% Created 2022-12-10 sáb 10:56
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
\documentclass[11pt]{article}
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\author{Carlos Carleos, Norberto Corral, Teresa López}
\date{\today}
\title{estimación intervalar}
\hypersetup{
 pdfauthor={Carlos Carleos, Norberto Corral, Teresa López},
 pdftitle={estimación intervalar},
 pdfkeywords={},
 pdfsubject={},
 pdfcreator={Emacs 27.1 (Org mode 9.3)}, 
 pdflang={Spanish}}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\sloppy\RaggedRight
\section{definición}
\label{sec:org4c23d11}
\begin{itemize}
\item \(X\hookrightarrow F_\theta\), \(\theta\in\Theta\)
\item \(\vec X\) = \(X_1,\dots,X_n\) muestra aleatoria simple de \(X\)
\item \(\alpha \in (0,1)\), \(\alpha\) pequeño;  \(1-\alpha\) se llama \textbf{coeficiente de confianza}
\item \(T_1\) y \(T_2\) estadígrafos tales que \(\forall\theta\in\Theta\),
\(\Pr_\theta\{\vec x\in X(\Omega)^n\mid 
     T_1(\vec x)\leqslant g(\theta)\leqslant T_2(\vec x)\}\geqslant1-\alpha\)
\item \([T_1(\vec X),T_2(\vec X)]\) es una \textbf{horquilla} o \textbf{intervalo de confianza}
(IC) para \(g(\theta)\) a nivel \(1-\alpha\)
\end{itemize}
\section{advertencia}
\label{sec:org5ba7d6b}
\begin{itemize}
\item dada una realización muestral \(\vec x_0\),
en inferencia frecuentista (la nuestra) no se puede afirmar 
que \(\Pr\{\theta\in[T_1(\vec x_0),T_2(\vec x_0)]\}\geqslant1-\alpha\)
\item se trata de intervalos de \emph{confianza}, no de \emph{probabilidad}
\end{itemize}
\section{ejemplo}
\label{sec:org561c866}
\(X\hookrightarrow N(\mu,1)\) \(\implies\)
\(\frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt n}\hookrightarrow N(0,1)\) \(\implies\)
IC = \(\bar X\pm z_{1-\frac\alpha2}\frac1{\sqrt n}\) =
\(\left[\bar X-z_{1-\frac\alpha2}\frac1{\sqrt n},
   \bar X+z_{1-\frac\alpha2}\frac1{\sqrt n}\right]\) con
\(\Pr[N(0,1) \leqslant z_{1-\frac\alpha2}]=1-\frac\alpha2\)
\section{método pivotal}
\label{sec:orgf037156}
\begin{itemize}
\item la función \(T(\vec X,\theta)\) es un \textbf{pivote} si su distribución 
de probabilidad no depende de \(\theta\) (está completamente especificada)
\item algoritmo para construir IC mediante un pivote
\begin{enumerate}
\item elegir \(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\) (habitualmente, 
\(\alpha_1=\alpha_2=\frac\alpha2\))
\item buscar \(c_1\) y \(c_2\) tales que \(\Pr(T < c_1)\leqslant\alpha_1\)
y \(\Pr(T \leqslant c_2)\geqslant1-\alpha_2\)
\item expresar \(c_1\leqslant T(\vec x,\theta)\leqslant c_2\) como
intervalo en torno a \(\theta\)
\end{enumerate}
\end{itemize}
\subsection{ejemplo}
\label{sec:org98d2a18}
\(X\hookrightarrow N(\mu,\sigma)\) \(\implies\) pivotes:
\begin{itemize}
\item \(\frac{\bar X-\mu}{\hat S/\sqrt n}\hookrightarrow t_{n-1}\)
\(\implies\)
IC = \(\bar X\pm t_{n-1,1-\frac\alpha2}\frac {\hat S}{\sqrt n}\) =
\(\left[\bar X-t_{n-1,1-\frac\alpha2}\frac {\hat S}{\sqrt n},
         \bar X+t_{n-1,1-\frac\alpha2}\frac {\hat S}{\sqrt n}\right]\) con
\(\Pr[t_{n-1} \leqslant t_{n-1,1-\frac\alpha2}]=1-\frac\alpha2\)
\item \(\frac{(n-1)\hat S^2}{\sigma^2}\hookrightarrow\chi^2_{n-1}\)
\(\implies\) IC =
\(\left[\frac{(n-1)\hat S^2}{\chi^2_{n-1,1-\frac\alpha2}},
                \frac{(n-1)\hat S^2}{\chi^2_{n-1,\frac\alpha2}}\right]\)
\end{itemize}

\subsection{pivote genérico}
\label{sec:org5c35942}
\(X\hookrightarrow F_\theta\) absolutamente continua
\(\implies\) puede usarse el pivote
\(-\sum\ln F_\theta(X_i)\hookrightarrow\gamma(n,1)\) pues
\begin{itemize}
\item \(F_X(X)\hookrightarrow U(0,1)\)
\item \(-\ln U(0,1)\hookrightarrow\text{Exp}(1)\)
\item \(\sum_{i=1}^n\text{Exp}(\lambda)\) independientes \(\hookrightarrow\) \(\gamma(n,\lambda)\)
\end{itemize}
\subsection{comparación de intervalos}
\label{sec:org46b9eae}
\begin{itemize}
\item motivo
\begin{itemize}
\item pueden existir varios pivotes
\item con un mismo pivote, pueden escogerse \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\)
de varias maneras
\end{itemize}
\item criterio
\begin{itemize}
\item preferir el intervalo de amplitud (esperada) mínima
\end{itemize}
\item ejemplo:
\(X\hookrightarrow U(0,\theta)\); dos procedimientos
\begin{itemize}
\item pivote genérico:
\begin{itemize}
\item \(F(x)=\frac{x}\theta\) \(\implies\)
\(-\sum\ln\frac{X_i}{\theta}\hookrightarrow\gamma(n,1)\)
\item \(a=-\sum\ln\frac{X_i}{\theta}=-\ln\prod\frac{X_i}{\theta}\)
\(\implies\) \(e^{-a}=\frac{\prod{X_i}}{\theta^n}\)
\(\implies\) \(\theta^n=\frac{\prod{X_i}}{e^{-a}}\)
\(\implies\) \(\theta=\sqrt[n]{e^{a}\prod{X_i}}\)
\item sean \(a\) y \(b\) tales que \(\Pr[a\leqslant\gamma(n,1)\leqslant b]\)
= \(1-\alpha\)
\item \(\Pr[a\leqslant\gamma(n,1)\leqslant b]\) =
\(\Pr\left[\sqrt[n]{e^{a}\prod{X_i}}\leqslant\theta\leqslant
          \sqrt[n]{e^{b}\prod{X_i}}\right]\) \(\implies\)
amplitud \(L = \sqrt[n]{e^{b}\prod{X_i}}-\sqrt[n]{e^{a}\prod{X_i}}\)
= \(\sqrt[n]{\prod{X_i}}\left(\sqrt[n]{e^{b}}-\sqrt[n]{e^{a}}\right)\)
\item \(E\left[\sqrt[n]{\prod X_i}\right]\) = \(E\left[\prod \sqrt[n]{X_i}\right]\)
= \(\prod E\left[\sqrt[n]{X_i}\right]\) = \(E^n\left[\sqrt[n]{X}\right]\)
\item \(E\left(X^{\frac1n}\right)\) = \(\int_0^\theta x^{\frac1n}\frac1\theta dx\)
= \(\left|\frac1\theta
              \frac{x^{\frac1n+1}}{\frac1n+1}\right|_{x=0}^{x=\theta}\)
= \(\frac n{n+1}\theta^{\frac1n}\)
\item \(E(L)\) = \(\theta\left(\frac n{n+1}\right)^n
          \left(e^{\frac bn}-e^{\frac an}\right)\)
\end{itemize}
\item pivote basado en un estimador, como \(X_{(n)}\)
\begin{itemize}
\item \(U\) = \(\frac{X_{(n)}}\theta\) \(\hookrightarrow\)
\(F_{U(0,1)}(u)^n\) = \(u^n\) \(\forall u\in(0,1)\)
\item \(1-\alpha\) =
\(\Pr\left[a\leqslant\frac{X_{(n)}}\theta\leqslant b\right]\)
\(\implies\) \(a=\sqrt[n]{\alpha_1}\), \(b=\sqrt[n]{1-\alpha_2}\)
\(\implies\)
\(\Pr\left[\frac{X_{(n)}}{\sqrt[n]{1-\alpha_2}}
          \leqslant\theta\leqslant\frac{X_{(n)}}{\sqrt[n]{\alpha_1}}\right]\)
\item \(E(L)\) =
\(\frac n{n+1}\theta
          \left(\frac1{\sqrt[n]{\alpha_1}}-\frac1{\sqrt[n]{1-\alpha_2}}\right)\)
\item minimizar la amplitud esperada:
\(L(\alpha_1)\) =
\(\frac n{n+1}\theta
          \left(\frac1{\sqrt[n]{\alpha_1}}-
          \frac1{\sqrt[n]{1-\alpha+\alpha_1}}\right)\)
\item \(\frac{\partial L}{\partial\alpha_1}\) =
\(\frac n{n+1}\theta\frac1n
          \left(-\frac1{\alpha_1^{\frac1n+1}}+
          \frac1{(1-\alpha+\alpha_1)^{\frac1n+1}}\right)\) \(<\) \(0\)
si \(\alpha_1 < 1-\alpha+\alpha_1\) \(\iff\) \(0<1-\alpha\) \(\implies\) \(L\) decreciente
\(\implies\) mínimo con \(\alpha_1=\alpha\) y \(\alpha_2=0\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{verbatim}
### X = U(0,zita)
longitudesEsperadas <- function (n, alfa, zita)
{
    ## pivote genérico con alfa1=alfa2
    a <- qgamma(alfa/2,n,1)
    b <- qgamma(1-alfa/2,n,1)
    L1 <- zita * (n/(n+1))^n * (exp(b/n)-exp(a/n))
    ## pivote genérico con alfa1 y alfa2 óptimos
    fL2 <- function (alfa1)
    {
        a <- qgamma(alfa1,n,1)
        b <- qgamma(1-alfa+alfa1,n,1)
        zita * (n/(n+1))^n * (exp(b/n)-exp(a/n))
    }
    L2 <- optimize (fL2, c(0,alfa)) $ objective
    ## pivote EMV
    L3 <- n/(n+1) * zita * (1/alfa^(1/n)-1)
    ## genérico Simétrico y Óptimo, y EMV
    c (genéricoS=L1, genéricoÓ=L2, EMV=L3)
}
n <- 100
alfa <- .05
zita <- 1
longitudesEsperadas (n, alfa, zita)
intervalos <- function (x, alfa)
{
    n <- length (x)
    ## pivote genérico...
    T <- prod (x)
    extremo <- function (a) (exp(a)*T)^(1/n)
    ## ...con alfa1=alfa2
    a <- qgamma (alfa/2, n, 1)
    b <- qgamma (1-alfa/2, n, 1)
    Gs1 <- extremo (a)                  
    Gs2 <- extremo (b)
    L1 <- Gs2 - Gs1
    ## ...con alfa1 y alfa2 óptimos
    fL2 <- function (alfa1)
    {
        a <- qgamma(alfa1,n,1)
        b <- qgamma(1-alfa+alfa1,n,1)
        zita * (n/(n+1))^n * (exp(b/n)-exp(a/n))
    }
    alfa1 <- optimize (fL2, c(0,alfa)) $ minimum
    a <- qgamma (alfa1, n, 1)
    b <- qgamma (1-alfa+alfa1, n, 1)
    Go1 <- extremo (a)                 
    Go2 <- extremo (b)
    L2 <- Go2 - Go1
    ## pivote EMV
    T <- max (x)
    E1 <- T
    E2 <- T / alfa^(1/n)
    L3 <- E2 - E1
    rbind (genéricoS = c(inf=Gs1, sup=Gs2, lon=L1),
           genéricoÓ = c(inf=Go1, sup=Go2, lon=L2),
           EMV       = c(ind=E1,  sup=E2,  lon=L3))
}
intervalos (runif(100,0,zita), alfa)
## cobertura
apply (replicate (1e5,
{
    x <- runif (100, 0, zita)
    intervalos.x <- intervalos (x, alfa)
    cubre <- apply (intervalos.x, 1,
                    function (inf.sup.lon)
                        inf.sup.lon["inf"] <= zita &
                        zita <= inf.sup.lon["sup"])
}),
1,
mean)
1 - alfa # confianza

### ejemplo de ejecución

> longitudesEsperadas (n, alfa, zita)
 genéricoS  genéricoÓ        EMV 
0.39988706 0.39445253 0.03010946 

> intervalos (runif(100,0,zita), alfa) # zita=1
                inf      sup        lon
genéricoS 1.0131663 1.498898 0.48573135
genéricoÓ 0.9963855 1.475516 0.47913018
EMV       0.9925257 1.022709 0.03018326

genéricoS genéricoÓ       EMV # coberturas
  0.95001   0.95001   0.95082 
> 1 - alfa # confianza
[1] 0.95
\end{verbatim}
\end{itemize}
\section{{\bfseries\sffamily EXTRA} método de Neyman}
\label{sec:orgf1ccec6}
\begin{itemize}
\item parámetro \(\theta\), confianza \(1-\alpha\), estimador \(T\)
\item para cada \(\theta\in\Theta\) hallar \(a(\theta)\) y \(b(\theta)\) tales que \(\Pr_\theta[a(\theta)\leqslant T\leqslant b(\theta)]\geqslant1-\alpha\)
\item sea \(C=\{(\theta,t)\mid\theta\in\Theta,t\in[a(\theta),b(\theta)]\}\subset\mathbb R^2\)
\item dada la realización muestral \(\vec x_0\) y \(t_0=T(\vec x_0)\), se tiene la horquilla IC = \(\{\theta\mid (\theta,t_0)\in C\}\)
\end{itemize}
\section{método asintótico}
\label{sec:orgb9347a3}
\subsection{pivote para EMV}
\label{sec:orge879618}
\(n\) grande \(\implies\)
      \((\hat\theta_{\text{MV}} - \theta) \sqrt {nI(\theta)}\)
      \(\hookrightarrow\) \(N(0,1)\)
\subsection{TCL}
\label{sec:org094531f}
ejemplo:
\begin{itemize}
\item \(X\) \(\hookrightarrow\) \(B(1,p)\)
\(\stackrel{\text{TCL}}{\implies}\)
\(\frac{\bar X-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}n}}\)
\(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\)
\(N(0,1)\) \(\implies\) \(1-\alpha\) =
\(\Pr\left[-z_{1-\frac\alpha2}\leqslant
         \frac{\bar X-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}n}}\leqslant
         +z_{1-\frac\alpha2}\right]\)
= \(\Pr\left[\left|\frac{\bar X-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}n}}\right| \leqslant
         z_{1-\frac\alpha2}\right]\) =
\(\Pr\left[\frac{(\bar X-p)^2}{{\frac{p(1-p)}n}} \leqslant
         z_{1-\frac\alpha2}^2\right]\) \(\implies\) IC =
\(\left[-{{{z_{1-\frac\alpha2}}\,\sqrt{{z_{1-\frac\alpha2}}^2+\left(4\,{\bar X}-4\,{\bar X}^2\right)\,n}-{z_{1-\frac\alpha2}}^2-2\,{\bar X}\,n
         }\over{2\,{z_{1-\frac\alpha2}}^2+2\,n}} ,{{{z_{1-\frac\alpha2}}\,\sqrt{{z_{1-\frac\alpha2}}^2+\left(4\,{\bar X}-4\,{\bar X}^2\right)\,n}+
         {z_{1-\frac\alpha2}}^2+2\,{\bar X}\,n}\over{2\,{z_{1-\frac\alpha2}}^2+2\,n}} \right]\)
\item si \(n\) es grande, se puede considerar
\(\frac{\bar X-p}{\sqrt{\frac{\bar X(1-\bar X)}n}}\)
\(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\)
\(N(0,1)\) \(\implies\) IC =
 \(\bar X\pm z_{1-\frac\alpha2}\sqrt{\frac{\bar X(1-\bar X)}{n}}\)
\end{itemize}
\subsection{método delta}
\label{sec:org3333f2f}
\begin{itemize}
\item cuando se trata de una trasformación de un estadígrafo con distribución asintótica asegurada por el TCL
\item ejemplo
\begin{itemize}
\item \(X\) \(\hookrightarrow\) \(P(\lambda)\) \(\implies\) \(E(X)=\lambda\), \(D(X)=\sqrt\lambda\)
\item TCL \(\implies\) \(\frac{\bar X-\lambda}{\sqrt{\frac\lambda n}}\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}N(0,1)\)
\begin{description}
\item[{versión primera}] despejando \(\lambda\) : \(\frac{(\bar X-\lambda)^2}{\frac\lambda n}\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\chi^2_1\)
\(\implies\) \(\Pr\left[\frac{(\bar X-\lambda)^2}{\frac\lambda n}< a\right] = 1-\alpha\)
\(\implies\) \(\Pr\left[\bar X^2+\lambda^2-2\bar X\lambda< \frac an\lambda\right] = 1-\alpha\)
\(\implies\) \(\Pr\left[\lambda^2+\left(-2\bar X-\frac an\right)\lambda+\bar X^2<0\right] = 1-\alpha\)
\(\implies\) \(\Pr\left[\lambda\in\left(\bar X+\frac a{2n}\pm\sqrt{\frac{a^2}{4n^2}+\frac{a\bar X}n}\right)\right] = 1-\alpha\)
\item[{versión segunda}] sustituyendo \(\lambda\) en el denominador por su estimador : 
\(\frac{\bar X-\lambda}{\sqrt{\frac{\bar X} n}}\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}N(0,1)\) \(\implies\)
IC = \(\bar X\pm z\sqrt{\frac{\bar X} n}\)
\end{description}
\item método \(\delta\) \(\implies\) \(\sqrt{\bar X}\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\) 
\(N\left(\sqrt\lambda,\frac1{2\sqrt n}\right)\) \(\implies\) IC = \(\left(\sqrt{\bar X}\pm\frac z{2\sqrt n}\right)^2\)
\item nótese que los intervalos TCL2 y \(\delta\) tienen la misma amplitud: 
\begin{itemize}
\item IC TCL: \(\left(\bar X+z\sqrt{\frac\lambda n}\right)\) \(-\) \(\left(\bar X-z\sqrt{\frac\lambda n}\right)\) = \(2z\sqrt{\frac\lambda n}\)
\item IC \(\delta\): \(\left(\sqrt{\bar X}+\frac z{2\sqrt n}\right)^2\) \(-\) \(\left(\sqrt{\bar X}-\frac z{2\sqrt n}\right)^2\) =
\(\left({\bar X}+\frac{z^2}{4n}\right)+2\sqrt{\bar X}\frac z{2\sqrt n}\) \(-\)
\(\left({\bar X}+\frac{z^2}{4n}\right)-2\sqrt{\bar X}\frac z{2\sqrt n}\) = \(2z\sqrt{\frac{\bar X}n}\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{verbatim}
## X = P(l) => E(X)=l D(X)=raíz(l)
n = 30                                  # tamaño muestral
l = 5                                   # parámetro
a = 0.05                                # alfa, 1-confianza
resul = replicate (1e5,
{
    X = rpois (n, l)
    T = mean(X)
    ## TCL => (T - l) / raiz(l/n) = N(0,1) => (T - l)^2 / (l/n) = (Ji^2)_1
    ## {Pr[(Ji^2)_1 < ji] = 1-a} => IC: (T-l)^2 < ji l/n =>
    ## => T^2 + l^2 - 2 T l - ji l/n < 0 =>
    ## => l^2 + (-2T - ji/n) l + T^2 < 0 =>
    ji = qchisq(1-a,1)
    Itcl1 = T + ji/2/n + c(-1,1)*sqrt(ji^2/n^2/4+ji*T/n)
    ## TCL => T = N(l,raiz(l/n)) => IC = T +/- z raiz(l/n)
    ## => IC = T +/- z raiz(T/n)
    z = qnorm(1-a/2)
    Itcl2 = T + c(-1,1)*z*sqrt(T/n)
    ## delta => raiz(T) = N(raiz(l),1/[2raiz(n)])
    Idelta = (sqrt(T) + c(-1,1)*z/(2*sqrt(n)))^2
    ## longitudes y coberturas:
    c (Ltcl1 = diff(Itcl1), Ltcl2 = diff(Itcl2), Ldelta = diff(Idelta),
       Ctcl1 = Itcl1[1] <= l & l <= Itcl1[2],
       Ctcl2 = Itcl2[1] <= l & l <= Itcl2[2],
       Cdelta = Idelta[1] <= l & l <= Idelta[2])
})
apply(resul,1,mean)

### ejemplo de ejecución:

   Ltcl1    Ltcl2   Ldelta    Ctcl1    Ctcl2   Cdelta 
1.604105 1.598978 1.598978 0.954893 0.952269 0.950206 
\end{verbatim}
\end{itemize}

\section{remuestreo autosuficiente o bústrap (\emph{bootstrap})}
\label{sec:orgb57dc19}
\subsection{definición}
\label{sec:org153c117}
\begin{itemize}
\item población \(X\) \(\hookrightarrow\) \(F_\theta\), estimador \(\hat\theta=T\),
realización muestral \(\vec x_0\) = \((x_{01},\dots,x_{0n})\)
\item \textbf{objetivo}: aproximar la distribución de \(T\)
\item \textbf{idea}: considerar \(\vec x_0\) como una población nueva,
con distribución \(F_n\) (la ojiva empírica), es decir,
\(\forall i\in\{1,\dots,n\}\),
\(\Pr(x_{0i})\) = \(\frac1n\)
\item algoritmo general: iterar \(B\) veces
\begin{itemize}
\item obtener \(\vec x^*\) muestra de tamaño \(n\) con reposición a
partir de \(\vec x_0\)
\item calcular \(t^*\) = \(T(\vec x^*)\)
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{tabular}{lllll}
 & Población & Muestra & Parámetro & Estimador\\
\hline
original & \(X\) & \(\vec x\) & \(\theta\) & \(t=T(\vec x)\)\\
bústrap & \(\vec x_0\) & \(\vec x^*\) & \(t_0=T(\vec x_0)\) & \(t^*=T(\vec x^*)\)\\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{itemize}
\item \textbf{étimo}: \emph{bootstrap} es una \href{https://static.packt-cdn.com/products/9781785881169/graphics/B05113\_07\_01.jpg}{parte} \href{https://www.iconspng.com/images/leather-boot-with-bootstrap/leather-boot-with-bootstrap.jpg}{del} \href{https://www.oreilly.com/library/view/the-agile-startup/9781118744482/xhtml/Chapter04\_6.html}{calzado} (identificado a veces
con la \href{https://www.mashoe.es/noticias/las-partes-de-un-zapato}{oreja}) y se usa en una \href{https://en.wiktionary.org/wiki/pull\_oneself\_up\_by\_one\%27s\_bootstraps}{expresión} inglesa que significa
obtener algo en principio imposible; \href{https://ilustresasturianos.blogspot.com/2021/02/pedro-gil-alvarez.html}{Pedro Gil} aludía a la expresión
\href{https://www.elperiodico.com/es/opinion/20120112/duros-cuatro-pesetas-1317525}{duros a cuatro pesetas} (€ a 80 ¢) para ilustrar el método
\end{itemize}
\subsection{hipótesis}
\label{sec:orgcd4fec5}
se supone que se cumple alguna de las siguientes:
\begin{description}
\item[{hipótesis A}] \(F_n\) es una buena aproximación de \(F_\theta\),
luego la distribución de \(T^*\) es similar a la de \(T\)
\item[{hipótesis B}] \(T^*-t_0\) tiene distribución parecida a \(T-\theta\)
\item[{hipótesis C}] \(\frac{T^*-t_0}{D(T^*)}\) tiene distribución parecida a
\(\frac{T-\theta}{D(T)}\) donde \(D(T)\) = \(\sigma_T\) es el desvío típico de \(T\)
\end{description}
\subsection{método gausiano}
\label{sec:org785330c}
\begin{itemize}
\item (aunque es habitual estimar la varianza del estimador, este método no suele usarse para intervalos;
aquí se presenta para introducir intuitivamente el bústrap percentil)
\item supone \(V(T)\) = \(V(T^*)\) (implicado por hipótesis A ó B) y distribución aproximadamente gausiana de \(T\)
\item estimación bústrap de \(V(T)\)
\begin{itemize}
\item generar \(B\) muestras bústrap \(\vec x^*_1, \dots, \vec x^*_B\)
\item aplicar el estimador a cada muestra: \(\forall i\in\{1,\dots,B\}\), \(t^*_i=T(\vec x^*_i)\)
\item estimar la varianza \(V(T^*)\) a partir de la (cuasi)varianza muestral \(\hat V(T^*)\) = \(\hat S^2_{T^*}\) =
\(\frac{\sum_{i=1}^B (t^*_i-\bar t^*)^2}{B-1}\) donde \(\bar t^*=\frac1n\sum t^*_i\)
\end{itemize}
\item \(T\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\) \(N(\theta,\sigma_T)\) \(\implies\) IC = \(T \pm z \hat\sigma_T\)
= \(T(\vec x_0) \pm z \hat\sigma_T\) =  \(t_0 \pm z \hat\sigma_T\)
\begin{itemize}
\item \(\pm z\) son los cuantiles de órdenes \(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de una gausiana típica, \(N(0,1)\)
\item los extremos del IC son los cuantiles de órdenes \(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de una
distribución gausiana \(N\left(t_0,\hat\sigma_T\right)\)
\end{itemize}
\item \(T^*\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\) \(N(t_0,\sigma_{T^*})\) \(\implies\) 
\(1-\alpha\) = \(\Pr^*(t_0 - z \hat\sigma_{T^*} \leqslant T^* \leqslant t_0 + z \hat\sigma_{T^*})\) \(\implies\)
IC\(^*\) = \(t_0 \pm z \hat\sigma_{T^*}\) 
\begin{itemize}
\item \(\Pr_\theta\) indica la probabilidad asociada a \(F_\theta\) y \(\Pr^*\) indica la probabilidad asociada a \(F_n\)
\item los extremos del IC\(^*\) son los cuantiles de órdenes \(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de una
distribución gausiana \(N\left(t_0,\sigma_{T^*}\right)\), teóricamente
\item los extremos del IC\(^*\) son los cuantiles de órdenes \(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de la
distribución bústrap, en la práctica
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{método percentil}
\label{sec:orge65ebc5}
\begin{itemize}
\item supone hipótesis A
\item basado en que
\begin{itemize}
\item \(1-\alpha\) = \(\Pr(a\leqslant T\leqslant b)\)
\(\approx\) \(\Pr^*(a\leqslant T^*\leqslant b)\)
\item \(T\) aproximadamente insesgado, luego \(a\leqslant\theta\leqslant b\)
y
\begin{itemize}
\item \(\hat a = T_1 = \hat T_{\frac\alpha2} = \widehat{\text{cuantil}}\text{ $\frac\alpha2$ de } T\)
\item \(\hat b = T_2 = \hat T_{1-\frac\alpha2} = \widehat{\text{cuantil}}\text{ $1-\frac\alpha2$ de } T\)
\end{itemize}
\item existe una trasformación \(g\) tal que \(g(T)\) 
es simétrica
centrada en \(g(\theta)\); Efron y Tibshirani, An introduction to the bootstrap, 13.3:
\begin{itemize}
\item en inferencia clásica existe un amplio catálogo de trasformaciones para conseguir acercar la distribución de un estimador 
a la situación ideal \(T\hookrightarrow N(\theta,\sigma_T)\)
\item el método percentil extiende la utilidad del método gausiano sin necesidad de conocer dicho catálogo
\end{itemize}
\end{itemize}
\item los extremos del IC\(^*\) son los cuantiles de órdenes \(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de la
distribución bústrap (generalización de la idea del método gausiano)
\begin{itemize}
\item obtener \(a\) y \(b\) como cuantiles de órdenes respectivos
\(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de la distribución de \(T^*\)
\item IC\(^*\) = \([a, b]\)
\end{itemize}
\item el bústrap percentil no funciona bien con estimadores como \(X_{(1)}\) y \(X_{(n)}\)
\end{itemize}
\subsubsection{teorema}
\label{sec:org2309bc7}
\begin{enumerate}
\item enunciado
\label{sec:orgaf6d232}
\begin{itemize}
\item si existe \(g\) creciente tal que \(g(T)-g(\theta)\) tiene la misma
distribución \(\Psi\) que \(g(T^*)-g(T)\), simétrica respecto al origen,
\item entonces el intervalo «percentil» [a,b] cumple la cobertura probabilística
\end{itemize}
\item demostración
\label{sec:org24242ec}
\begin{itemize}
\item por la simetría, \(\Psi(-x)=1-\Psi(x)\)
\item sea \(\psi_\alpha\) el cuantil de orden \(\alpha\) de \(\Psi\), luego
\(\psi_\alpha\) \(=\) \(-\psi_{1-\alpha}\)
\item \(1-\alpha\) \(=\)
\(\Pr_\theta\left[-\psi_{1-\frac\alpha2}\leqslant g(T)-g(\theta)\leqslant
  \psi_{1-\frac\alpha2}\right]\)
\(\approx\) \(\Pr^*\left[-\psi_{1-\frac\alpha2}\leqslant g(T^*)-g(T)\leqslant
  \psi_{1-\frac\alpha2}\right]\)
\item extremo inferior del intervalo:
\(\frac\alpha2\) = \(\Pr^*[g(T^*)-g(T) < -\psi_{1-\frac\alpha2}]\)
 = \(\Pr^*[g(T^*) < g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}]\)
 = \(\Pr^*\bigl[T^* < g^{-1}\bigl(g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)\bigr]\)
 luego \(g^{-1}\bigl(g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)\) =
 \(F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right)\)
\item análogamente para el extremo superior:
\(g^{-1}\bigl(g(T)+\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)\) =
 \(F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)\)
\item \(\Pr\left[-\psi_{1-\frac\alpha2}\leqslant g(T)-g(\theta) \leqslant
  \psi_{1-\frac\alpha2}\right]\) \(=\)
\(\Pr\left[-g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\leqslant -g(\theta) \leqslant
  -g(T)+\psi_{1-\frac\alpha2}\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g(T)+\psi_{1-\frac\alpha2}\geqslant g(\theta) \geqslant
  g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g^{-1}\bigl(g(T)+\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)\geqslant \theta \geqslant
  g^{-1}\bigl(g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g^{-1}\bigl(g(T)-\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)
  \leqslant \theta \leqslant
  g^{-1}\bigl(g(T)+\psi_{1-\frac\alpha2}\bigr)
  \right]\) =
\(\Pr\left[F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right)
  \leqslant g(T)-g(\theta) \leqslant
  F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)
  \right]\)
\(\implies\) IC = \(\left[F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right),
  F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)\right]\)
\end{itemize}
\item {\bfseries\sffamily EXTRA} necesidad de la simetría
\label{sec:org3b63169}
\begin{itemize}
\item sean \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) tales que \(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\)
\item sean \(c_1\) y \(c_2\) tales que \(\alpha_1\) \(=\) \(\Psi(c_1)\) ; \(1-\alpha_2\) \(=\) \(\Psi(c_2)\)
\item \(1-\alpha\) \(=\)
\(\Pr_\theta\left[c_1\leqslant g(T)-g(\theta)\leqslant c_2\right]\)
\(\approx\) \(\Pr^*\left[c_1\leqslant g(T^*)-g(T)\leqslant c_2\right]\)
\item extremo inferior del intervalo:
\(\frac\alpha2\) = \(\Pr^*[g(T^*)-g(T) < c_1]\)
 = \(\Pr^*[g(T^*) < g(T)+c_1]\)
 = \(\Pr^*\bigl[T^* < g^{-1}\bigl(g(T)+c_1\bigr)\bigr]\)
 luego \(g^{-1}\bigl(g(T)+c_1\bigr)\) =
 \(F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right)\)
\item análogamente para el extremo superior:
\(g^{-1}\bigl(g(T)+c_2\bigr)\) =
 \(F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)\)
\item \(\Pr\left[c_1\leqslant g(T)-g(\theta) \leqslant c_2\right]\) \(=\)
\(\Pr\left[-g(T)+c_1\leqslant -g(\theta) \leqslant -g(T)+c_2\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g(T)-c_1\geqslant g(\theta) \geqslant g(T)-c_2\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g^{-1}\bigl(g(T)-c_1\bigr)\geqslant \theta \geqslant
  g^{-1}\bigl(g(T)-c_2\bigr)\right]\)
\(=\)
\(\Pr\left[g^{-1}\bigl(g(T)-c_2\bigr)
  \leqslant \theta \leqslant
  g^{-1}\bigl(g(T)-c_1\bigr)
  \right]\) 
\(=\)
\(\big\langle\) \textbf{aquí necesitamos} \(c_1\) \(=\) \(-c_2\) \(\big\rangle\)
\(=\)
\(\Pr\left[F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right)
  \leqslant g(T)-g(\theta) \leqslant
  F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)
  \right]\)
\(\implies\) IC = \(\left[F^{-1}_{T^*}\left(\frac\alpha2\right),
  F^{-1}_{T^*}\left(1-\frac\alpha2\right)\right]\)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\subsubsection{{\bfseries\sffamily EXTRA} corrección de sesgo}
\label{sec:org005b6fe}
\begin{itemize}
\item el método percentil suele suponer \(\Psi\) \(\sim\) \(N(0,\sigma)\)
\item generalización: \(\frac{g(T)-g(\theta)}{\sigma}\) \(\hookrightarrow\) \(N(-z_0,1)\)
\item \(z_0\) y \(\sigma\) desconocidos ; \(z_0\) estimable:
\begin{itemize}
\item \(p\) \(=\) \(\Pr^*\left[T^*\leqslant T\right]\) \(\implies\) 
estimable mediante bústrap como \(\hat p\) \(=\) \(F_{T^*}^{-1}(T)\)
\item \(p\) \(=\) \(\Pr^*\left[T^*\leqslant T\right]\) \(=\) 
\(\Pr^*\left[\frac{gT^*-gT}{\sigma}\leqslant0\right]\) \(=\) \(\Phi(z_0)\) 
\(\implies\) \(\hat z_0\) \(=\) \(\Phi^{-1}\left(\hat p\right)\)
\end{itemize}
\item \(1-\alpha\) \(=\) \(\Pr\left[z_{\alpha_1}\leqslant\frac{gT-g\theta}{\sigma}+z_0\leqslant z_{1-\alpha_2}\right]\)
\(=\) \(\Pr\left[g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{\alpha_1})\bigr)
  \leqslant\theta\leqslant g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{1-\alpha_2})\bigr)\right]\)
\(\implies\) I.C. \(=\) \(\left[g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{\alpha_1})\bigr)
  \;,\;g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{1-\alpha_2})\bigr)\right]\)
\item extremo inferior: \(\Pr^*\left[T^*\leqslant g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{\alpha_1})\bigr)\right]\) \(=\)
\(\Pr^*\left[\frac{gT^*-gT}{\sigma}+z_0\leqslant2z_0+z_{\alpha_1}\right]\) \(=\)
\(\Pr^*\left[N(0,1)\leqslant2z_0+z_{\alpha_1}\right]\) \(=\) \(\Phi(2z_0+z_{\alpha_1})\) 
\(\implies\) \(g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{\alpha_1})\bigr)\) \(=\) \(F_{T^*}^{-1}\bigl(\Phi(2z_0+z_{\alpha_1})\bigr)\)
\item extremo superior, análogamente: \(g^{-1}\bigl(gT+\sigma(z_0+z_{1-\alpha_2})\bigr)\)
\(=\) \(F_{T^*}^{-1}\bigl(\Phi(2z_0+z_{1-\alpha_2})\bigr)\)
\end{itemize}
\subsection{método básico}
\label{sec:orgd0601a2}
\begin{itemize}
\item supone hipótesis B
\item basado en que \(1-\alpha\) = \(\Pr(a\leqslant T-\theta\leqslant b)\)
\(\approx\) \(\Pr^* (a\leqslant T^*-t_0\leqslant b)\)
\item obtener \(a\) y \(b\) como cuantiles de órdenes respectivos
\(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de la distribución de \(T^*-t_0\)
\item \(1-\alpha\) = \(\Pr(a\leqslant T-\theta\leqslant b)\) =
\(\Pr (a-T\leqslant -\theta\leqslant b-\theta)\) = 
\(\Pr (T-a\geqslant -\theta\geqslant T-b)\) = 
\(\Pr (T-b\leqslant \theta\leqslant T-a)\)
\(\implies\) IC = \([T-b,T-a]\) = \([t_0-b,t_0-a]\)
\end{itemize}
\subsection{método \(t\) ó estudentizado}
\label{sec:orgd75e74a}
\begin{itemize}
\item supone hipótesis C
\item étimo: si \(X\hookrightarrow N(\theta,\sigma)\), \(T=\bar X\) y \(\hat D(T) = \frac{\hat S}{\sqrt n}\), entonces
\(\frac{T-\theta}{\hat D(T)}\) \(\hookrightarrow\) \(t_{n-1}\)
\begin{itemize}
\item Efron y Tibshirani, en \emph{An introduction to the bootstrap}, 12.4, sugieren que sirve de aproximación para distribuciones
arbitrarias:
en 1908, Gosset \emph{el Estudiante} derivó la aproximación 
\(\frac{T-\theta}{\hat D(T)}\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\) \(t_{n-1}\) para el caso \(T=\bar X\)
\end{itemize}
\item a menudo \(\frac{T^*-t_0}{\hat D(T^*)}\) es más estable que \(T^*-t_0\)
\item basado en que \(1-\alpha\) =
\(\Pr\left(a\leqslant \frac{T-\theta}{\hat D(T)}\leqslant b\right)\)
\(\approx\)
\(\Pr^* \left(a\leqslant \frac{T^*-t_0}{\hat D(T^*)}\leqslant b\right)\)
\item para calcular \(\hat D(T^*)\)
requiere expresión explícita de la varianza de \(T\) (véase ejemplo siguiente) o usar sobre la muestra bústrap \(\vec x^*\)
\begin{itemize}
\item otro bústrap (anidado)
\item \href{https://es.wikipedia.org/wiki/Jackknife\_(estad\%C3\%ADstica)}{remuestreo herramental}
\end{itemize}
\item obtener \(a\) y \(b\) como cuantiles de órdenes respectivos
\(\frac\alpha2\) y \(1-\frac\alpha2\) de la distribución de
\(\frac{T^*-t_0}{\hat D(T^*)}\)
\item \(1-\alpha\) = \(\Pr \left(a\leqslant\frac{T-\theta}{\hat D(T)}\leqslant b\right)\)
= \(\Pr\left(T-b\hat D(T)\leqslant\theta\leqslant T-a\hat D(T)\right)\)
\(\implies\) IC = \([T-b\hat D(T),T-a\hat D(T)]\) = \([t_0-bd_0,T-ad_0]\)
\item \(d_0\) se puede obtener como desvío típico de \(T^*\)
o, si está disponible, a través de la expresión explícita de la varianza de \(T\)
\end{itemize}
\subsection{método paramétrico}
\label{sec:org9e8e4f4}
\begin{itemize}
\item los métodos anteriores son \textbf{no paramétricos} ;
el remuestreo se realiza a partir de la distribución empírica \(F_n\)
\item en el bústrap \textbf{paramétrico} se sustituye el remuestreo \(F_n\) por 
el remuestreo a partir de \(F_{\hat\theta}\), la supuesta distribución
de \(X\) con los parámetros sustituidos por estimaciones
\item el resto de pasos son los mismos que en bústrap no paramétrico
\item ventajas 
\begin{itemize}
\item no paramétrico: evita establecer una familia paramétrica de distribuciones
para \(X\)
\item paramétrico: 
\begin{itemize}
\item produce resultados más precisos que las fórmulas clásicas asintóticas y
puede usarse en problemas para los que no existe fórmula (Efron y Tibshirani, An introduction to the bootstrap, 6.5)
\item funciona también cuando el estimador es \(X_{(1)}\) y \(X_{(n)}\) (en tales casos, un remuestreo no paramétrico 
produciría una mayoría de remuestras con el mismo valor del estimador)
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\subsection{ejemplo}
\label{sec:org71040f3}
\begin{itemize}
\item \(X\) \(\hookrightarrow\) \(N(\mu,\sigma)\)
\item se busca IC para \(\sigma^2\)
\item \(\frac{(n-1)\hat S^2}{\sigma^2}\) \(\hookrightarrow\) \(\chi^2_{n-1}\)
\(\implies\) \(V\left[\frac{(n-1)\hat S^2}{\sigma^2}\right]\) = \(2(n-1)\)
  \(\implies\) \(V(\hat S^2)\) = \(\frac{2 \sigma^4}{n-1}\)
  \(\implies\) \(D(\hat S^2)\) = \(\sigma^2\sqrt{\frac2{n-1}}\)
\end{itemize}

\begin{verbatim}
a = 0.05 # alfa, 1 - confianza
n = 30 # tamaño muestral
mu = 0
sigma2 = 100 # parámetro de interés
sigma = sqrt(sigma2)
longitudesYcoberturas = function (x0)
{
  T = var # estimador = cuasivarianza = S^2
  t0 = T(x0)
  B = 1e3 # número de muestras bústrap
  distri = replicate (B, # distribuciones bústrap
  {
    xB = sample (x0, replace=TRUE) # muestra bústrap x*
    tB = T(xB)                     # t*
    c (percentil = tB,
       básico = tB - t0,
       t = (tB - t0) / (tB*sqrt(2/(n-1))))
  })
  cuantiles = apply (distri, 1, function (x) quantile(x,c(a/2,1-a/2)))
  Ipercentil = cuantiles[,"percentil"]
  Ibásico = t0 - rev(cuantiles[,"básico"])
  It = t0 - rev(cuantiles[,"t"]) * (t0*sqrt(2/(n-1)))
  intervalos = rbind (Iteórico = (n-1)*t0/qchisq(c(1-a/2,a/2),n-1),
                      Ipercentil, Ibásico, It)
  longitudes = apply (intervalos, 1, diff)
  coberturas = apply (intervalos, 1, function (x) x[1]<=sigma2&sigma2<=x[2])
  cbind (intervalos, longitudes, coberturas)
}
x0 = rnorm (n, mu, sigma)
longitudesYcoberturas(x0)
resul = replicate (1e4,
{
  x0 = rnorm (n, mu, sigma)
  lYc = longitudesYcoberturas(x0)
  list (longitudes = lYc[,"longitudes"],
        coberturas = lYc[,"coberturas"])
})
apply(do.call(rbind,resul["longitudes",]),2,mean)
apply(do.call(rbind,resul["coberturas",]),2,mean)

### ejemplo de ejecución

## > x0 = rnorm (n, mu, sigma)
## > longitudesYcoberturas(x0)
##                2.5%    97.5% longitudes coberturas
## Iteórico   65.36465 186.2409  120.87627          1
## Ipercentil 58.29280 148.3789   90.08614          1
## Ibásico    57.73288 147.8190   90.08614          1
## It         71.57701 182.1941  110.61711          1

## > apply(do.call(rbind,resul["longitudes",]),2,mean)
##   Iteórico Ipercentil    Ibásico         It 
##   117.4148    92.0845    92.0845   117.5555 
## > apply(do.call(rbind,resul["coberturas",]),2,mean)
##   Iteórico Ipercentil    Ibásico         It 
##     0.9475     0.8811     0.8785     0.9130 
\end{verbatim}

mismo ejemplo con bústrap paramétrico:

\begin{verbatim}
a = 0.05 # alfa, 1 - confianza
n = 30 # tamaño muestral
mu = 0
sigma2 = 100 # parámetro de interés
sigma = sqrt(sigma2)
longitudesYcoberturas = function (x0)
{
  T = var # estimador = cuasivarianza = S^2
  t0 = T(x0)
  B = 1e3 # número de muestras bústrap
  muE = mean(x0) ; sigmaE = sd(x0) # PARÁMETROS ESTIMADOS para remuestreo
  distri = replicate (B,           # distribuciones bústrap
  {
    xB = rnorm (n, muE, sigmaE) # muestra bústrap x* PARAMÉTRICA
    tB = T(xB)                  # t*
    c (percentil = tB,
       básico = tB - t0,
       t = (tB - t0) / (tB*sqrt(2/(n-1))))
  })
  cuantiles = apply (distri, 1, function (x) quantile(x,c(a/2,1-a/2)))
  Ipercentil = cuantiles[,"percentil"]
  Ibásico = t0 - rev(cuantiles[,"básico"])
  It = t0 - rev(cuantiles[,"t"]) * (t0*sqrt(2/(n-1)))
  intervalos = rbind (Iteórico = (n-1)*t0/qchisq(c(1-a/2,a/2),n-1),
                      Ipercentil, Ibásico, It)
  longitudes = apply (intervalos, 1, diff)
  coberturas = apply (intervalos, 1, function (x) x[1]<=sigma2&sigma2<=x[2])
  cbind (intervalos, longitudes, coberturas)
}
x0 = rnorm (n, mu, sigma)
longitudesYcoberturas(x0)
resul = replicate (1e4,
{
  x0 = rnorm (n, mu, sigma)
  lYc = longitudesYcoberturas(x0)
  list (longitudes = lYc[,"longitudes"],
        coberturas = lYc[,"coberturas"])
})
apply(do.call(rbind,resul["longitudes",]),2,mean)
apply(do.call(rbind,resul["coberturas",]),2,mean)

### ejemplo de ejecución

## > x0 = rnorm (n, mu, sigma)
## > longitudesYcoberturas(x0)
##                2.5%     97.5% longitudes coberturas
## Iteórico   40.24300 114.66280   74.41979          1
## Ipercentil 35.33351 100.31189   64.97838          1
## Ibásico    26.58481  91.56319   64.97838          0
## It         40.13180 113.93423   73.80243          1

## > apply(do.call(rbind,resul["longitudes",]),2,mean)
##   Iteórico Ipercentil    Ibásico         It 
##   116.7928   101.3657   101.3657   116.1387 
## > apply(do.call(rbind,resul["coberturas",]),2,mean)
##   Iteórico Ipercentil    Ibásico         It 
##     0.9538     0.9287     0.8893     0.9510 
\end{verbatim}
\section{determinar tamaño muestral}
\label{sec:org14c9cf0}
\begin{itemize}
\item error \(\epsilon\) de un intervalo
\begin{itemize}
\item semiamplitud de un intervalo
\item si IC = \(T\pm z\sigma_T\), entonces \(\epsilon = z\sigma_T\)
\end{itemize}
\item objetivo: hallar mínimo tamaño muestral \(n\) necesario para
\begin{itemize}
\item obtener un error menor que \(\epsilon\)
\item dada cierta confianza \(1-\alpha\)
\end{itemize}
\item \(\Pr[\theta\in T\pm z\sigma_T]\) \(\geqslant\) \(1-\alpha\) \(\implies\) 
¿\(n\)?
\end{itemize}
\subsection{\(\sigma\) conocida}
\label{sec:orge105137}
\subsubsection{caso gausiano}
\label{sec:orgad5ce97}
\begin{itemize}
\item \(X\hookrightarrow N(\mu,\sigma)\)
\item \(\theta\) = \(\mu\) = \(E(X)\)
\item \(T\) = \(\bar X\) \(\implies\) 
IC = \(\bar X\pm z_{1-\frac\alpha2}\frac\sigma{\sqrt n}\)
\item \(z_{1-\frac\alpha2}\sigma{\sqrt n}\) \(\leqslant\) \(\epsilon\) \(\implies\)
\(n \geqslant \frac{z_{1-\frac\alpha2}^2 \sigma^2}{\epsilon^2}\)
\end{itemize}
\subsubsection{caso general}
\label{sec:orga3d745d}
\begin{enumerate}
\item TCL
\label{sec:orgb922d73}
\begin{itemize}
\item como caso gausiano, pero asegurando \(n\) \(>\) 30, 50, 100\ldots{}
según la asimetría de la población
\end{itemize}
\item desigualdad de Chebichev
\label{sec:org6ffee2f}
\begin{itemize}
\item \(\Pr\left[\left|X-\mu\right| > k\sigma\right] \leqslant \frac1{k^2}\)
\item \(\Pr\left[\left|T-\mu_T\right| \leqslant \epsilon\right]\) \(\geqslant\)
\(\frac{\sigma_T^2}{\epsilon^2}\) \(\geqslant\) \(1-\alpha\)
\item \(\Pr\left[\left|\bar X-\mu\right| \leqslant\epsilon\right]\) 
\(\geqslant\) \(\frac{\frac{\sigma^2}n}{\epsilon^2}\) \(\geqslant\) \(1-\alpha\)
\(\implies\) \(n \geqslant \frac{\sigma^2}{\alpha\epsilon^2}\)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\subsection{\(\sigma\) desconocida}
\label{sec:orgedb2575}
\begin{itemize}
\item estimar \(\sigma\) a partir de una muestra piloto
\item acotar \(\sigma\)
\begin{itemize}
\item caso gausiano: si \(\sigma\leqslant\sigma_0\) entonces
\(n \geqslant \frac{z_{1-\frac\alpha2}^2 \sigma_0^2}{\epsilon^2}\)
\item caso bernuli: 
\begin{itemize}
\item \(X\hookrightarrow B(1,p)\), \(n\) grande \(\implies\) 
\(\bar X\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\)
\(N\left(p,\sqrt{\frac{p(1-p)}n}\right)\) \(\implies\)
IC = \(\bar X \pm z_{1-\frac\alpha2}\sqrt{\frac{p(1-p)}n}\)
\(\implies\) \(z_{1-\frac\alpha2}\sqrt{\frac{p(1-p)}n}\leqslant\epsilon\)
\(\implies\) \(z_{1-\frac\alpha2}^2{\frac{p(1-p)}n}\leqslant\epsilon^2\)
\(\implies\) \(n\geqslant z_{1-\frac\alpha2}^2{\frac{p(1-p)}{\epsilon^2}}\)
\item \(\forall p\in(0,1)\), \(p(1-p)\leqslant\frac14\) \(\implies\) tomar
\(n\geqslant z_{1-\frac\alpha2}^2{\frac1{4\epsilon^2}}\)
\end{itemize}
\begin{verbatim}
unoMenosAlfas <- c (.9, .95, .99)       #confianzas
epsilones <- c (.05, .02, .01, 0.001)   #errores
tabla <- outer (unoMenosAlfas, epsilones,
                function (alfa1, eps)
                {
                    alfa <- 1 - alfa1
                    z <- qnorm (1-alfa/2)
                    ceiling (z^2 / (4 * eps^2))
                })
dimnames(tabla) <- list (conf=unoMenosAlfas, err=epsilones)
tabla
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
      err
conf   0.05 0.02  0.01   0.001
  0.9   271 1691  6764  676386
  0.95  385 2401  9604  960365
  0.99  664 4147 16588 1658725
\end{verbatim}
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{consecuencias}
\label{sec:org116ad4c}
\(n\) crece si 
\begin{itemize}
\item aumenta la confianza \(1-\alpha\)
\item disminuye el error \(\epsilon\)
\item aumenta la dispersión \(\sigma\)
\end{itemize}
\end{document}