estimación puntual

2.4.1. nombre

2.4.2. teorema

1. enunciado
   
   • sea \((T_n)_{n\in\mathbb N}\) sucesión de estadígrafos muestreados a partir de \(X\hookrightarrow F_\theta\) y tales que \[\frac{T_n-\theta}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\xrightarrow[n\to\infty]{L}N(0,1)\qquad\text{es decir}\qquad T_n\stackrel{\sim}{\hookrightarrow} N\left(\theta,\frac\sigma{\sqrt n}\right)\]
   • sea \(g\) derivable con \(g'(\theta)\neq0\;\forall\,\theta\in\Theta\)
   • entonces \[\frac{g(T_n)-g(\theta)}{\frac{\sigma}{\sqrt n}|g'(\theta)|}\xrightarrow[n\to\infty]{L}N(0,1)\qquad\text{es decir}\qquad g(T_n)\stackrel{\sim}{\hookrightarrow} N\left(g(\theta),\frac\sigma{\sqrt n}|g'(\theta)|\right)\]
2. demostración
   
   • se sabe que \(X_n\xrightarrow{L}X\) \(\implies\) \(cX_n\xrightarrow{L}cX\)
   • por tanto, \(\frac{T_n-\theta}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}\xrightarrow[n\to\infty]{L}N(0,1)\) \(\implies\) \((T_n-\theta)\sqrt n\xrightarrow[n\to\infty]{L}N(0,\sigma)\) \(\implies\) \((T_n-\theta)\sqrt n|g'(\theta)|\xrightarrow[n\to\infty]{L}N\left(0,\sigma|g'(\theta)|\right)\)
   • \([g(T_n)-g(\theta)]\sqrt n\) = \(\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}(T_n-\theta)\sqrt n\)
   • se sabe que \[\left.\begin{array}{r}X_n\xrightarrow{L}X\\Y_n\xrightarrow{P}{c}\end{array}\right\}\implies X_nY_n\xrightarrow{L}cX\]
   • basta probar \(Y_n=\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}\xrightarrow{P}g'(\theta)\)

   • por definición de derivada \[\forall\,\epsilon > 0,\quad\exists\,\delta_\epsilon > 0,\quad |T_n-\theta| < \delta_\epsilon\implies\left|\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}-g'(\theta)\right|<\epsilon\] luego \[\left\{\omega\in\Omega:|T_n(\omega)-\theta|<\delta_\epsilon\right\} \subset \left\{\omega\in\Omega:\left|\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}-g'(\theta)\right|<\epsilon\right\}\] luego

     \begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \Pr\left[\left|\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}-g'(\theta)\right| < \epsilon\right] &\geq& \lim \Pr[|T_n-\theta| < \delta_\epsilon]\\ &=& \lim \Pr\left[\frac{\sqrt n|T_n-\theta|}\sigma < \frac{\sqrt n\delta_\epsilon}\sigma\right]\\ &\geqslant& \lim \Pr\left[\frac{\sqrt n|T_n-\theta|}\sigma < \frac{\sqrt n_0\delta_\epsilon}\sigma\right]\\ &=& \Pr\left[|N(0,1)| < \frac{\sqrt{n_0}\delta_\epsilon}\sigma\right]\\ &>& 1-\epsilon \end{eqnarray*}

     tomando \(n_0\) suficientemente grande

   • por tanto \[\forall\,\epsilon > 0\,\quad \lim_{n\to\infty} \Pr\left[\left|\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}-g'(\theta)\right| < \epsilon\right] > 1-\epsilon\] luego \[\lim_{n\to\infty} \Pr\left[\left|\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}-g'(\theta)\right| < \epsilon\right] = 1\] o sea \[\frac{g(T_n)-g(\theta)}{T_n-\theta}\xrightarrow{P}g'(\theta)\]

2.4.3. ejemplo

## X = Exp(landa)
landa <- 2                              # parAmetro
n <- 100                                # tamaNo muestral
m <- 1e6                                # tamaNo montecarlo
zita <- 1/landa                         # E(X)
sigma <- 1/landa                        # DT(X)
T <- mean                               # estadIgrafo T=N(zita,sigma/n)
g <- function (x) 1/x                   # estimador g(T) = N (landa, landa/raIz(n))
gprima <- function (x) -1/x^2           # g(T) = N (g(zita), sigma/n*abs(gprima(zita)))
gprima <- function (t) eval (D(expression(1/x),"x"), list(x=t)) # otra forma
d <- replicate (m, g(T(rexp(n,landa)))) # distribuciOn de g(T)
c (landa, mean(d))                      # esperanza y media de montacarlo
c (landa/sqrt(n), sigma/n*abs(gprima(zita)), sd(d)) # desvIos tIpicos
plot (ecdf (d))                                     # ojiva empIrica
plot (function (x) pnorm (x, landa, landa/sqrt(n)), # ojiva asintOtica
      min(d), max(d), col=2, add=TRUE)              # por mEtodo delta
dev.new ()                              # nueva ventana grAfica
plot (density (d))                      # densidad estimada mediante "nUcleos"
plot (function (x) dnorm (x, landa, landa/sqrt(n)), # densidad asintOtica
      min(d), max(d), col=2, add=TRUE)              # por mEtodo delta

3.1.1. ejemplo

3.1.2. definiciones

3.1.3. ejemplo (exponencial)

1. información completa
   
   • calcula el EMV de \(\theta\) si se dispone de la duración de \(n\) aparatos, es decir, una muestra \(\vec x\) de \(X\)

   \(f(x,\theta)=\theta e^{-\theta x}\) \(\implies\) \(L(\vec x,\theta)=\theta^n e^{-\theta\sum x_i}\) \(\implies\) \(\ln L(\vec x,\theta)=n\ln\theta-\theta\sum x_i\) \(\implies\) \(0=u(\theta)=\frac{\partial}{\partial\theta}\ln L(\vec x,\theta)=\frac n\theta-\sum x_i\) \(\implies\) \(\frac n\theta=\sum x_i\) \(\implies\) \(\hat\theta_{\text{MV}}=\frac n{\sum x_i}=\frac1{\bar x}\)

2. información censurada
   
   • calcula el EMV de \(\theta\) si se dispone de la duración de \(n-r\) aparatos; de los otros \(r\) se sabe sólo que han durado un tiempo mayor que \(t_0\) (por ejemplo, por un límite en la duración del experimento)

   \(f(x,\theta)=\theta e^{-\theta x}, \Pr(X > t_0)=1-F(t_0)= e^{-\theta t_0}\) \(\implies\) \(L(\vec x,\theta)=e^{-r\theta t_0}\times\theta^{n-r} e^{-\theta\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}} =\theta^{n-r} e^{-\theta(\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}+rt_0)}\) \(\implies\) \(\ln L(\vec x,\theta)=(n-r)\ln\theta-\theta(\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}+rt_0)\) \(\implies\) \(0=\frac{n-r}\theta-(\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}+rt_0)\) \(\implies\) \(\frac{n-r}\theta=\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}+rt_0\) \(\implies\) \(\hat\theta_{\text{MV}}=\frac{n-r}{\sum_{i=1}^{n-r} x_{(i)}+rt_0}\)

3.1.4. ejemplo (bernuli)

3.1.5. ejemplo con verosimilitud no derivable

3.1.6. ejemplo EMV no único

3.1.7. ejemplo sin solución explícita

(%i17) L(n1,n2,n3,landa) := 
            (exp(-landa)*(1+landa))^n1 * 
            (exp(-landa)*landa^2/2)^n2 * 
            (1-exp(-landa)*(1+landa+landa^2/2))^n3 $

(%i18) tex (diff (L(n1,n2,n3,landa), landa)) $

(%i23) logexpand:all $

(%i24) define (lnL(landa), log(L(n1,n2,n3,landa))) $

(%i25) define (u(landa), diff(lnL(landa),landa)) $ /* informante */

(%i26) freeof (landa, rhs (solve (u(landa), landa) [1])) ; /* no puede despejar landa */

(%o26) false

(%i27) tex (u(landa)) $

> L <- function(n1,n2,n3,landa) (exp(-landa)*(1+landa))^n1 * 
                                (exp(-landa)*landa^2/2)^n2 * 
                                (1-exp(-landa)*(1+landa+landa^2/2))^n3
> optimize (function (landa) L(3,3,4,landa), c(0,10), maximum=TRUE)
$maximum
[1] 2.342104

$objective
[1] 1.803925e-05

> optimize (function (landa) log(L(3,3,4,landa)), c(0,10), maximum=TRUE)
$maximum
[1] 2.342112

$objective
[1] -10.92296

3.1.8. ejemplo gausiano

3.1.9. ejemplos triangular

1. beta escalada, densa cabe \(\theta\)
   
   • \(X\hookrightarrow \theta\cdot\beta(2,1)\) \(\implies\) \(f=\frac{2x}{\theta^2}I(x < \theta)\) \(\implies\) \(L=\frac{2^n\prod x_i}{\theta^{2n}}I(x_{(n)} < \theta)\) \(\implies\) \(\forall\theta > x_{(n)},\ln L=n\ln2+\sum\ln x_i - 2n\ln\theta\) \(\implies\) \(\frac{\partial\ln L}{\partial\theta}\) = \(-\frac{2n}\theta\) \( < \) \(0\) \(\implies\) \(L\) es decreciente
   • EMV \(\hat\theta\) = \(X_{(n)}\)
2. beta escalada, densa cabe \(0\)
   
   • \(X\hookrightarrow \theta\cdot\beta(1,2)\) \(\implies\) \(f=\frac{2(1-\frac x\theta)}{\theta}I(x < \theta)\) \(\implies\) \(L=\frac{2^n\prod(1-\frac{x_i}\theta)}{\theta^{n}}I(x_{(n)} < \theta)\) \(\implies\) \(\forall\theta > x_{(n)}\), \(\ln L\) = \(n\ln2+\sum\ln \left(1-\frac{x_i}{\theta}\right) - n\ln\theta\) \(\implies\) \(\frac{\partial\ln L}{\partial\theta}\) = \( \sum \frac{-\frac{x_i}{\theta^2}}{1-\frac{x_i}{\theta}} -\frac{n}\theta\) = \( \sum \frac{x_i}{\theta{x_i}-\theta^2} -\frac{n}\theta\) = 0 \(\implies\) \(\bigg\{\) \(0 = \frac{\partial\ln L}{\partial\theta}\) \(\implies\) \(\sum\frac{x_i}{x_i-\theta}=n\) \(\bigg\}\)
   • EMV debe obtenerse numéricamente

3.2.1. EMV función del suficiente

3.2.2. equivarianza o invariancia funcional

3.2.3. comportamiento asintótico

1. condiciones de regularidad
   
   1. \(\theta\neq\theta'\) \(\implies\) \(F_\theta \neq F_{\theta'}\); si no, no podrían distinguirse y el estimador no podría ser consistente
   2. el soporte \(\{x:f(x,\theta)>0\}\) no cambia (no depende de \(\theta\))
   3. \(\vec X\) es una muestra aleatoria simple de \(X\hookrightarrow F_{\theta_0}\)
   4. el espacio paramétrico \(\Theta\) es un intervalo abierto
   5. \(\forall x, f(x,\theta)\) es derivable dos veces respecto a \(\theta\)
   6. las integrales \(\int\left|\frac{\partial^i f(x,\theta)}{\partial\theta^i}\right|dx\) son finitas para \(i=1,2\)
2. teorema de consistencia
   
   • si se cumplen las condiciones de regularidad, entonces existe una sucesión de raíces de la ecuación de verosimilitud, \(\hat\theta_n\), fuertemente consistente, es decir, tal que \(\hat\theta_n\stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow}\theta_0\)
3. teorema de eficiencia
   
   1. enunciado:
      

      Si

      • se cumplen las condiciones de regularidad
      • existe \(\frac{\partial^3\ln f(x,\theta)}{\partial\theta^3}\) con \(\left|\frac{\partial^3\ln f(x,\theta)}{\partial\theta^3}\right| < K(x)\) siendo \(E_\theta[K(X)] < \infty\)

      entonces

      • existe una sucesión de raíces de la ecuación de verosimilitud, \(\hat\theta_n\), consistente y asintóticamente gausiana, es decir, \((\hat\theta_n-\theta_0)\sqrt{n I(\theta_0)}\stackrel{\text{L}}{\longrightarrow}N(0,1)\)
      • equivalentemente, con \(n\) grande \(\hat\theta_n\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}N\left(\theta_0,\frac1{\sqrt{n I(\theta_0)}}\right)\)

      donde \(I(\theta)\) = \(\text{Var}\left(\frac{\partial\ln f(X,\theta)}{\partial\theta}\right)\) = \(E\left[\left(\frac{\partial\ln f(X,\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]\) = \(-E\left(\frac{\partial^2\ln f(X,\theta)}{\partial\theta^2}\right)\) es la cantidad información de Físher que \(X\) contiene sobre \(\theta\).

   2. demostración:
      
      • \(u(\theta)\) = \(\frac{\partial\ln L(\vec x,\theta)}{\partial\theta}\) = \(\sum_{i=1}^n\frac{\partial\ln f(x_i,\theta)}{\partial\theta}\)
      • \(E[u(\theta)]\) = \(\sum_{i=1}^nE\left(\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\right)\)
      • \(E\left(\frac{\partial\ln f(X,\theta)}{\partial\theta}\right)\) = \(\int\frac{\partial\ln f(x,\theta)}{\partial\theta}f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac1{f(x,\theta)}\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}dx\) = \(\frac{\partial \int f(x,\theta) dx }{\partial\theta}\) = \(\frac{\partial 1 }{\partial\theta}\) = 0
      • \(\text{Var}[u(\theta)]\) = \(\text{Var}\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\right)\) = \(\sum_{i=1}^n\text{Var}\left(\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\right)\) = \(\sum_{i=1}^nE\left[\left(\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]\)
      • \(E\left[\left(\frac{\partial\ln f(X,\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]\) = \(\int\left(\frac{\partial\ln f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2f(x,\theta)dx\) = \(\int\left(\frac1{f(x,\theta)}\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac1{f(x,\theta)^2}\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac1{f(x,\theta)}\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2dx\)
      • \(E\left(\frac{\partial^2\ln f(X,\theta)}{\partial\theta^2}\right)\) = \(\int\frac{\partial^2\ln f(x,\theta)}{\partial\theta^2}f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\partial\ln f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)f(x,\theta)dx\) = \(\int\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac1{f(x,\theta)}\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)f(x,\theta)dx\) = \(\int \frac{\frac{\partial^2f(x,\theta)}{\partial\theta^2}f(x,\theta)-\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)^2} f(x,\theta)dx\) = \(\int \frac{\frac{\partial^2f(x,\theta)}{\partial\theta^2}f(x,\theta)-\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)} dx\) = \(\int \frac{\partial^2f(x,\theta)}{\partial\theta^2} dx -\int \frac{\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)} dx\) = \(\frac{\partial^2\int f(x,\theta)dx}{\partial\theta^2} -\int \frac{\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)} dx\) = \(\frac{\partial^2 1}{\partial\theta^2} -\int \frac{\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)} dx\) = \(0 -\int \frac{\left(\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{f(x,\theta)} dx\) = \(-E\left[\left(\frac{\partial\ln f(X,\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]\)
      • luego \(u(\theta)\) tiene esperanza y varianza finitas
      • sea \(\hat\theta_n\) una raíz de la ecuación de verosimilitud, \(0=u(\hat\theta_n)\)
      • desarrollo de Taylor de \(u(\hat\theta_n)\) en torno a \(\theta_0\): \(0\) = \(u(\hat\theta_n)\) = \(u(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)u'(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)^2\frac{u''(\tilde\theta)}2\) con \(\tilde\theta\) tal que \(|\tilde\theta-\theta_0| < |\hat\theta_n-\theta_0|\)
      • \(0\) = \(u(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)\left[u'(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}2\right]\) \(\implies\) \(\hat\theta_n-\theta_0\) = \(\frac{-u(\theta_0)}{u'(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}2}\) \(\implies\) \(\sqrt n(\hat\theta_n-\theta_0)\) = \(\frac{-\sqrt n u(\theta_0)}{u'(\theta_0) + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}2}\) = \(\frac{\sqrt n\frac{-u(\theta_0)}n}{\frac{u'(\theta_0)}n + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}{2n}}\)
      • numerador \(\sqrt n\frac{-u(\theta_0)}n\): por el TCL, como \(\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\) son i.i.d. con esperanza \(0\) y varianza \(I(\theta)\), se tiene \(-\sqrt n\frac{u(\theta_0)}n\) = \(-\sqrt n\left(\frac1n\sum_{i=1}^n\left.\frac{\partial\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta}\right|_{\theta=\theta_0}\right)\) \(\stackrel{L}{\longrightarrow}\) \(N\left(0,\sqrt{I(\theta_0)}\right)\)
      • denominador converge en probabilidad a \(I(\theta_0)\):
        • por la LFGN \(\frac{u'(\theta_0)}n\) = \(\frac1n\sum_{i=1}^n\left.\frac{\partial^2\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta^2}\right|_{\theta=\theta_0}\) \(\stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow}\) \(-I(\theta_0)\)
        • se sabe que existe sucesión de soluciones de la ecuación de verosimilitud tal que \(\hat\theta_n-\theta_0\) \(\stackrel{P}{\longrightarrow}\) \(0\)
        • \(\frac{u''(\tilde\theta)}n\) = \(\frac1n\sum_{i=1}^n\left.\frac{\partial^3\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta^3}\right|_{\theta=\tilde\theta}\) \(\implies\) \(\left|\frac{u''(\tilde\theta)}n\right|\) \(\leqslant\) \(\frac1n\sum_{i=1}^n\left|\frac{\partial^3\ln f(X_i,\theta)}{\partial\theta^3}\big|_{\theta=\tilde\theta}\right|\) \(\leqslant\) \(\frac1n\sum_{i=1}^n K(X_i)\) \(\stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow}\) \(E[K(X)]\) = \(k\) \(<\) \(\infty\) \(\implies\) con \(n\) grande, \(\left|\frac1n\sum_{i=1}^n K(X_i)-k\right| < \varepsilon\) \(\implies\) con \(n\) grande, \(\frac1n\sum_{i=1}^n K(X_i) < k+\varepsilon\) \(\implies\) con \(n\) grande, \(\left|\frac{u''(\tilde\theta)}n\right| < k+\varepsilon\)
        • \((\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}{2n} \) \(\stackrel{P}{\longrightarrow}\) \(0\)
        • \({\frac{u'(\theta_0)}n + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}{2n}}\) \(\stackrel{P}{\longrightarrow}\) \(-I(\theta_0)\)
      • \(I(\theta_0) > 0\) \(\implies\) \(\frac1{\frac{u'(\theta_0)}n + (\hat\theta_n-\theta_0)\frac{u''(\tilde\theta)}{2n}}\) \(\stackrel{P}{\longrightarrow}\) \(\frac{-1}{I(\theta_0)}\)
      • \(\sqrt n(\hat\theta_n-\theta_0)\) \(\stackrel{L}{\longrightarrow}\) \(N\left(0,\frac1{\sqrt{I(\theta_0)}}\right)\)
   3. corolario:
      

      En las condiciones del teorema anterior, si la ecuación de verosimilitud tiene una única raíz, ésta es el EMV y es consistente, asintóticamente eficiente y asintónticamente gausiano.

   4. ejemplo
      
      • \(X\hookrightarrow\text{Exp}(\theta)\)
      • el EMV es \(\hat\theta_{\text{MV}}\) = \(\frac1{\bar X}\)
      • la información de Físher es \(\frac{-\partial^2\ln f(x,\theta)}{\partial\theta^2}\) = \(\frac{-\partial^2\ln(\theta e^{-\theta x})}{\partial\theta^2}\) = \(\frac1{\theta^2}\)
      • se verifican las condiciones de regularidad de F-C-R
      • además, \(\frac{\partial^3 f(x,\theta)}{\partial\theta^3}\) = \(\frac{\partial^3\ln(\theta e^{-\theta x})}{\partial\theta^3}\) = \(\frac2{\theta^3}\)
      • considerando que el espacio paramétrico es \(\Theta=(\epsilon,\infty)\), entonces \(\theta > \epsilon\) y \(\frac{\partial^3 f(x,\theta)}{\partial\theta^3}\) = \(\frac2{\theta^3}\) \( < \) \(\frac2{\epsilon^3}\)
      • por el teorema, \(\sqrt n\left(\frac1{\bar X}-\theta\right)\stackrel{L}{\longrightarrow} N(0,\theta)\)
      • aunque la acotación de la tercera derivada no se verifica para cualquier \(\theta > 0\), basta suponer en la práctica el \(\epsilon\) muy pequeño, o emplear directamente el método delta con \(g(x)=\frac1x\):
        • por el TCL, \(\sqrt n(\bar X-\mu)\stackrel{L}{\longrightarrow}N(0,\mu)\) con \(\mu=\frac1\theta\)
        • luego \(\sqrt n\left(\frac1{\bar X}-\frac1\mu\right)\) = \(\sqrt n\left(\frac1{\bar X}-\theta\right)\) \(\stackrel{L}{\longrightarrow}\) \(N(0,\theta)\)
   5. ejemplo
      
      • \(X\hookrightarrow U(0,\theta)\)
      • EMV \(\hat\theta_n = X_{(n)}\) cuya distribución es \[ F_{X_{(n)}}(x) = \Pr(X_{(n)}\leqslant x) = \begin{cases} 0 & x\leqslant0 \\ \left(\frac x\theta\right)^n & 0 < x < \theta \\ 1 & x\geqslant\theta \end{cases} \]
      • \(E(X_{(n)})\) = \(\frac{n}{n+1}\theta\) \(\to\) \(\theta\)
      • \(\text{Var}(X_{(n)})\) = \(\left(\frac{n}{n+2}-\frac{n^2}{(n+1)^2}\right)\theta^2\) = \(\frac{n}{(n+2)(n+1)^2}\theta^2\) \(\to\) \(0\)
      • luego EMV consistente pero \(\sqrt n(X_{(n)}-\theta)\) no converge a una ley gausiana pues
        • su varianza tiende a cero: \(\text{Var}[\sqrt n(X_{(n)}-\theta)]\) = \(\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{n^3}{(n+1)^2}\right)\theta^2\) = \({{n^2\,\theta^2}\over{n^3+4\,n^2+5\,n+2}}\) \(\to\) \(0\)
        • luego \(\sqrt n(X_{(n)}-\theta)\) tiende a una degenerada en cero, \(\sqrt n(X_{(n)}-\theta)\) \(\stackrel{\Pr}{\longrightarrow}\) 0:
          • directamente: \(\forall\;\epsilon > 0\), \(\Pr\left[\left|\sqrt n(X_{(n)}-\theta)\right| < \epsilon\right]\) = \(\Pr\left[\sqrt n(\theta-X_{(n)}) < \epsilon\right]\) = \(\Pr\left[X_{(n)} > \theta-\frac{\epsilon}{\sqrt n}\right]\) = \(1-F_{X_{(n)}}\left(\theta-\frac{\epsilon}{\sqrt n}\right)\) = \(1-\left[\frac{\theta-\frac{\epsilon}{\sqrt n}}{\theta}\right]^n\) = \(1-\left[1-\frac{\epsilon}{\theta\sqrt n}\right]^n\) = \(1-\left(\underbrace{\left[1-\frac{\epsilon}{\theta\sqrt n}\right]^{\sqrt n}} _{\stackrel{n}{\to} e^{-\epsilon/\theta} < 1}\right)^{\sqrt n}\) \(\stackrel{\exists\;\delta,n_0\atop\forall\;n>n_0}\geqslant\) \(1-\underbrace{\left(\underbrace{e^{-\epsilon/\theta}+\delta} _{ < 1}\right)^{\sqrt n}} _{\stackrel{n}{\to}0}\) \(\stackrel{n}{\longrightarrow}\) \(1\)
          • otramente, mediante la desigualdad de Márkov: sea \(T=\sqrt n(X_{(n)}-\theta)\); \(\Pr\left[|T|\leqslant\epsilon\right]\) \(=\) \(\Pr\left[T^2\leqslant\epsilon^2\right]\) \(\geqslant\) \(1-\frac{E\left[T^2\right]}{\epsilon^2}\) \(=\) \(1-\frac{\text{Var}\left[T\right]+E^2\left[T\right]}{\epsilon^2}\) \(=\) \(1-\frac{\text{Var}\left[T\right]+\left(\sqrt n\frac{-1}{n+1}\theta\right)^2}{\epsilon^2}\) \(\stackrel{n}{\longrightarrow}\) \(1-0\) \(=\) \(1\)
      • multiplicando por \(n\) en vez de por \(\sqrt n\) se consigue que la varianza no se anule: \(\text{Var}[n(X_{(n)}-\theta)]\) = \(\left(\frac{n^3}{n+2}-\frac{n^4}{(n+1)^2}\right)\theta^2\) = \({{n^3\,\theta^2}\over{n^3+4\,n^2+5\,n+2}}\) \(\to\) \(\theta^2\)
      • considérese la convergencia en ley de \(\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}\)
        • \(\lim_{n\to\infty} F_{\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}}(x)\) = \(\lim_n \Pr\left[{\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}}\leqslant x\right]\)
        • si \(x\geqslant0\) entonces \(\Pr\left[{\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}}\leqslant x\right]=1\)
        • si \(x < 0\) entonces \(\lim_n \Pr\left[{\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}}\leqslant x\right]\) = \(\lim_n \Pr\left[{{X_{(n)}}}\leqslant \bigl(\frac xn+1\bigr)\theta\right]\) = \(\lim_n \Pr\left[{\frac{X_{(n)}}{\theta}}\leqslant\frac xn+1\right]\) = \(\left\langle Y\hookrightarrow U(0,1)\right\rangle\) = \(\lim_n \Pr\left[Y_{(n)}\leqslant\frac xn+1\right]\) = \(\lim_n \left(\Pr\left[Y\leqslant\frac xn+1\right]\right)^n\) = \(\lim_n \left(\frac xn+1\right)^n\) = \(\lim_n \left(1+\frac xn\right)^n\) = \(e^x\)
        • \(\frac{X_{(n)}-\theta}{\theta/n}\) \(\hookrightarrow\) \(-\text{Exp}(1)\) distribución asintótica no gausiana