\documentclass[t]{beamer}
\title{Cuestiones de repaso}
\subtitle{Inferencia Estadística}
\date{Curso 2021-22}
\author{Facultad de Ciencias}
\institute{Universidad Oviedo}
\usepackage[utf8]{inputenc} % necesario en versiones antiguas de beamer
\usepackage[frenchstyle]{kpfonts} % contiene \coloneqq;
% frenchstyle hace que la \D sea recta (y las mayúsculas y las griegas)
\usefonttheme{serif} % con default no se usa kpfont en \ln por ejemplo
\usepackage{dsfont} % para \mathds{1}
\usepackage[spanish]{babel}
\spanishdecimal{\raisebox{1.25ex}{,}}
\usepackage{pgfplots} % para tikzpicture
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\sigue}{\sim}%{\stackrel{\mathcal L}{=}}%{\leadsto}
\newcommand{\implica}{\Longrightarrow}
\newcommand{\binomial}[2]{\mathcal{B}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\gausiana}[2]{\mathcal{N}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\exponencial}[1]{\text{Exp}\left(#1\right)}
\newcommand{\disbeta}[2]{\beta\left(#1,#2\right)}
\newenvironment{solucion}{\begin{quote}}{\end{quote}}
\newcommand{\f}[1]{f_X\left(#1\right)}
\newcommand{\F}[1]{F_X\left(#1\right)}
\newcommand{\fY}[1]{f_Y\left(#1\right)}
\newcommand{\FY}[1]{F_Y\left(#1\right)}
\newcommand{\fGamma}[1]{\Gamma\left(#1\right)}
\newcommand{\indicatriz}[2]{\mathds{1}_{#1}\left(#2\right)}
\newcommand{\Rmas}{(0,\infty)}
\newcommand{\pr}[1]{P\left[#1\right]}
\newcommand{\esperanza}[1]{\mathcal{E}\left[#1\right]}
\newcommand{\varianza}[1]{\text{Var}\left[#1\right]}
\newcommand{\covarianza}[2]{\text{Cov}\left[#1,#2\right]}
\newcommand{\primeval}[3]{\left|#1\right|_{#2}^{#3}} % primitiva evaluada
\begin{document}
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{4. Distribución triangular}
  Sea $X$ una variable aleatoria con función de densidad
  \begin{displaymath}
    \f{x}=
    \begin{cases}
      x & \text{si }0<x<1 \\
      2-x & \text{si }1\leq x<2 \\
      0 & \text{en otro caso}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  Calcula su función de distribución, su media y su varianza.  Calcula
  las siguientes probabilidades: $\pr{X\leq 0.5}$ y $\pr{X>1}$.
  \begin{center}
  \uncover<2->
  {
    \setlength{\unitlength}{1.5cm}
    \begin{picture}(2,2)
      \put(-0.5,0){\vector(1,0){3}}
      \put(0,-0.5){\vector(0,1){2}}
      \put(-0.2,-0.25){0}
      \put(0.95,-0.25){1}
      \put(1.95,-0.25){2}
      \put(-.2,.95){1}
      \only<3>{
      \multiput(0,1)(0.2,0){10}{\line(1,0){0.1}}
      \thicklines
      \put(0,0){\line(1,1){1}}
      \put(1,1){\line(1,-1){1}}}
    \end{picture}
  }
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{4. Triangular: función de distribución}

    \begin{equation*}
      \F{x}=\int_{-\infty}^x \f{t}\D{t}
    \end{equation*}

  \[
    \F{x}=
    \begin{cases}
      \uncover<2->{\displaystyle \int_{-\infty}^x 0 \D{t}=0} & x<0\\[3ex]
      \uncover<3->{\displaystyle
        \int_0^x t\D{t}=\primeval{\frac{t^2}2}{t=0}{t=x}=
        \frac{x^2}2} & 0\leq x<1\\[3ex]
      \uncover<4->{\displaystyle
        \begin{array}[b]{c}
          \displaystyle\frac12+\int_1^x(2-t)\D{t} = \frac12+
          \primeval{2t-\frac{t^2}2}{t=1}{t=x} =\\[3ex]
          \displaystyle=\frac12+ 2x-\frac{x^2}2-\frac32=2x-\frac{x^2}2-1
        \end{array}
      } & 1\leq x<2\\[3ex]
      \uncover<5->{\;1} & 2\leq x
    \end{cases}
  \]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{4. Triangular: función de distribución}
  \vspace*{5ex}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
      xmin=-1.5, xmax=3.5,
      ymin=-.5, ymax=1.5,
      axis line style=->]
      \addplot[blue,<-] expression[domain=-1:0,samples=10]{0};
      \addplot[blue]expression[domain=0:1,samples=10]{x^2/2};
      \addplot[blue]expression[domain=1:2,samples=10]{2*x-x^2/2-1};
      \addplot[blue,->]expression[domain=2:3,samples=10]{1};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{4. Triangular: media}
  \[
    \esperanza{X} = \int_{-\infty}^{\infty} x\f{x}\D{x} =
  \]
  \pause
  \[
    =  \int_0^1 x x\D{x} + \int_1^2 x (2-x)\D{x}=
  \]
  \pause\[
    =  \int_0^1 x^2\D{x} + \int_1^2 (2x-x^2)\D{x}=
  \]
  \pause\[
    = \primeval{\frac{x^3}3}{x=0}{x=1}+ \primeval{x^2-\frac{x^3}3}{x=1}{x=2}=
  \]
  \pause\[=\frac13-0\quad+\quad4-\frac83-\left(1-\frac13\right)=\]
  \pause\[=\frac13+\frac{12}3-\frac83-\frac23=\frac33=1\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{4. Triangular: varianza}
  \[
    \varianza{X} = \esperanza{X^2} - \left(\esperanza{X}\right)^2=
    \esperanza{X^2} - 1
  \]
  \pause
  \[
    \esperanza{X^2}=\int_{-\infty}^{\infty} x^2\f{x}\D{x} =
  \]
  \pause
  \[
    =  \int_0^1 x^3\D{x} + \int_1^2 (2x^2-x^3)\D{x}=
  \]
  \pause
  \[
    = \primeval{\frac{x^4}4}{x=0}{x=1}+
    \primeval{\frac23x^3-\frac{x^4}4}{x=1}{x=2}
    = \frac14-0+\frac{16}3-\frac{16}4-\frac23+\frac14 = \frac76
  \]
  \pause \[
    \varianza{X} = 
    \esperanza{X^2} - 1 = \frac76-1=\frac16
  \]
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{11. Media y varianza muestrales.}
  
  Sea $(X_1,\dots,X_n)$ una muestra aleatoria simple de una variable
  aleatoria $X$ con media $\mu$ y desvío típico $\sigma$.
  \begin{enumerate}
  \item Calcula la esperanza y la varianza de la media muestral.
  \item Calcula la esperanza de la varianza muestral.
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{11.1. Esperanza y varianza de $\bar X$.}
  \pause
  \[\esperanza{\bar X} = \esperanza{\frac1n\sum_{i=1}^n X_i} =
    \frac1n\sum_{i=1}^n \esperanza{X_i}=
    \frac1n\sum_{i=1}^n \mu = \frac1nn\mu=\mu\]
  \pause
\vspace{2ex}

Como $X_1$, ..., $X_n$ son independientes, luego linealmente independientes,
la varianza de la suma es la suma de varianzas:
    \begin{eqnarray*}
    \varianza{\bar X} &=& \varianza{\frac1n\sum_{i=1}^n X_i} =
    \frac1{n^2}\sum_{i=1}^n \varianza{X_i}\\
    &=&\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 = \frac1{n^2}n\sigma^2=
    \frac{\sigma^2}n
    \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{11.2. Esperanza de $S_X^2$.}\pause

  \[
    \esperanza{S_X^2} = \esperanza{\frac1n\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}
    = \frac1n\sum_{i=1}^n \esperanza{(X_i-\bar X)^2}
  \]
  \pause
  \[
    \esperanza{(X_i-\bar X)^2}=\esperanza{(X_i-\mu+\mu-\bar X)^2}=
  \]
  \pause
  \[=\esperanza{(X_i-\mu)^2+(\mu-\bar X)^2+2(X_i-\mu)(\mu-\bar X)}=\]
  \pause
  \[=\esperanza{(X_i-\mu)^2}+\esperanza{(\mu-\bar X)^2}+
    2\esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)}=\]
  \pause
  \[ =\sigma^2+\varianza{\bar X}+2\esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)}=\]
  \pause
  \[ =\sigma^2+\frac{\sigma^2}n+2\esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)}\]
  
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{11.2. Esperanza de $S_X^2$.}
  \[
    \esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)} =
    \esperanza{(X_i-\mu)\left(\mu-\frac1n\sum_{j=1}^n X_j\right)} =
   \]
   \pause
   \[
     =\esperanza{(X_i-\mu)
       \left(\frac1n\sum_{j=1}^n\mu-\frac1n\sum_{j=1}^n X_j\right)} 
     =\esperanza{(X_i-\mu)\frac1n\sum_{j=1}^n(\mu-X_j)} =
   \]
   \pause
   \[
     =\frac1n\sum_{j=1}^n\esperanza{(X_i-\mu)(\mu-X_j)} 
     =-\frac1n\sum_{j=1}^n\esperanza{(X_i-\mu)(X_j-\mu)} =
   \]
   \pause
   \[
     =-\frac1n\sum_{j=1}^n\covarianza{X_i}{X_j}
     =-\frac1n\left(\covarianza{X_i}{X_i}+
       \sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^n\covarianza{X_i}{X_j}\right)=
   \]
   \pause
   \[
     =-\left(\varianza{X_i}+0\right)/n=-\sigma^2/n
   \]
 \end{frame}
 \begin{frame}  \frametitle{11.2. Esperanza de $S_X^2$.}
   Resumiendo:
   \[
     \esperanza{S_X^2} =\frac1n\sum_{i=1}^n \esperanza{(X_i-\bar X)^2}
   \]
   \[
     \esperanza{(X_i-\bar X)^2} =
     \sigma^2+\frac{\sigma^2}n+2\esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)}\]
   \[  \esperanza{(X_i-\mu)(\mu-\bar X)} =-\sigma^2/n\]
   \[\implica
     \esperanza{S_X^2}  = \frac1n\sum_{i=1}^n
     \left(\sigma^2+\frac{\sigma^2}{n}+2\left[-\frac{\sigma^2}n\right]\right)=\]
   \[=\frac1n n \left(\sigma^2-\frac{\sigma^2}n\right)  = \sigma^2\frac{n-1}n\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{12. $X\sigue\disbeta{4}{1}\implica
    Y = -\ln X\sigue \text{¿?}$}
  \only<1>{Si $X$ sigue una distribución beta $\disbeta{4}{1}$, calcula
    la función de densidad y de distribución de la variable $Y=-\ln X$,
    así como su esperanza y su varianza.}
  \begin{itemize}
  \item<2-> función de distribución
    \only<11->{\[Y\sigue\exponencial{4}\]}
      \only<4-10>{
        \[
          X\sigue\disbeta{4}{1}\implica
          \f{x}=\frac{\fGamma{4+1}}{\fGamma{4}\fGamma{1}}
          x^{4-1}(1-x)^{1-1}\indicatriz{(0,1)}{x}
        \]}
      \only<5-10>{\vspace{-2.75ex}\[
          \f{x} = 4x^3\indicatriz{(0,1)}{x}\implica
          \F{x} =
          \begin{cases}
            0, & x<0 \\
            \int_{0}^x 4t^3\D{t}=x^4, & 0\leq x<1 \\
            1, & x>1
          \end{cases}
        \]}
      \only<6-10>{\[ X(\Omega) = (0,1) \implica Y(\Omega) = \Rmas \]}
      \only<7-10>{\[
          y>0\implica\FY{y}=\pr{Y\leq y}=\pr{-\ln X\leq y}=\pr{X\geq e^{-y}}=
        \]}
      \only<8-10>{\[
          =1-\F{e^{-y}} =  \uncover<9-10>{1-e^{-4y}}
          \uncover<10>{\sigue \exponencial{4}}
        \]}
    \item<2,11-> función de densidad
      \only<12->{\[
          \fY{y}=4e^{-4y}\indicatriz{\Rmas}{y}
          \]}
      \item<2,13-> esperanza
        \only<14->{\[
            \esperanza{Y}=\frac14
            \]}
  \item<2,15-> varianza
        \only<16->{\[
            \varianza{Y}=\frac1{16}
            \]}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{13. Reproductividad}

  \begin{enumerate}
  \item<1-3> Sean $X_1, \dots, X_m$ variables aleatorias independientes con
    distribución $X_i \sigue \binomial{n_i}{p}$.
    ¿Cuál es la distribución de la suma $X_1+\dots+X_m$?
    \only<2-3>{
    \begin{solucion}
      La distribución binomial es reproductiva en su primer parámetro, luego:
      \[\sum_{i=1}^m X_i \sigue\binomial{\sum_{i=1}^m n_i}{p}\]
    \end{solucion}}
  \only<4->{\vspace{-5ex}}
  \item<1,3-> Sean $X_1, \dots, X_m$ variables aleatorias independientes con
    distribución $X_i \sigue \gausiana {\mu_i} {\sigma_i}$.
    ¿Cuál es la distribución de la suma $X_1+\dots+X_m$?
    \only<4->{
      \begin{solucion}
        \only<4>{
          La distribución gausiana es reproductiva, luego:
          \[\textstyle\sum_{i=1}^m X_i \sigue\gausiana{\cdot}{\cdot}\]
          Como esperanza y varianza de suma de variables independientes
          son suma de esperanzas y varianzas:}
        \[\sum_{i=1}^m X_i \sigue\gausiana{\sum_{i=1}^m \mu_i}
          {\sqrt{\sum_{i=1}^m \sigma_i^2}}\]
      \end{solucion}}
    \only<1,3,5->{\vspace{-1ex}
    ¿Y la de la media?}
    \only<6->{
    \begin{solucion}
      \[ \bar X=\frac1m\sum_{i=1}^m X_i \sigue
        \gausiana{\frac1m\sum_{i=1}^m \mu_i}
        {\frac1m\sqrt{\sum_{i=1}^m \sigma_i^2}}\]
      \[\bar X\sigue
        \gausiana {\bar\mu}
        {\frac1{\sqrt m}\sqrt{\frac1m\sum_{i=1}^m \sigma_i^2}}=
      \gausiana {\bar\mu}{\sqrt{\frac{\;\overline{\sigma^2}}{m}}}\]
    \end{solucion}}
  \end{enumerate}

\end{frame}
\end{document}
