\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\title{Familia exponencial}
\author{Inferencia Estadística}
\maketitle
\section{Implica soporte independiente del parámetro}
Sea $X$ perteneciente a la familia exponencial $k$-paramétrica.
Entonces
$$
f_X(x,\vec\theta) = c(\vec\theta)h(x)e^{\sum_{j=1}^kQ_j(\vec\theta)T_j(x)}
$$
Si el soporte de $X$ dependiese de $\vec\theta$, entonces existirían
$\vec\theta_1$, $\vec\theta_2$, $x_1$ y $x_2$ tales que
$$
f_X(x_1,\vec\theta_1)>0\qquad f_X(x_2,\vec\theta_2)>0\qquad
f_X(x_2,\vec\theta_1)=0
$$
luego
\begin{eqnarray*}
0<f_X(x_1,\vec\theta_1)=
c(\vec\theta_1)h(x_1)e^{\sum_{j=1}^kQ_j(\vec\theta_1)T_j(x_1)}
&\implies& c(\vec\theta_1)>0
\\
0<f_X(x_2,\vec\theta_2)=
c(\vec\theta_2)h(x_2)e^{\sum_{j=1}^kQ_j(\vec\theta_2)T_j(x_2)}
&\implies& h(x_2)>0
\end{eqnarray*}
pero se produciría una contradicción:
$$
0=f_X(x_2,\vec\theta_1)=
\underbrace{c(\vec\theta_1)}_{>0}\underbrace{h(x_2)}_{>0}
\underbrace{e^{\sum_{j=1}^kQ_j(\vec\theta_1)T_j(x_2)}}_{>0}
$$
\section{Familias no exponenciales con soporte independiente del parámetro}
Para ver que una familia no es exponencial uniparamétrica,
hay que comprobar que no pueden existir $Q$ y $T$ tales que
$$
f_X(x,\theta) = c(\theta)h(x)e^{Q(\theta)T(x)}
$$
Considérese el cociente de los exponentes de las densidades
de dos observaciones distintas $x$ y $y$
$$
\frac{Q(\theta)T(x)}{Q(\theta)T(y)}
= \frac{T(x)}{T(y)}
$$
Dicho cociente sería independiente de $\theta$ si la densidad perteneciese
a la familia exponencial.
\subsection{Distribución $\frac{\theta+2x}{\theta+1}$}
Sea la densidad definida en el intervalo $x\in[0,1]$
con el parámetro $\theta\in[0,\infty)$
$$
f(x,\theta)=\frac{\theta+2x}{\theta+1} = \frac1{\theta+1}e^{\ln(\theta+2x)}
\stackrel{?}{=} \frac1{\theta+1}e^{Q(\theta)T(x)}
$$
El cociente de los exponentes sería
$$
\frac{\ln(\theta+2x)}{\ln(\theta+2y)}
$$
que depende de $\theta$ salvo si $x=y$.
\subsection{Distribución de Laplace}
La distribución laplaciana o doble exponencial con parámetro de localización
$\theta\in R$
tiene densidad para todo $x\in R$
$$
f(x) = \frac12e^{|x-\theta|}
$$
En este caso, el cociente de exponentes es
$$
\frac{|x-\theta|}{|y-\theta|}
$$
que depende de $\theta$ salvo si $x=y$.
\subsection{Distribución de Cauchy}
La distribución de Cauchy con parámetro de localización $\theta\in R$
tiene densidad para todo $x\in R$
$$
f(x)=\frac1{\pi\left[1+(x-\theta)^2\right]}
=e^{\ln\left(\frac1{\pi\left[1+(x-\theta)^2\right]}\right)}
=e^{-\ln\left(\pi\left[1+(x-\theta)^2\right]\right)}
$$
El cociente de exponentes es
$$
\frac{\ln\left(\pi\left[1+(x-\theta)^2\right]\right)}
{\ln\left(\pi\left[1+(y-\theta)^2\right]\right)}
$$
que para, por ejemplo, $x=1$ y $y=0$, vale
$$
C(\theta)=\frac{\ln\left(\pi\left[1+(1-\theta)^2\right]\right)}
{\ln\left(\pi\left[1+\theta^2\right]\right)}
$$
que depende de $\theta$, pues $C(\theta=0)=\frac{\ln(2\pi)}{\ln\pi}\neq
\frac{\ln\pi}{\ln(2\pi)}=C(\theta=1)$.
\end{document}

% como demostrar que f no es fam exp
% aplicar a cauchy, laplace, (zita+2x)/(zita+1)
