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\author{C. Carleos - N. Corral}
\date{\today}
\title{Inferencia - Generalidades}
\hypersetup{
 pdfauthor={C. Carleos - N. Corral},
 pdftitle={Inferencia - Generalidades},
 pdfkeywords={},
 pdfsubject={},
 pdfcreator={Emacs 29.3 (Org mode 9.6.15)}, 
 pdflang={Spanish}}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{Estadígrafos de orden}
\label{sec:org1833c4d}
\begin{itemize}
\item sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra aleatoria simple de \(X\)
\item muestra ordenada: \((X_{(1)},\dots,X_{(n)})\) cumpliendo
\[\min_{i=1}^n X_i = X_{(1)}\le X_{(2)} \le\dots\le
  X_{(n-1)}\le X_{(n)}=\max_{i=1}^n X_i\]
\item \(X_{(k)}\) es el \(k\)-ésimo estadígrafo de orden
\item sea \(F\) la ojiva de \(X\)
\begin{itemize}
\item \(F_{X_{(n)}}(x) = F(x)^n\)
\item \(F_{X_{(1)}}(x) = 1-[1-F(x)]^n\)
\item \(F_{X_{(k)}}(x) = \sum_{j=k}^n{n\choose j}
      F(x)^j [1-F(x)]^{n-j}\)
\end{itemize}
\item si \(X\) es continua, sea \(f\) su densidad
\begin{itemize}
\item \(f_{X_{(k)}}(x) = 
       n! \frac{F(x)^{k-1}}{(k-1)!} 
       f(x) \frac{[1-F(x)]^{n-k}}{(n-k)!}\)
\end{itemize}
\item más detalles en \href{./orden/ordenados.pdf}{este fichero}
\end{itemize}
\section{Ojiva empírica}
\label{sec:org4425491}
\[ F_n(x) = \frac{\text{número de } X_i\le x}n 
   = \frac1n\sum_{i=1}^n I_{(-\infty,x]}(X_i)
   = \frac1n\sum_{i=1}^n I_{[X_i,\infty)}(x) \]
\begin{itemize}
\item \(F_n(x)\) es estimador insesgado de \(F(x)\)
\item \(F_n(x) \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow}{F(x)}\)
\item por el Teorema Central del límite
\[ \frac{F_n(x)-F(x)}{\sqrt{\frac{F(x)[1-F(x)]}n}}
      \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow} N(0,1) \]
\end{itemize}
\section{Teorema fundamental de la estadística}
\label{sec:org42505ad}
\begin{itemize}
\item distancia entre ojiva empírica y teórica
\[\Delta_n = \sup_{x\in\mathbf R} |F_n(x)-F(x)|\]
\item teorema de Glivenco y Canteli
\[ \Delta_n \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow} 0 \]
\item más detalles en \href{./glivenko/glivenco2.pdf}{este fichero}
\end{itemize}
\end{document}
