \text{si }W_{\v X}^r>0\\
      U & \text{si }W_{\v X}^r=0\\
    \end{cases}
    $$
    con $U\sigue\uniforme01$ y se demuestra que
    \begin{itemize}
    \item $Z_{\v X}^r \lest Z_{\v Y}^r \implies W_{\v X}^r \lest W_{\v Y}^r$
    \item $Z_{\v X}^r \not\lest Z_{\v Y}^r \implies W_{\v X}^r \not\lest W_{\v Y}^r$
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $ W^r_{\v X} \colonequals \dh{\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_1\}}{\bola{r}{\esper{\v X}}\cup\{\v X_2\}}$
  \item cada muestra $(\v x_1,...,\v x_n)$ de $\v M$ y $\v H$ \\
    se baraja $(\v x_1',...,\v x_n')\colonequals(\v x_{\sigma(1)},...,\v x_{\sigma(n)})$
    con $\sigma$ permutación\\
    y se divide en
    \begin{itemize}
    \item $(\v x_1',...,\v x_{n/2}')$ para $\v X_1$
    \item $(\v x'_{n/2+1},...,\v x'_n)$ para $\v X_2$
    \end{itemize}\pause
%  \item criterio de Bonferroni
%  \item nivel de significación $\alpha=0.1$ global por precacución
  \item se mantuvo $H_0$ para todo $r\in[0.5,1]$
  \end{itemize}
\end{frame}

\imgsrc*{ \tt lne.es}
\begin{frame}
  \frametitle{Resultados de la aplicación}
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{graf/miguel-lne.png}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\section{Aplicación: Mastitis}

\frame{\sectionpage}

\subsection{Artículo}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \only<1>{\item A stochastic order of shape variability with an application to cell nuclei involved in mastitis}
  \only<2>{\item Orden estocástico de variabilidad de formas con aplicación a núcleos celulares
  involucrados en mastitis}
  \item \emph{Journal of Mathematical Imaging and Vision} 38:95-107
  \item C. Carleos, M.C. López-Díaz y M. López-Díaz
  \item 2010
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Resumen}
\imgsrc*{ Área de Tecnología Electrónica (U. Oviedo)}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item inflamación de la ubre ; obstrucción de conductos lácteos
  \item células somáticas en la leche
  \end{itemize}
  \bigskip
  \centering
  \begin{tabular}{cp{5em}cc}
    células epiteliales
    && \multicolumn{2}{c}{leucocitos} \\
    \includegraphics[height=10ex]{graf/epitelial1.eps}\rule{0pt}{13ex}
    && \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco1-basofilo.eps}
    & \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco3-neutrofilo.eps} \\
    \includegraphics[height=10ex]{graf/epitelial2.eps}\rule{0pt}{13ex}
    && \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco4.eps}
    & \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco5.eps}
  \end{tabular}
\end{frame}
\imgsrc*{off}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item variabilidad de formas de curvas bidimensionales cerradas
  \item contraste de hipótesis sobre variabilidad de forma
  \item aplicación a imágenes de núcleos celulares en leche
  \item comparación entre vacas sanas y vacas con mastitis
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Preliminares}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item forma: información geométrica restante una vez se prescinde de localización, escala y rotación
  \item a menudo en medicina, formas regulares\\ (con poca variabilidad) indican salud
    \begin{itemize}
    \item endotelio de la córnea
    \item neuronas cerebrales
    \item ...
    \end{itemize}
  \item imagen $\xrightarrow{\text{frontera}}$ curva $\xrightarrow{\text{parametrización}}$ curvatura
  \item la curvatura determina la variación de una curva plana
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Curvas}

\imgsrc*[Imágenes]{ \tt wolfram.com / stackexchange.com}
\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item curva $\c r\colon[a,b]\to\mathbb R^2$, $[a,b]\subset\mathbb R$ intervalo\pause
  \item $\c r$ es parametrización\pause
  \item $\c r_1$ y $\c r_2$ son parametrizaciones equivalentes\\
    si $\exists\,f$ biyectiva, $\c r_1=\c r_2\circ f$\pause
  \item una curva es simple si $\forall\,a<c_1<c_2<b$, $\c r(c_1)\not=\c r(c_2)$
    \only<4>{

      \bigskip
          
      \includegraphics{graf/pdf/curvas-simples}

      \bigskip
      
      \qquad curvas simples\qquad\qquad\quad curvas no simples
    }
    \only<5->{
    \item<5-> una curva es cerrada si $\c r(a)=\c r(b)$
    \item<6-> una parametrización $\c r=(x,y)$ es regular si es derivable
      y $\norma{\dot{\c r}(c)}\neq0$, $\forall\,c\in(a,b)$
    }
    \only<6>{

      \bigskip

      \begin{center}\includegraphics[width=.6\textwidth]{graf/regular.png}\end{center}
      }
    \only<7>{
    \item<7> $C^p$ clase de curvas con parametrización $p$ veces diferenciable y $p$-ésima derivada continua
    }
  \end{itemize}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item la parametrización $\c r$ es por longitud de arco si $\forall\,c$, $\norma{\dot{\c r}(c)}=1$\pause
  \item toda parametrización p.l.d.a. es regular\pause
  \item toda curva $C^1$ admite parametrización p.l.d.a.\pause
  \item dada $\c r\colon[a,b]\to\R^2$ parametrización regular, sea
    $$
    g(c)=\int_a^c \norma{\dot{\c r}(t)}\d t
    $$
    entonces $\c r\circ g^{-1}$ es parametrización p.l.d.a.\pause
  \item $\c r\colon[0,L]\to\R^2$ es parametrización p.l.d.a. \\$\implies$ $L$ es la longitud de la curva\pause
  \item $\c r\colon[a,b]\to\R^2$ parametrización p.l.d.a., $g(t)=a(1-t)+bt$ \\
    $\implies$ $\c r\circ g\colon[0,1]\to\R^2$ parametrización equivalente a $\c r$
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsubsection{Curvatura}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\c r$ parametrización p.l.d.a. $\implies$ $\|\ddot{\c r}\|=\|\dot{\dot{\c r}}\|$ curvatura
  \item $1/\|\ddot{\c r}\|$ es el radio de curvatura
  \end{itemize}
  \centering
  \includegraphics{graf/pdf/05-curvatura}
\end{frame}

\subsection{Variabilidad de formas}\subsubsection{}
\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\mathcal K$ \colonequals{} conjuntos compactos de $\R^2$ cuya frontera es una curva
    simple regular cerrada\pause
  \item $K\in\mathcal K$\pause
  \item $\c sK$ \colonequals{} centroide de Steiner = centro de gravedad\pause
  \item $\c r_K:[0,1]\to\R^2$ parametrización regular de la frontera de $K$ tal que
    $\c r_K(0)=(a,0)$, $a=\sup\{x\mid\c sK+(x,0)\in K\}$ ;

    \only<4>{
      \includegraphics{graf/pdf/05-steinera.pdf}
      }
    \only<5->{$\c r_k$ es la $\mathcal K$-parametrización\pause
  \item $L_K$ longitud de $K$\pause
  \item $\c l_k:[0,L_K]\to\R^2$ parametrización p.l.d.a.\pause
  \item $\psi_K$ curvatura}
  % \item $d(K_1,K_2)\colonequals\displaystyle
  %   \sup_{0<t<1}\norma{\bigl(r_{K_1}(t),\psi_{K_1}(t)\bigr)-\bigl(r_{K_2}(t),\psi_{K_2}(t)\bigr)}$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  % \item $d(K_1,K_2)$ es una medida
  % \item $\delta(r_1,r_2)$ \colonequals{} $\sup_{0<t<1}\|g_1(t)-g_2(t)\|$
  \item $X\colon\Omega\to\mathcal K$ conjunto aleatorio\pause
  \item $\c r_X$ es la $\mathcal K$-parametrización de la frontera de $X$\pause
  \item $\psi_X$ es la curvatura de la frontera de  $X$\pause
  \item $X$ tendrá forma muy variable si curvatura cambia mucho\pause
  \item sea $f$ estrictamente convexa con $f(1)=0$\\
    p.ej. $f(t)=(t-1)^2$
    \only<5>{
      \begin{center}
        \includegraphics{graf/pdf/05-convexa}
      \end{center}}
    \only<6>{
  \item se define $X\lesv Y\iff \nabla^X\leD\nabla^Y$ donde
    $$\nabla^X\colonequals \int_0^1 f\Bigg({{\psi}_{X}(t) \over \int_0^1 {\psi}_{X}(t)  \, \d t}  \Bigg) \d t$$}
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Resultados matemáticos}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $X\esv X+\v c\quad\forall\,\v c\in\R^2$ (orden preservado por traslaciones)\pause
  \item $X\esv \lambda X\quad\forall\,\lambda\in\R$ (preservado por producto por escalar)\pause
  \item $X\esv \v AX\quad\forall\,\v A$ ortogonal $2\times2$ (preservado por rotaciones)\pause
  \item preservado por convergencia débil\\
    $X_m\convergeD X$, $Y_m\convergeD Y$, $\forall\,m\colon X_m\lesv Y_m$ $\implies$ $X\lesv Y$
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Resultados de la aplicación}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item aplicación a microscopía veterinaria\pause
  \item producción láctea bovina\pause
  \item se rechaza o penaliza la leche de vacas con mastitis \pause
  \item indicadores de mastitis
    \begin{itemize}
    \item alto recuento de células somáticas (epiteliales + leucocitos)
    \item alta proporción de leucocitos entre las células somáticas
    \end{itemize}\pause
  \item tinción de núcleos celulares $\to$ visibles al microscopio
    \begin{itemize}
    \item epiteliales: forma redondeada
    \item leucocitarios: formas variadas\\ (eosinófilos, neutrófilos, linfocitos...)
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}
\imgsrc*{ Área de Tecnología Electrónica (U. Oviedo)}
\subsubsection{Material}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $n_X=23$, $n_Y=42$
  \end{itemize}

  \bigskip
  
  \centering
  \begin{tabular}{cp{2em}cc}
    células epiteliales
    && \multicolumn{2}{c}{leucocitos} \\
    \includegraphics[height=10ex]{graf/epitelial1.eps}\rule{0pt}{13ex}
    && \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco1-basofilo.eps}
    & \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco3-neutrofilo.eps} \\
    \includegraphics[height=10ex]{graf/epitelial2.eps}\rule{0pt}{13ex}
    && \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco4.eps}
    & \includegraphics[height=10ex]{graf/leuco5.eps}
  \end{tabular}
\end{frame}

\subsubsection{Métodos}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering
  \includegraphics[height=20ex]{graf/leuco1-ruta.eps}
  \includegraphics[height=20ex]{graf/leuco3-ruta.eps}
  
  \includegraphics[height=20ex]{graf/leuco4-ruta.eps}
  \includegraphics[height=20ex]{graf/leuco5-ruta.eps}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\subsubsection{Métodos y conclusión}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $X$ núcleos de células somáticas en leche de animales sanos\\ $Y$ ídem con mastitis\pause
  \item $Y\lesv X\iff\nabla^Y\leD\nabla^X\iff
    \left|\nabla^{Y_1}-\nabla^{Y_2}\right|\lest\left|\nabla^{X_1}-\nabla^{X_2}\right|$\pause
  \item 10.000 aleatorizaciones $(X_1,X_2,Y_1,Y_2)$\pause
  \item $H_0: Y\lesv X$, $H_1: Y\not\lesv X$\pause
  \item $P$-valores entre $0.1$ y $0.2$ $\therefore$ $H_0$
  \item recurrir al recuento de células somáticas
  \end{itemize}
\end{frame}
  
\section{Aplicación: \textsc{Elisa}}

\frame{\sectionpage}

\subsection{Artículo}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
\only<1>{\item Testing usability of a user interface in an embedded device for \textsc{elisa} plate analysis}
\only<2>{\item Prueba de usabilidad de interfaz de usuario en un dispositivo empotrado para
    analizar placas \textsc{elisa}}
  \item \emph{Computers and Electronics in Agriculture} 76:325-330
  \item J.Á. Baro, C. Carleos, M.C. López-Díaz y M. López-Díaz
  \item 2011
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Contexto}
\subsubsection{Placa \sc elisa}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering\includegraphics[width=.9\textwidth]{graf/elisa/bildo/Microtiter_plate.eps}
\end{frame}
\subsubsection{}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item placa \textsc{elisa}
    \begin{itemize}
    \item para detectar productos proteicos
    \item $8\times12$ pozuelos
    \end{itemize}\pause
  \item \emph{software} diagnóstico caro\pause
  \item PDA como alternativa\pause
  \item cuatro toques para calibrar\pause
  \item elección de método de entrada: dedo o puntero
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsubsection{Placa {\sc elisa} procesada}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering\includegraphics[width=.9\textwidth]{graf/elisa/bildo/dsc01483.eps}
\end{frame}
\subsubsection{{\sc p.d.a. n800} de Nokia}
\imgsrc*{ \tt wikimedia.org}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering\includegraphics[height=.8\textheight]{graf/elisa/bildo/N800.eps}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
% \begin{frame}
%   \frametitle{Contexto: {\sc p.d.a. n810} de Nokia}
%   \includegraphics[height=.8\textheight]{graf/elisa/bildo/N810.eps}
% \end{frame}
\subsubsection{}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item no se podían encontrar automáticamente\\ los pozuelos de forma robusta
  \item el usuario debía clicar\\ sobre los cuatro pozuelos de las esquinas
  \end{itemize}
%  \centering\includegraphics[height=.5\textheight]{graf/elisa/bildo/elisator.eps}
\end{frame}
\subsubsection{Versión en desarrollo: dos cruces, una al clicar y otra al soltar}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering\includegraphics[height=.8\textheight]{graf/elisa/bildo/elisator.eps}
\end{frame}
\subsection{Planteamiento}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item se consideran los siguientes criterios
    \begin{itemize}
    \item se consideran todos los pozuelos, no sólo los de las esquinas;\\
      se calculan $8\times12=96$ puntos
    \item para cada pozuelo, se considera éxito \\ si el punto correspondiente \\ cae dentro del
      borde circular del pozuelo; \\ nuestra medida dará el mismo valor independientemente \\ de si
      el punto cae cerca del centro o cerca del borde
    \item si el punto cae fuera del pozuelo, cuanto más lejos, peor
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Material}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $29$ fotos de placas \textsc{elisa}
  \item 2 \textsc{pda} distintas: N800 y N810
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Métodos}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item el usuario marca cuatro puntos sobre la pantalla\pause
  \item se ajusta un rectángulo a esos puntos\pause
  \item se calculan los centros de los pozuelos \\ ajustados a ese rectángulo\pause
  \item procedimiento estadístico
  \begin{itemize}
  \item heurístico
  \item alternativas
    \begin{itemize}
    \item corrección 3D de perspectiva (poco robusto)
    \item cálculo píxel a píxel (demasiado intensivo para N800)
    \end{itemize}
  \item sea $d$ el diámetro de cada pozuelo: rectángulo $7d\times11d$
  \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsubsection{Ajustar rectángulo}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering\includegraphics[height=.8\textheight]{graf/elisa/Rectangulo.eps}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
\begin{itemize}
\item ángulos
  \begin{eqnarray*}
    \alpha &=& \arctg {11 \over 7}   \\
    \beta  &=& 2 \arctg {11 \over 7} \\
    \gamma &=& 180\degree -2 \arctg {11 \over 7}
  \end{eqnarray*}
\item distancia entre centro y cualquier vértice = ${d\sqrt{170}\over 2}$
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\v v_0, \v v_1,\v v_2,\v v_3$ = entrada del usuario, $\v v_i=(x_i,y_i)$
  \item $\v c=(c_x,c_y)$
  \end{itemize}
  \centering \includegraphics[height=.6\textheight]{graf/elisa/Vertices1.eps} 
\end{frame}

\subsubsection{Ajustar rectángulo: algoritmo}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item rotar $\overrightarrow{\v v_0\v v_2}$ y  $\overrightarrow{\v v_1\v v_3}$ respecto a $\v c$
    con ángulo $\frac{|\gamma'-\gamma|}2$
  \item vértices a distancia $\frac12d\sqrt{170}$ desde $\v c$ en las 4 direcciones
  \end{itemize}
  \centering \includegraphics[height=.631\textheight]{graf/elisa/Vertices2.eps}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
    \item
      $\gamma'=\arccos { \overrightarrow{\v v_0\v v_2}\cdot
        \overrightarrow{\v v_1\v v_3} \over \Vert
        \overrightarrow{\v v_0\v v_2}\Vert \cdot \Vert
        \overrightarrow{\v v_1\v v_3}\Vert}$ \pause
    \item si p.ej. $\gamma' >\gamma$,  $\theta\colonequals{1\over 2}(\gamma'-\gamma)$\pause
    \item matriz de rotación p.ej. para $i\in\{0,2\}$
      $$
      \left(
        \begin{matrix}
          \cos \theta & -\sen \theta  \\
          \sen \theta & \cos \theta  \\
        \end{matrix}\right)
      \left(
        \begin{matrix}
          x_i-c_x  \\
          y_i-c_y  \\
        \end{matrix}\right)\equalscolon\left(
        \begin{matrix}
          \bar x_i  \\
          \bar y_i  \\
        \end{matrix}\right)\equalscolon\bar {\v v}_i$$\pause
    \item $\omega_i$ centro del pozuelo de la esquina $i\in\{0,1,2,3\}$
      \begin{eqnarray*}
        \v{d}_i&\colonequals&{\overrightarrow{\v c \bar {\v v}_i} \over \Vert
                                \overrightarrow{\v c \bar {\v v}_i}\Vert} {1\over 2} d\sqrt{170}\\
        \omega_i&=&\v c+\v{d}_i
      \end{eqnarray*}
    \end{itemize}
  \end{frame}
\subsubsection{Distancia entre pozuelos reales y estimados}
\begin{frame}
  \tItulo
  \centering \includegraphics[height=.6\textheight]{graf/elisa/Centros.eps}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\v p_{01n},\, 0\leq n\leq 7$ pozuelos sobre el borde del rectángulo
    $$\v{a}_{01n}\colonequals{\overrightarrow{\omega_0 \omega_1} \over
\Vert \overrightarrow{\omega_0 \omega_1}  \Vert}\cdot n\cdot d=
\overrightarrow{\omega_0\v p_{01n}}$$\pause
\item así, $\v p_{01n}=\v{a}_{01n}+\omega_0$\pause
\item el conjunto de centros de todos los pozuelos es
$$\{\, \v{a}_{03m}+\v p_{01n}  \mid 0\leq n \leq 7,\, \, 0\leq m\leq 11\, \}$$
donde
$$\v{a}_{03m}={\overrightarrow{\omega_0 \omega_3} \over \Vert \overrightarrow{\omega_0
\omega_3} \Vert }\cdot m\cdot d$$\pause
\item para simplificar notación $$\v c_{nm}\colonequals\v{a}_{03m}+\v p_{01n}$$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\tItulo
  \begin{itemize}
  \item sean $\{\v f_{nm}\}_{ \{0\leq n \leq 7,\, \, 0\leq m\leq 11\}}$\\
    los centros de los pozuelos reales, \\obtenidos con un procedimiento similar \\al descrito
    para los pozuelos estimados\pause
  \item la suma $D$ de distancias entre centros reales y estimados es
    $$D=\sum_{n=0}^7 \sum_{m=0}^{11}
    \big( \Vert \v c_{nm}-\v f_{nm} \Vert-{\textstyle\frac d2} \big)
    I_{[{d/2},\infty]}\big(\Vert \v c_{nm}-\v f_{nm} \Vert \big)$$
    donde $I$ es la indicatriz\pause
  \item si $\v c_{nm}$ pertenece al pozuelo, su sumando vale cero\pause
  \item si $\v c_{nm}$ no pertenece al pozuelo, \\su sumando es la distancia de $\v c_{nm}$ al pozuelo
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsubsection{Análisis estadístico}
\begin{frame}[t]
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item clicar con: 1 = puntero, 2 = dedo
  \item $H_0: D_1\est D_2$, \quad$H_1: D_1\lest D_2\cap D_1\not\est D_2$\pause
  \item Kolmogórov-Smirnov y WMW exigen continuidad, \\pero $\Pr(D_1=0)$, $\Pr(D_2=0)$ $>$ $0$
\only<5>{\item sea la variable continua
  \begin{equation*}
    \tilde D_i=
    \left\{
      \begin{array}{ll}
        D_i  & \text{si }D_i>0\\
        U    & \text{si }D_i=0\text{ con }U\sigue\uniforme{-1}{0}
      \end{array}
    \right.
  \end{equation*}}
\end{itemize}
\vspace{-10ex}
\centering
    \only<3>{\includegraphics[width=.8\textwidth]{graf/elisa/hist-pen.eps}}
    \only<4>{\hspace{-1mm}\includegraphics[width=.8\textwidth]{graf/elisa/hist-fin.eps}}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $\tilde D_1 \est \tilde D_2\implies D_1 \est D_2$\pause
  \item $\tilde D_1 \lest \tilde D_2\cap\tilde D_1 \not\est\tilde D_2
    \implies D_1\lest D_2\cap D_1 \not \est D_2$\pause
  \item $H_0:\tilde D_1\est\tilde D_2$, \quad$H_1:\tilde D_1\lest\tilde D_2\cap\tilde D_1\not\est\tilde D_2$
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Resultados}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
   \item $H_0:\tilde D_1\est\tilde D_2$, \quad$H_1:\tilde D_1\lest\tilde D_2\cap\tilde D_1\not\est\tilde D_2$
   \item $\tilde D$ es producto de una trasformación aleatoria\\
     $\to$ se generan 10.000 muestras% $\to$ 10.000 $P$-valores\pause
   \item $P$-valores: KS $0.11$, WMW $0.028$\pause
  %    \begin{tabular}{r|cc}
  %    & KS & MW \\
  %   \hline
  %   mínimo & 0.0004270 & 0.0005355 \\
  %   1\sptext{r} cuartil & 0.0612309 & 0.0149463 \\
  %   mediana & 0.1100416 & 0.0276687 \\
  %   media & 0.0915158 & 0.0348868 \\
  %   3\sptext{r} cuartil & 0.1100416 & 0.0466020 \\
  %   máximo & 0.1100416 & 0.2338620
  % \end{tabular} 
%   \item proporción de $P<0.05$: KS $0.1198$, WMW $0.7866$\pause
   \item MWM más potente; se rechaza $H_0$
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Aplicación: Córnea}

\frame{\sectionpage}

\subsection{Artículo}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \only<1>{\item Ranking star-shaped valued mappings\\
    with respect to shape variability}
  \only<2>{\item Ordenar funciones con valores estrellados\\
    según variabilidad de formas}
  \item \emph{Journal of Mathematical Imaging and Vision} 48:1-12
  \item C. Carleos, M.C. López-Díaz y M. López-Díaz
  \item 2012
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Contexto}
\imgsrc*{Guillermo Ayala (U. Valencia) y Lucía Martínez-Costa (H. Dr. Peset)}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item variabilidad de formas: \\criterio usual en definición de síntomas
  \item oftalmología: endotelio corneal
  \item capa simple de células homogéneas que cubre el interior
  \item las células se remplazan muy despacio
  \item si se pierde una: se alargan o migran células adyacentes
  \item cuanto más homogéneas sean las células,\\
    mejor es el estado de salud del endotelio
    \begin{tabular}{cc}
      sanos&enfermos\\
  \includegraphics [width=.4\textwidth,height=0.15\textheight]{graf/star/e135} &
  \includegraphics [width=.4\textwidth,height=0.15\textheight]{graf/star/e134} \\
  \includegraphics [width=.4\textwidth,height=0.15\textheight]{graf/star/e145} &
  \includegraphics [width=.4\textwidth,height=0.15\textheight]{graf/star/e146}
\end{tabular}
  \end{itemize}
\end{frame}
\imgsrc*{ \tt scielo.br}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item medida clásica: hexagonalidad = \% de células hexagonales

  \end{itemize}
  \centering
  \includegraphics[height=.8\textheight]{graf/star/hexagonalidad.png}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\subsection{Métodos}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item conjuntos estrellados: $\exists\;\v z\in A$, $\forall\,\v x\in A$, $[\v z,\v x]\subset A$
  \end{itemize}

    \centering

    \begin{tabular}{p{.4\textwidth}p{.25\textwidth}p{.25\textwidth}}
      %\rule{.39\textwidth}{1pt}&\rule{.23\textwidth}{1pt}&\rule{.25\textwidth}{1pt}\\
      \centering
      \vspace{3ex}
      {\includegraphics[width=0.22\textwidth]{graf/star/e4.png}}\quad
      \raisebox{2ex}{{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{graf/star/e1.jpg}}}\quad
      {\includegraphics[width=0.17\textwidth]{graf/star/e2.png}}\quad
      {\includegraphics[width=0.15\textwidth]{graf/star/e3.png}}
      &%\vspace{10ex}$\pmb{\leftarrow}$&
      \vspace{4ex}
        {\includegraphics[width=0.22\textwidth]{graf/star/e.pdf}}
     &%\vspace{10ex}$\pmb{\not\rightarrow}$&
      \vspace{3ex}
        {\includegraphics[width=0.24\textwidth]{graf/star/e5.png}}\quad
                                             {\includegraphics[width=0.24\textwidth]{graf/star/e6.png}}\\
      \centering estrellados&&\centering no estrellados
    \end{tabular}
\end{frame}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item \alert{núcleo} de $A$
    $$\nuc A\colonequals\conjunto{\v a\in A}{L\cap A\text{ es un intervalo }
      \forall\,L \text{ recta con } \v a\in L}$$
  \end{itemize}
  \centering
  \includegraphics [width=0.8\textwidth]{graf/star/parte4-6.png}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item función soporte del conjunto $B$
    \begin{eqnarray*}
      \gamma(\cdot, B)\quad :\quad S^{n-1} &\rightarrow& \R\\
      \v u&\mapsto&\gamma(\v u,B)=\sup_{\v b\in B}\langle \v b,\v u\rangle
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
  \begin{overlayarea}{1\textwidth}{.5\textheight}
    \centering
    
    \only<1>{\vspace{-1mm}\includegraphics {graf/star/Dibujo-1.pdf}}
    \only<2>{\hspace{-1mm}\includegraphics {graf/star/Dibujo-2.pdf}}
  \end{overlayarea}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item  $\forall\,\v x \in \R^{n}$, $\forall\,\v u \in S^{n-1}$,
    $\exists\,a_{\v x} \in \R$, $\exists\,\v x'\in \R^n$:\quad $\v x=a_{\v x} \v u+\v x'$,
    $\langle u,x'\rangle=0$ \\
    \uncover<2->{$\therefore$\quad
    $0=\langle \v u,\v x-a_{\v x} \v u\rangle=\langle \v u,\v x\rangle-a_{\v x}\langle \v u, \v u\rangle$\quad}
    \uncover<3->{$\therefore$  \quad $a_{\v x}=\langle \v u,\v x\rangle$}
  \item<4>  $a_{\v x}$ es la proyección escalar ortogonal de $\v x$ sobre la recta $\overline{\v 0\,\v u}$
  \end{itemize}
  \centering

  \vspace{7mm}\includegraphics {graf/star/Dibujo-1.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item 
    $\forall\,B\subset\R^n$ conjunto convexo acotado, $\forall\,\v u\in S^{n-1}$,
    $$
    \gamma(\v u, B)\colonequals\sup_{\v b\in B}\langle \v b,\v u\rangle=
    \sup_{\v b\in B}a_{\v b}
    $$
    %donde $a_{\v b}$ es la proyección escalar ortegonal de $b\in B$ sobre la recta $\overline{0\,u}$
  \end{itemize}
  \centering
  \includegraphics{graf/star/Dibujo-2.pdf}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item centroide de Steiner o centro de gravedad
    $$\v sB=n\int_{S^{n-1}} \v u\gamma(\v u,B)\, \d\mu(\v u)$$\pause
  \item $\gamma(\cdot, B)$ es la función soporte de $B$ sobre $S^{n-1}$\pause
  \item $\mu$ es medida % $S^{n-1}$ proporcional a la medida de Lebesgue
    tal que $\mu(S^{n-1})=1$\pause
%  \item $\v sB \in B$\pause
  \item $\v s(\alpha B+\beta C)= \alpha \v sB+\beta \v sC$\pause
  \item $\v s(\v c+B)=\v c+\v sB$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
\item  $A$ conjunto estrellado $\implies$ $(\nuc A)^\circ$ es convexo
  \item $\tilde A\colonequals A-s(\nuc A)^\circ$
  \item $\tilde A$ es estrellado y $\v 0\in\nuc A$
  \item función radial
    \begin{eqnarray*}
      \rho_A: S^{n-1}&\longrightarrow& \R\\
      \v u&\mapsto& \sup\,\{\alpha \geq 0 \mid \alpha \v u \in \tilde A\}
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo

  \begin{columns}
    \column{.3\textwidth}
    \centering
    \includegraphics [width=0.9\textwidth]{graf/star/parte6-8.png}

    \includegraphics [width=0.9\textwidth]{graf/star/parte6-9.png}
    \column{.69\textwidth}
    \includegraphics [width=0.95\textwidth]{graf/star/parte4-10r.png}
  \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  % \item distancia entre conjuntos estrellados
  %   $$
  %   d(A,C)=\sup_{u\in S^{n-1}}\,|\rho_A(u)-\rho_C(u)|=||\rho_A-\rho_C||_\infty
  %   $$
  \item orden de variabilidad de formas
    \begin{itemize}
    \item $f:(0,\infty) \longrightarrow (0,\infty)$ estrictamente convexa\pause
    \item ${\mathcal S}$ conjuntos estrellados de $\R^n$\pause
    \item $X:\Omega\longrightarrow {\mathcal S}$ conjunto aleatorio\pause
    \item $R^f_X\colonequals\int_{S^{n-1}} f\big({
\rho_{{X}}(\v u) \over \int_{S^{n-1}}
\rho_{{X}}(\v v)  \, \d\mu(\v v)} \big) \,
d\mu(\v u)$\pause
\item $X\lers Y$ $\deflecha$ $R^f_X \leD R^f_Y$
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Resultados matemáticos}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item invariante bajo
    \begin{itemize}
    \item traslaciones: $X+\v c\ers X$
    \item producto por escalar: $\lambda \neq0\implies \lambda X\ers X$
    \item rotaciones: $\v P\text{ ortogonal}\implies \v PX\ers X$
    \end{itemize}
  \item $X_m\convergeD X$, $Y_m\convergeD Y$, $X_m\lers Y_m$ $\implies$ $X\lers Y$
  \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{Resultados de la aplicación}
\subsubsection{Diagnóstico mediante forma celular}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item córnea = tres capas
    \begin{itemize}
    \item epitelio
    \item estroma
    \item endotelio
    \end{itemize}
  \end{itemize}
  \bigskip \centering \includegraphics [width=0.5\textwidth]{graf/star/parte4-1.png}
\end{frame}
\imgsrc*{ \tt wikimedia.org}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item endotelio
    \begin{itemize}
    \item capa simple de células cuboides
    \item sin capacidad de mitosis
    \item su número disminuye con la edad
    \item al morir una, las vecinas crecen y cambian forma (pleomorfismo)
    \item homogeneidad de formas $\propto$ estado de salud
    \end{itemize}
  \end{itemize}
  \bigskip \centering \includegraphics [width=0.7\textwidth]{graf/star/parte4-2.png}
\end{frame}
\imgsrc*{off}
\subsubsection{Contraste de variabilidad de formas}
\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item $X$ = forma de una célula endotelial de invididuo sano
  \item $Y$ = forma de una célula endotelial de invididuo enfermo\pause
  \item se desea demostrar que $X\ltrs Y$ \quad $\therefore$\quad $X\lers Y\cap X\not\ers Y$\pause
    \begin{enumerate}
    \item $H_0:X\lers Y$, $H_1:X\not\lers Y$ y mantener $H_0$
    \item $H_0:X\ers Y$, $H_1:X\not\ers Y$ y rechazar $H_0$\\
      como $X\ers Y\equiv Y\lers X\cap Y\lers X$\\
      basta $H_0:Y\lers X$, $H_1:Y\not\lers X$ y rechazar $H_0$
    \end{enumerate}\pause
  \item $X\lers Y\quad\equiv\quad R^f_X \leD R^f_Y\quad\equiv\quad
    |R^f_{X_1}-R^f_{X_2}|\lest|R^f_{Y_1}-R^f_{Y_2}|$
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \tItulo
  \begin{itemize}
  \item muestra de tamaño $n_X$\\
    $\xrightarrow{\text{$N$ veces}}$ dos muestras de tamaño $n_X/2$ de $X_1$ y $X_2$\pause
%  \item Kolmogórov-Smirnov, Wilcoxon--Mann-Whitney %\\ $\to$ $N$ $P$-valores $\to$ $P$-valor mediano\pause
  \item $f(x)=x^{k}$ para $k=2,10,20$\pause
  \item material
    \begin{itemize}
    \item $n_X=7{.}143$, $n_Y=4{.}052$
    \end{itemize}\pause
  \item resultado
    \begin{itemize}
    \item $H_0:X\lers Y$, $H_1:X\not\lers Y$ $\to$ $P$-val$>0.9$
    \item $H_0:Y\lers X$, $H_1:Y\not\lers X$ $\to$ $P$-val\quad
      \begin{tabular}{r|ccc}
        $k$&  K-S & WMW \\
        \hline
        \phantom{0}2  &  $0.103$ & $0.066$\rule{0pt}{2.4ex}\\
        10  &  $0.063$ & \alert{$0.046$} \\
        20  &  $0.071$ & \alert{$0.031$} \\\hline
        \text{\% hex} &  $0.222$ &  $0.132$
      \end{tabular}
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{frame}

\section{Agradecimientos}
\frame{\sectionpage}

\begin{frame}
  \frametitle{Agradecimientos}
  \begin{itemize}
    \item Guillermo Ayala (U. Valencia)
    \item Lucía Martínez-Costa (Hospital Dr. Peset)
    \item María Concepción López-Díaz (U. Oviedo)
    \item Mario Quevedo (U. Oviedo)
    \item Norberto Corral (U. Oviedo)
    \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
