% Created 2022-09-19 lun 10:08
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\author{C. Carleos - N. Corral}
\date{\today}
\title{Inferencia - Repaso}
\hypersetup{
 pdfauthor={C. Carleos - N. Corral},
 pdftitle={Inferencia - Repaso},
 pdfkeywords={},
 pdfsubject={},
 pdfcreator={Emacs 27.1 (Org mode 9.3)}, 
 pdflang={Spanish}}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{Estadística}
\label{sec:orge836433}
\begin{itemize}
\item descriptiva: resumir \((x_1,\dots,x_n)\)
\item probabilidad: \(X,\mathcal A, P\)
\item inferencia: ¿qué se puede decir sobre \(X\) a partir de \(P\) y \((x_1,\dots,x_n)\)?
\end{itemize}
\section{Descriptiva}
\label{sec:org63c85ec}
\subsection{univariante}
\label{sec:orgdc1dd13}
\subsubsection{variables estadísticas cualitativas, categóricas, dicótomas, polítomas, atributos}
\label{sec:org3305dc5}
\begin{enumerate}
\item nominales
\label{sec:orgb2a8013}
\begin{itemize}
\item distribución de frecuencias
\item diagrama de sectores o de barras
\end{itemize}
\item ordinales
\label{sec:orge3303c2}
\begin{itemize}
\item distribución de frecuencias
\item mediana
\item diagrama de barras
\end{itemize}
\end{enumerate}
\subsubsection{variables estadísticas cuantitativas, numéricas}
\label{sec:org179e7d0}
\begin{itemize}
\item media, desvío típico
\begin{itemize}
\item sensibles
\end{itemize}
\item mediana, recorrido intercuartílico
\begin{itemize}
\item robustas
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item discretas
\label{sec:orgc71ea29}
\begin{itemize}
\item diagrama de barras
\end{itemize}
\item continuas
\label{sec:orgafe5c16}
\begin{itemize}
\item histograma
\item diagrama de cajas (para comparar entre grupos)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\subsection{bivariante}
\label{sec:org3fb3565}
\subsubsection{cualitativa frente a cualitativa}
\label{sec:org1e1e67d}
\begin{itemize}
\item frecuencias relativas condicionadas
\item mosaicplot
\end{itemize}
\subsubsection{cuantitativa frente a cualitativa}
\label{sec:orgf86beb6}
\begin{itemize}
\item descriptivos condicionados
\item diagramas de cajas (boxplot)
\end{itemize}
\subsubsection{cuantitativa frente a cuantitativa}
\label{sec:org28ebec9}
\begin{itemize}
\item coeficiente de correlación
\item diagrama de dispersión (nube de puntos)
\end{itemize}
\section{Probabilidad}
\label{sec:org491f0a7}
\subsection{definición}
\label{sec:orgda61380}
\begin{itemize}
\item \(\mathcal A\) es \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega\)
\end{itemize}
\[\begin{array}{cccc}
\Pr : & \mathcal A & \rightarrow & \mathbb R \\
   &     A      & \mapsto     & \Pr A
\end{array}\]
\begin{itemize}
\item axiomas de Kolmogórov
\begin{itemize}
\item \(0\le\Pr A\le1\)
\item \(\Pr\Omega=1\)
\item si \(A_1,A_2,\dots\) incompatibles (disjuntos), 
entonces \(\Pr A_1\cup A_2\cup\dots = \Pr A_1+\Pr A_2+\dots\)
\end{itemize}
\item propiedades
\begin{itemize}
\item \(\Pr \emptyset = 0\)
\item \(A\subset B\quad\Longrightarrow\quad\Pr A\le\Pr B\)
\item \(\Pr A\le1\)
\item \(\Pr A^c=1-\Pr A\)
\item \(\Pr A\cup B=\Pr A+\Pr B-\Pr A\cap B\)
\end{itemize}
\item condicionada
\begin{itemize}
\item \(\Pr A\mid B = \frac{\Pr A\cap B}{\Pr B}\)
\item \(A\) y \(B\) independientes \(\iff\)
\(\Pr A\mid B = \Pr A\)  \(\iff\)
\(\Pr A\cap B = \Pr A \cdot \Pr B\)
\end{itemize}
\item probabilidad total
\begin{itemize}
\item \(A_1,\dots,A_n\) partición
\begin{itemize}
\item \(A_i\) incompatible con \(A_j\)
\item \(A_1\cup\dots\cup A_n=\Omega\)
\end{itemize}
\item \(\Pr B = \sum_{i=1}^n \Pr A_i\cdot\Pr B\mid A_i\)
\end{itemize}
\item Bayes
\begin{itemize}
\item \(\Pr A_i\mid B\) = \(\frac{\Pr A_i\cap B}{\Pr B}\)
= \(\frac{\Pr B\mid A_i\cdot\Pr A_i}{\Pr B}\)
= \(\frac{\Pr B\mid A_i\cdot\Pr A_i}
             {\sum_{i=j}^n \Pr A_j\cdot\Pr B\mid A_j}\)
\(\propto \Pr B\mid A_i\cdot\Pr A_i\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{variable aleatoria}
\label{sec:org84682a3}
\begin{itemize}
\item cuantificación de los resultados de un experimento aleatorio
\[\begin{array}{cccc}
  X : & \Omega & \rightarrow & \mathbb R \\
      & \omega & \mapsto     & X(\omega)
  \end{array}\]
\item permite trabajar con modelos probabilísticos sobre \(\mathbb R\)
\item ojiva / función de distribución / función de distribución acumulada
\begin{itemize}
\item \(F(x)\) = \(F_X(x)\) = \(\Pr\{\omega : X(\omega)\le x\}\) = \(\Pr[X\le x]\)
\item \(F(-\infty)=0\)
\item \(F(+\infty)=1\)
\item \(F\) continua por la derecha
\item \(F\) no decreciente
\item \(\Pr(X=x) = F(x) - F(x^-)\)
\end{itemize}
\item discreta
\begin{itemize}
\item toma valores \(x_1,x_2,\dots\)
\item \(F(x) = \sum\{\Pr x_i : \forall i, x_i\le x\}\)
\item \(E[g(X)] = \sum_{i=1} g(x_i)\cdot\Pr x_i\)
\end{itemize}
\item continua
\begin{itemize}
\item tiene función de densidad \(f\)
\begin{itemize}
\item \(f\ge0\)
\item \(\int_{-\infty}^{+\infty} f = 1\)
\end{itemize}
\item \(F(x) = \int_{-\infty}^x f\)
\item \(E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} t\cdot f(t)\cdot dt\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{distribuciones habituales}
\label{sec:orge45dad5}
\subsubsection{discretas}
\label{sec:org1d21dee}
\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
nombre & símbolo & esperanza \(\mu\) & varianza \(\sigma^2\)\\
\hline
Bernoulli & \(B(p)\) & \(p\) & \(p\cdot(1-p)\)\\
binomial & \(B(n,p)\) & \(n\cdot p\) & \(n\cdot p\cdot(1-p)\)\\
geométrica (\(X=1,2,\dots\)) & \(G(p)\) & \(\frac1p\) & \(\frac{1-p}{p^2}\)\\
hipergeométrica & \(H(N,D,n)\) & \(n\frac DN\) & \(n\frac DN\frac{N-D}N\frac{N-n}{N-1}\)\\
Poisson & \(P(\lambda)\) & \(\lambda\) & \(\lambda\)\\
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection{continuas}
\label{sec:org959ed1b}
\begin{center}
\begin{tabular}{llll}
nombre & símbolo & esperanza \(\mu\) & varianza \(\sigma^2\)\\
\hline
uniforme & \(U(a,b)\) & \(\frac{a+b}2\) & \(\frac{(b-a)^2}{12}\)\\
exponencial & \(\text{Exp}(\lambda)\) & \(\frac1\lambda\) & \(\frac1{\lambda^2}\)\\
gama & \(\gamma(p,a)\) & \(\frac p a\) & \(\frac p {a^2}\)\\
gausiana & \(N(\mu,\sigma)\) & \(\mu\) & \(\sigma^2\)\\
beta & \(B(p,q)\) & \(\frac{p}{p+q}\) & \(\frac{p\cdot q}{(p+q)^2\cdot(p+q+1)}\)\\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item asociadas al muestreo en poblaciones gausianas
\begin{itemize}
\item ji cuadrado \(\chi^2_n = \gamma\left(\frac n2, \frac12\right)
    = \sum_{i=1}^n N(0,1)\) 
[\(N(0,1)\) independientes]
\item t de Student \(t_n=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2_n}n}}\) 
[\(N(0,1)\) y \(\chi^2_n\) independientes]
\item F de Snedecor \(F_{n,m}=\frac{\frac{\chi^2_n}n}{\frac{\chi^2_m}m}\)
[\(\chi^2\) independientes]
\end{itemize}
\end{itemize}
\section{Inferencia}
\label{sec:orgc8ea671}
\begin{itemize}
\item población \(X\)
\item muestra aleatoria \(\vec X = (X_1,\dots,X_n)\)
\item realización muestral \(\vec x = (x_1,\dots,x_n)\)
\end{itemize}

\[ X \stackrel{\text{muestreo}}{\longrightarrow} \vec x \]

\[ X \stackrel{\text{inferencia}}{\longleftarrow} \vec x \]
\subsection{enfoques}
\label{sec:org67aee15}
\subsubsection{frecuentista}
\label{sec:orgd7a504c}
\begin{itemize}
\item \(X\) depende de un parámetro \(\theta\) desconocido
\item objetivo
\begin{itemize}
\item estimar \(\theta\)
\item contrastar una afirmación sobre \(\theta\)
\end{itemize}
\item usado en esta asignatura
\end{itemize}
\subsubsection{bayesiano}
\label{sec:org7c411ea}
\begin{itemize}
\item el parámetro \(\theta\) es una variable aleatoria
con distribución a priori \(f(\theta)\)
\item objetivo: calcular la distribución a posteriori \(f(\theta\mid\vec x)\)
a partir de \(f(\vec x\mid\theta)\) y \(f(\theta)\)
\end{itemize}
\subsection{muestra aleatoria simple}
\label{sec:org05b77b4}
\begin{itemize}
\item observaciones independientes
\item discretas: \(\Pr(\vec x)=\Pr(x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n\Pr(x_i)\)
\item continuas: \(f(\vec x)=f(x_1,\dots,x_n)=\prod_{i=1}^n f(x_i)\)
\end{itemize}
\subsection{estadígrafo o estadístico}
\label{sec:org3fcc938}
\begin{itemize}
\item función de la muestra
\end{itemize}
\[\begin{array}{cccc}
T : & [X(\Omega)]^n & \rightarrow & \mathbb R \\
    & \vec x        & \mapsto     & T(\vec x)
\end{array}\]
\begin{itemize}
\item ejemplos 
\begin{itemize}
\item \(\bar X = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}n\)
\item \(S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}n\)
\item \(\hat S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}{n-1}\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{cambio de variable}
\label{sec:orga6497d0}
\begin{itemize}
\item sea \(X\) de distribución conocida y \(Y=g(X)\)
\item si \(g\) es creciente en el soporte de \(X\), 
entonces
\begin{itemize}
\item \(F_Y(y)\) = \(\Pr(Y\le y)\) = \(\Pr[g(X)\le y]\) =
\(\Pr[X\le g^{-1}(y)]\) = \(F_X[g^{-1}(y)]\)
\item \(f_Y(y) = f_X[g^{-1}(y)]\cdot\frac{dg^{-1}}{dy}(y)\)
\end{itemize}
\item en general, con \(g\) inyectiva:
\begin{itemize}
\item \(f_Y(y) = f_X[g^{-1}(y)]\cdot\left|\frac{dg^{-1}}{dy}(y)\right|\)
\end{itemize}
\item si \(X(\Omega) = \bigcup_{i} A_i\) disjunta y \(g\) inyectiva en cada \(A_i\)
\begin{itemize}
\item \(f_Y(y) = \sum_i f_X[g_i^{-1}(y)]\cdot\left|\frac{dg_i^{-1}}{dy}(y)\right|\)
con \(g^{-1}_i\) inversa de \(g\) en \(A_i\)
\end{itemize}
\item ejemplos
\begin{itemize}
\item \(X\hookrightarrow U(0,1)\) \(\Longrightarrow\) 
\(-\ln X\hookrightarrow\text{Exp}(1)\)
\item \(X\hookrightarrow N(0,1)\) \(\Longrightarrow\) 
\(X^2\hookrightarrow\gamma\left(\frac12,\frac12\right)=\chi^2_1\)
\end{itemize}
\item tipificación
\begin{itemize}
\item sea \(X\) tal que \(E(X)=\mu\) y \(V(X)=\sigma^2\)
\item \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\) es adimensional
\end{itemize}
\item \(X\) continua \(\Longrightarrow\) \(F_X(X)\hookrightarrow U(0,1)\)
\end{itemize}
\subsection{momento muestral de orden \(r\)}
\label{sec:org3bbc63d}
\begin{itemize}
\item absoluto o respecto al origen
\begin{itemize}
\item \(\overline{X^r} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i^r}n\)
\end{itemize}
\item centrado o respecto a la media
\begin{itemize}
\item \(\overline{(X-\bar X)^r} = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^r}n\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsubsection{media muestral}
\label{sec:org08e5b52}
\begin{itemize}
\item momento absoluto de orden \(1\)
\item \(\bar X = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}n\)
\item \(E(\bar X) = E(X) = \mu\) y \(V(\bar X) = \frac{V(X)}n = \frac{\sigma^2}n\)
\item \(X\hookrightarrow N(\mu,\sigma)\) \(\Longrightarrow\)
\(\bar X \hookrightarrow N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)\)
\item TCL (teorema central del límite): 
\begin{itemize}
\item \(\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\)
\(\stackrel{\mathcal L}{\longrightarrow}\)
\(N(0,1)\)
\item equivalentemente,
\(n\text{ grande}\) \(\Longrightarrow\) 
\(\bar X \stackrel{\sim}{\hookrightarrow}
    N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)\)
\end{itemize}
\item \(\bar X \stackrel {\text{c.s.}} {\longrightarrow} \mu\) (ley fuerte de los grandes números)
\end{itemize}
\subsubsection{cuasivarianza muestral}
\label{sec:orgfe506d9}
\begin{itemize}
\item varianza = momento centrado de orden \(2\)
\item \(\hat S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}{n-1}\)
\item \(E(\hat S^2) = \sigma^2\)
\item si \(X\hookrightarrow N(\mu,\sigma)\) entonces
\begin{itemize}
\item \(\frac{(n-1)\cdot\hat S^2}{\sigma^2} \hookrightarrow \chi^2_{n-1}\)
\item \(\bar X\) y \(\hat S^2\) son independientes
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsubsection{asimetría}
\label{sec:org8fec4d8}
\begin{itemize}
\item \(A\) = \(\frac{\text{momento centrado de orden 3}}{S^3}\)
= \(\frac{\sum(X_i-\bar X)^3}{S^3}\)
\item \(A<0\) \(\Rightarrow\) asimetría a la izquierda
\item \(A>0\) \(\Rightarrow\) asimetría a la derecha
\end{itemize}
\subsubsection{apuntamiento o curtosis}
\label{sec:org71729c0}
\begin{itemize}
\item \(K\) = \(\frac{\text{momento centrado de orden 4}}{S^4}\)
\(-\) \(\text{ídem de la gausiana}\)
= \(\frac{\sum(X_i-\bar X)^4}{S^4}-3\)
\item \(K<0\) \(\Rightarrow\) platicúrtica o aplanada
\item \(K>0\) \(\Rightarrow\) leptocúrtica o apuntada
\end{itemize}
\end{document}