\documentclass[12pt,draft]{article}
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\usepackage{amsmath}
\newcommand{\sigue}{\,\hookrightarrow\,}
\newcommand{\espe}[1]{{\rm E}\left[#1\right]}  % esperanza
\newcommand{\var}[1]{{\rm Var}\left[#1\right]} % varianza
\newcommand{\ecm}[1]{{\rm ECM}\left[#1\right]} % ECM
\newcommand{\integral}[4]{\int_{#1}^{#2}{#3}\,{\rm d}#4}
\newcommand{\vease}[1]{(véase pág.~\pageref{#1})}
\begin{document}
\title{Comparación de estimadores}
\author{Inferencia Estadística}
\maketitle
Sea la población $X\sigue U(0,\theta)$. Considérense los siguientes
estimadores de $\theta$:
\begin{itemize}
\item $\hat\theta_{\rm MM}=2\bar X$ (método de los momentos)
\item $\hat\theta_{\rm MV} = X_{(n)}$ (máximo-verosímil)
\item $\hat\theta_{\rm MVI} = \frac{n+1}n X_{(n)}$ (MV insesgado)
\item $\hat\theta_a = a X_{(n)}$ (MV escalado)
\end{itemize}
\section{Sesgos}
$$\espe{\hat\theta_{\rm MM}}=\espe{2\bar X}=2\,\espe{\bar X}
=2\,\espe{X}=2\,\frac\theta2=\theta$$
luego $\hat\theta_{\rm MM}$ es insesgado.

\begin{eqnarray*}
  0<x<\theta&\implies& f_X(x)=\frac1\theta \implies F_X(x)=\frac x\theta
                       \implies F_{X_{(n)}}(x)=\frac{x^n}{\theta^n} \\
            &\implies& f_{X_{(n)}}(x) =
                       {{n\,x^{n-1}}\over{\theta^{n}}}\\
            &\implies&\espe{X_{(n)}}=\integral{0}{\theta}{x\,f_{X_{(n)}}(x)}{x}=
                       \integral{0}{\theta}{{x\,n\,x^{n-1}}\over{\theta^{n}}}{x}=
                       {{n\,\theta}\over{n+1}}
\end{eqnarray*}
\vease{sesgomv} luego $\hat\theta_{\rm MV}$ tiene un
sesgo de $-\frac\theta{n+1}$.

$$\espe{\hat\theta_{\rm MVI}} = \espe{\frac{n+1}n X_{(n)}} =
\frac{n+1}n\,\espe{X_{(n)}}=\frac{n+1}n\,{{n\,\theta}\over{n+1}}=\theta$$
luego $\hat\theta_{\rm MVI}$ es insesgado.

$$\espe{\hat\theta_a} = \espe{a\,X_{(n)}} =a\,{{n\,\theta}\over{n+1}}
\implies\text{sesgo($\hat\theta_a$)}
={{\left(a\,n-n-1\right)\,\theta}\over{n+1}}$$
luego $\hat\theta_a$ es insesgado sii $a=\frac{n+1}n$.
\section{Varianzas}
$$
\var{\hat\theta_{\rm MM}}=\var{2\bar X}=4\,\var{\bar X}
=\frac4n\,\var{X}=\frac4n\,\frac{\theta^2}{12}=\frac{\theta^2}{3n}
$$

\begin{eqnarray*}
  \var{X_{(n)}}
  &=&\espe{X_{(n)}^2}-\left(\espe{X_{(n)}}\right)^2=
      \integral{0}{\theta}{x^2\,f_{X_{(n)}}(x)}{x}
      - \left({{n\,\theta}\over{n+1}}\right)^2\\
  &=&\integral{0}{\theta}{x^2\,{{n\,x^{n-1}}\over{\theta^{n}}}}{x}
      - \left({{n\,\theta}\over{n+1}}\right)^2
  ={{n\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)^2\,\left(n+2\right)}}
\end{eqnarray*}
\vease{var}.

\begin{eqnarray*}
  \var{\hat\theta_{\rm MVI}}
  &=& \var{\frac{n+1}n X_{(n)}} =
      \frac{(n+1)^2}{n^2} \, \var{X_{(n)}} \\
  &=& \frac{(n+1)^2}{n^2} \,
      {{n\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)^2\,\left(n+2\right)}}
  = {{\theta^2}\over{n\,\left(n+2\right)}}
\end{eqnarray*}

$$
\var{\hat\theta_a} = \var{a\,X_{(n)}} =
a^2\,{{n\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)^2\,\left(n+2\right)}}
$$

De entre los estimadores insesgados se puede decir que $\hat\theta_{\rm MVI}$
es más eficiente que $\hat\theta_{\rm MM}$, pues
$\var{\hat\theta_{\rm MVI}} = {{\theta^2}\over{n\,\left(n+2\right)}} <
\frac{\theta^2}{3n}=\var{\hat\theta_{\rm MM}}$ si $n>1$.
\section{Error cuadrático medio}
Para comparar estimadores sesgados e insesgados usaremos el criterio del ECM,
$$ \ecm{\hat\theta} = \var{\hat\theta} + {\rm sesgo}^2 =
\var{\hat\theta} + \left(\espe{\hat\theta}-\theta\right)^2 $$


\begin{eqnarray*}
  \ecm{\hat\theta_{\rm MM}}
  &=&\var{\hat\theta_{\rm MM}}+0=\frac{\theta^2}{3n}\\
  \ecm{\hat\theta_{\rm MV}}
  &=&\var{\hat\theta_{\rm MV}}+
      \left(-\frac\theta{n+1}\right)^2=
      {{n\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)^2\,\left(n+2\right)}}+
      \left(-\frac\theta{n+1}\right)^2\\
  &=& {{2\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)\,\left(n+2\right)}}\\
  \ecm{\hat\theta_{\rm MVI}}
  &=& \var{\hat\theta_{\rm MVI}} =
      {{\theta^2}\over{n\,\left(n+2\right)}}\\
  \ecm{\hat\theta_a}
  &=& a^2\,{{n\,\theta^2}\over{\left(n+1\right)^2\,\left(n+2\right)}} +
      \left({{\left(a\,n-n-1\right)\,\theta}\over{n+1}}\right)^2\\
  &=&{{\left(a^2\,\left(n^2+n\right)+n^2+a\,\left(-2\,n^2-4\,n\right)+3
      \,n+2\right)\,\theta^2}\over{n^2+3\,n+2}}
\end{eqnarray*}
\vease{ecm}.  Por un lado, para $n>1$ se tiene que $\hat\theta_{\rm MM}$
es peor que ${\hat\theta_{\rm MV}}$ y, éste, peor que ${\hat\theta_{\rm MVI}}$
(asintóticamente, tiene el doble de ECM).

El valor de $a$ que hace mínimo el ECM de $\hat\theta_a$ es
$$a={{n+2}\over{n+1}}$$
\vease{minimo}.
\appendix
\section{Cálculos con Maxima}
Densidad y esperanza del máximo:
\label{sesgomv}
\begin{verbatim}
F(x) := x^n / theta^n $
define (f(x), diff(F(x),x)) $
tex (f(x)) $
assume (n > 1, theta > 0) $
tex (integrate (x * f(x), x, 0, theta)) $
tex (factor (a * n*theta/(n-1) - theta)) $
\end{verbatim}
Varianza del máximo:
\label{var}
\begin{verbatim}
espeX : integrate (x * f(x), x, 0, theta) $
varX : integrate (x^2 * f(x), x, 0, theta) - espeX^2 $
tex (factor (varX)) $
\end{verbatim}
Errores cuadráticos medios:
\label{ecm}
\begin{verbatim}
sesgoX : -theta/(n+1) $
ecmX : varX + sesgoX^2 $
tex (factor (ecmX)) $
varA : a^2 * varX $
espeA : a * espeX $
sesgoA : espeA - theta $
ecmA : varA + sesgoA^2 ;
tex (ratsimp (factor (ecmA), a, theta)) $
define (ecm(a), ecmA) $
limit (ecm(1) / ecm((n+1)/n), n, inf) ;
\end{verbatim}
Minimización del ECM respecto a $a$:
\label{minimo}
\begin{verbatim}
tex (solve (diff (ecm(a), a), a) [1]) $
\end{verbatim}
\end{document}
