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\usetheme{Madrid}
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\def\qedsymbol{} % quita el símbolo final de las demos
\addtobeamertemplate{theorem begin}{\normalfont}{} % que no esté en cursiva
\newtheorem*{lema}{Lema}
\newtheorem*{teorema}{Teorema}
\newtheorem*{notacion}{Notación}
\newcommand{\Dn}{\ensuremath{\Delta_n}} % estadígrafo de KyS
\renewcommand{\P}[1]{\Pr\left[#1\right]} % probabilidad
\newcommand{\casiseguro}%
{\ensuremath{\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{\text{c.s.}}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} % valor absoluto
\newcommand{\F}[1]{F\left(#1\right)} % función de distribución F
\newcommand{\f}[1]{f\left(#1\right)} % función de densidad f
\newcommand{\G}[2]{F_{#1}\left(#2\right)} % función de distribución Fx
\newcommand{\g}[2]{f_{#1}\left(#2\right)} % función de densidad fx
\newcommand{\Fn}[1]{F_n\left(#1\right)} % función de distribución empírica
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % naturales
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % recta real
\renewcommand{\o}[2]{{#1}_{(#2)}} % estadígrafo de orden: \o x 1 = x_{(1)}
\newcommand{\uno}[2]{\mathds{1}_{#1}\left(#2\right)}
\newcommand{\sigue}{\mathbin{\sim}}
\newcommand{\binomial}[2]{\mathcal B \left(#1,#2\right)}
\renewcommand{\d}{\text{d}}
\newcommand{\integral}[4]{\int_{#1}^{#2}{#3}\,\d{#4}\,}
\newcommand{\derivada}[2]{\frac{\d #1}{\d #2}}
\newcommand{\conjuntotalque}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}}
\newcommand{\primitiva}[3]{\left|#1\right|_{#2}^{#3}}
\begin{document}
\title{Estadígrafos de orden}
\author{Inferencia Estadística}
\maketitle

\begin{frame}
  \begin{notacion}
    \rule{0pt}{.7ex}
    \begin{description}
    \item[$X$] población; variable aleatoria $X\colon\Omega\longrightarrow\R$
    \item[$X_1,...,X_n$] muestra aleatoria simple = variables
      aleatorias independientes
      e idénticamente distribuidas como $X$
    \item[$\F{\cdot}$] función de distribución de $X$
    \item[$\f{\cdot}$] función de densidad de $X$
    \item[$T$] estadígrafo; variable aleatoria $T\colon X(\Omega)^n\longrightarrow\R$
    \item[$\G{T}{\cdot}$] función de distribución de $T$
    \item[$\g{T}{\cdot}$] función de densidad de $T$
    \end{description}
    \rule{0pt}{.7ex}
  \end{notacion}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Muestra ordenada}
    \[\begin{array}{rccc}
        \vec X_{(\cdot)}\colon&X(\Omega)^n&\longrightarrow&\R^n\\
        &\vec X(\omega)=(x_1,...,x_n) & \longmapsto & (\o{x}{1},...,\o{x}{n})
      \end{array}\]
    donde \((\o{x}{1},...,\o{x}{n})\) es una permutación de \((x_1,...,x_n)\)
    tal que
    \[ \min_{1\le i \le n} x_i = \o x 1 \leq \o x 2 \leq \cdots \leq \o x n
      = \max_{1\le i \le n} x_i \]
  \end{block}
  \begin{block}{$k$-ésimo estadígrafo de orden}
    \[\begin{array}{rccc}
        X_{(k)}\colon&X(\Omega)^n&\longrightarrow&\R\\
        &\vec X(\omega)=(x_1,...,x_n) & \longmapsto & \o{x}{k}
      \end{array}\]
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Distribución de estadígrafo de orden}
    \begin{itemize}
    \item $\displaystyle \G{\o X n}{x} = \F{x}^n$
    \item $\displaystyle \G{\o X 1}{x} = 1-[1-\F{x}]^n$
    \item $\displaystyle \G{\o X k}{x} = \sum_{i=k}^n \binom{n}{i}
      \F{x}^i [1-\F{x}]^{n-i}$
    \end{itemize}
    
    \vspace{3ex}Para el último, considérese
    \[ \sum_{i=1}^n \uno{(-\infty,x]}
      {X_i} \sigue \binomial{n}{\F{x}} \]
  \end{block}

  \begin{block}{Densidad de estadígrafo de orden}
    Si $X$ es continua:
    \[
      \g{\o X k} {x} = n! \f{x} \frac{\F{x}^{k-1}}{(k-1)!}
      \frac{[1-\F{x}]^{n-k}}{(n-k)!}
    \]
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \begin{block}{Densidad de estadígrafo de orden}
    \[
      \g{\o X k} {x} = n!\, \f{x} \frac{\F{x}^{k-1}}{(k-1)!}
      \frac{[1-\F{x}]^{n-k}}{(n-k)!}
    \]
  \end{block}
  \begin{block}{$k=n$}
    \begin{displaymath}
      \g{\o X n}{x} = \derivada{\G{\o X n}{x}}{x} =
      \derivada{\F{x}^n}{x} = n\; \f{x} \F{x}^{n-1} 
    \end{displaymath}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \begin{block}{Densidad de estadígrafo de orden}
    \[
      \g{\o X k} {x} = n!\, \f{x} \frac{\F{x}^{k-1}}{(k-1)!}
      \frac{[1-\F{x}]^{n-k}}{(n-k)!}
    \]
  \end{block}
  \begin{block}{$k=1$}
    \begin{displaymath}
      \g{\o X 1}{x} = \derivada{\G{\o X 1}{x}}{x} =
      \derivada{\{1-[1-\F{x}]^n\}}{x} = n\; \f{x} [1-\F{x}]^{n-1} 
    \end{displaymath}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \begin{block}{Densidad de estadígrafo de orden}
    \[
      \g{\o X k} {x} = n!\, \f{x} \frac{\F{x}^{k-1}}{(k-1)!}
      \frac{[1-\F{x}]^{n-k}}{(n-k)!}
    \]
  \end{block}
  \begin{block}{$1<k<n$}
    \vspace{-2ex}
    \begin{eqnarray*}
      \g{\o X k}{x} &=& \derivada{\G{\o X k}{x}}{x} =
      \derivada{\left\{\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}\F{x}^i[1-\F{x}]^{n-i}\right\}}{x}
      \\
                    &=&
                        \derivada{\left\{\F{x}^n+\sum_{i=k}^{n-1}
                        \binom{n}{i}\F{x}^i[1-\F{x}]^{n-i}\right\}
                        }{x} \\
                    &=& n\,\f{x}\F{x}^{n-1}+
                        \sum_{i=k}^{n-1} \binom{n}{i} i\,\f{x}\F{x}^{i-1}
                        [1-\F{x}]^{n-i}\\
                    &-& \sum_{i=k}^{n-1} \binom{n}{i} \F{x}^{i}
                        (n-i)\,\f{x}[1-\F{x}]^{n-i-1}
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[t]
  \begin{block}{Densidad de estadígrafo de orden}
    \[
      \g{\o X k} {x} = n!\, \f{x} \frac{\F{x}^{k-1}}{(k-1)!}
      \frac{[1-\F{x}]^{n-k}}{(n-k)!}
    \]
  \end{block}
  \begin{block}{$1<k<n$}
    \vspace{-2ex}
    \begin{eqnarray*}
      \g{\o X k}{x} &=& \sum_{i=k}^{n-1} \binom{n}{i} i\,\f{x}\F{x}^{i-1}
                        [1-\F{x}]^{n-i}+n\,\f{x}\F{x}^{n-1}\\
                    &-& \sum_{i=k}^{n-1} \binom{n}{i} \F{x}^{i}
                        (n-i)\,\f{x}[1-\F{x}]^{n-i-1}\\
                    &=& \sum_{i=k}^{n} \frac{n!}{(i-1)!\,(n-i)!}\f{x}
                        \F{x}^{i-1}[1-\F{x}]^{n-i} \\
                    &-& \sum_{i=k+1}^{n} \frac{n!}{(i-1)!\,(n-i)!}
                        \f{x} \F{x}^{i-1}[1-\F{x}]^{n-i}
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\mode<presentation>{
\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}

   \begin{block}{}
     \begin{center}
       \setlength{\unitlength}{0.37mm}
      \begin{picture}(120,120)(-20,-20)
        \put(-10,0){\vector(1,0){100}}\put(90,-10){\only<-5>{$X_1$}\only<6->{$\o X1$}}
        \put(0,-10){\vector(0,1){100}}\put(-20,80){\only<-5>{$X_2$}\only<6->{$\o X2$}}
        \only<3>{\put(-100,50){$\begin{array}{c}\o x1=x_1\\\o x2=x_2\end{array}$}}
        \only<2-3>{\put(30,70){\circle*{5}}
          \put(35,75){$(x_1,x_2)$}}
        \only<3-6>{\multiput(0,0)(10,10){8}{\line(1,1){5}}}
        \only<7>{\multiput(0,0)(10,10){7}{\line(1,1){5}}}
        \only<4-6>{\put(70,30){\circle*{5}}
          \put(75,35){$(x_1,x_2)$}}
        \only<5>{\put(-100,50){$\begin{array}{c}\o x1=x_2\\\o x2=x_1\end{array}$}}
        \only<5-6>{\put(30,70){\circle*{5}}
          \put(35,75){$(x_2,x_1)$}}
        \only<6>{\put(65,35){\vector(-1,1){30}}}
        \only<7>{\put(-100,30){$\begin{array}{c}f_{\o X1,\o X2}\\\\\rotatebox{90}{=}\\\\2\cdot f_{X_1,X_2}\end{array}$}}
        \only<7>{\put(30,70){\circle*{10}}
          \put(35,75){$(x_2,x_1)=(\o x1,\o x2)$}}
      \end{picture}
    \end{center}
   \end{block}
\end{frame}
}

\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}
  
  \begin{block}{Demostración}
    \begin{itemize}
    \item Cada muestra ordenada proviene de \(n!\) muestras.
    \item Alternativas:
      \begin{itemize}
      \item usar Teorema de Cambio de Variable
      \item usar función de distribución y derivar
      \end{itemize}
    \end{itemize}
  \end{block}    
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}
  
  \begin{block}{Teorema de Cambio de Variable}
    Sean
    \begin{itemize}
    \item \(X\) continua en \(\displaystyle S=\bigcup_{i\in I}A_i\) con \(I\) numerable, $A_i\cap A_j=\emptyset$ si $i\neq j$
    \item \(g\) es diferenciable y tiene inversa \(g_i^{-1}\) en cada \(A_i\)
    \end{itemize}
    Entonces \(Y=g(X)\) tiene densidad
    \[
      \g{Y}{y}=\sum_{i\in I} \g{X}{g_i^{-1}(y)}\abs{(g_i^{-1})'(y)}\qquad y\in g(S)
    \]
  \end{block}    
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}
  
  \begin{block}{Demostración por T.C.V.}
    Considerar los \(n!\) subespacios de \(\R^n\)
    \begin{eqnarray*}
      A_1&=&\conjuntotalque{x\in\R^n}{x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<x_n} \\
      A_2&=&\conjuntotalque{x\in\R^n}{x_2<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n} \\
      &\vdots& \\
      A_{n!}&=&\conjuntotalque{x\in\R^n}{x_n<x_{n-1}<\dots<x_2<x_1} 
    \end{eqnarray*}
    En cada $A_i$ la muestra ordenada es una permutación
    \href{https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_permutaci\%C3\%B3n}{con} jacobiano $\pm1$

    \vspace{-2ex}
    \[       \g{X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} = \sum_{i=1}^{n!}\prod_{i=1}^{n}\f{x_i}\abs{\pm1} \]
  \end{block}    
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}
  
  \begin{block}{Demostración directa para $n=2$}
    \[F_{\o X1,\o X2}(a,b)=\P{\o X1\le a\cap\o X2\le b}\]
    \[={\P{X_1\le a\cap X_2\le b\cap X_1\le X_2}+\P{X_2\le a\cap X_1\le b\cap X_2<X_1}}\]
    \[=\integral{-\infty}{a}{\integral{x_1}{b}{\f{x_2}}{x_2}\f{x_1}}{x_1}+
      \integral{-\infty}{a}{\integral{x_2}{b}{\f{x_1}}{x_1}\f{x_2}}{x_2}\]
    \[=\integral{-\infty}{a}{\left[\F{b}-\F{x_1}\right]\f{x_1}}{x_1}+
      \integral{-\infty}{a}{\left[\F{b}-\F{x_2}\right]\f{x_2}}{x_2}\]
    \[=\primitiva{-\frac12\left[\F{b}-\F{x_1}\right]^2}{x_1=-\infty}{a}+
    \primitiva{-\frac12\left[\F{b}-\F{x_2}\right]^2}{x_2=-\infty}{a}\]
  \end{block}    
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{block}{Densidad de la muestra ordenada}
    \[
      \g{\vec X_{(\cdot)}}{x_1,...,x_n} =
      n!\,\prod_{i=1}^n\f{x_i}\,
      \uno{}{x_1 \leq ... \leq x_n}
    \]
  \end{block}
  
  \begin{block}{Demostración directa para $n=2$}
    \[F_{\o X1,\o X2}(a,b)=\P{\o X1\le a\cap\o X2\le b}\]
    \[=\F{b}^2-\left[\F{b}-\F{a}\right]^2\]
    \[\implies \g{\o X1,\o X2}{a,b}=\frac{\partial F_{\o X1,\o X2}(a,b)}{\partial a \, \partial b}=2\,\f{a}\f{b}\]
  \end{block}    
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Demostración directa para $n=3$}
    \[F_{\o X1,\o X2,\o X3}(a,b,c)=\P{\o X1\le a\cap\o X2\le b\cap \o X3\le c}\]
    \[=3!\,\P{X_1\le a\cap X_2\le b\cap X_3\le c\cap X_1\le X_2\le X_3}\]
    \[=6\integral{-\infty}{a}{\integral{x_1}{b}{\integral{x_2}{c}{\f{x_3}}{x_3}\f{x_2}}{x_2}\f{x_1}}{x_1}\]
    \[=6\integral{-\infty}{a}{\integral{x_1}{b}{\left[\F{c}-\F{x_2}\right]\f{x_2}}{x_2}\f{x_1}}{x_1}\]
    \[=6\integral{-\infty}{a}{\primitiva{-\frac12\left[\F{c}-\F{x_2}\right]^2}{x_2=x_1}{x_2=b}\f{x_1}}{x_1}\]
    \[=3\integral{-\infty}{a}{\left\{\left[\F{c}-\F{x_1}\right]^2-\left[\F{c}-\F{b}\right]^2\right\}\f{x_1}}{x_1}\]
    \[=\primitiva{-\left[\F{c}-\F{x_1}\right]^3}{x_1=-\infty}{a}-3\left[\F{c}-\F{b}\right]^2F(a)\]
  \end{block}    
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{block}{Demostración directa para $n=3$}
    \[F_{\o X1,\o X2,\o X3}(a,b,c)=\P{\o X1\le a\cap\o X2\le b\cap \o X3\le c}\]
    \[=\primitiva{-\left[\F{c}-\F{x_1}\right]^3}{x_1=-\infty}{a}-3\left[\F{c}-\F{b}\right]^2F(a)\]
    \[=\F{c}^3-\left[\F{c}-\F{a}\right]^3-3\left[\F{c}-\F{b}\right]^2F(a)\]
    \[\implies \g{\o X1,\o X2,\o X3}{a,b,c}=\frac{\partial F_{\o X1,\o X2,\o X3}(a,b,c)}{\partial a \, \partial b\, \partial c}
      =6\,\f{a}\f{b}\f{c}\]
  \end{block}    
\end{frame}

\end{document}
