\documentclass{beamer}
\usefonttheme{serif}
\usepackage{arev}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\title{Intervalos de confianza\\en poblaciones gausianas}
\author{N. Corral, C. Carleos, M.T. López}
\institute{Departamento de Estadística\\Universidad de Oviedo}
\newcommand{\Cov}{\text{\it Cov}}
\newcommand{\traza}{\text{\it traza}}
\newcommand{\rango}{\text{\it rango}}
\newcommand{\apilar}[2]{\begin{array}{cc}#1\\[-0.8ex]#2\end{array}}
\newcommand{\NmuI}{%
    Si $\vec{x}\equiv N_n(\mu\vec1, I)$ y
    $H$ es la matriz de centrado, entonces
    $$\sum_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})^2 = \vec{x}' H\, \vec{x}
    \equiv\chi^2_{n-1}$$ }
\begin{document}
\maketitle
\begin{frame}
  \frametitle{Esperanza}
  Sea $\vec{x}$ un vector aleatorio de dimensión $p$.
  \begin{equation*} 
    \vec{x}= 
    \begin{pmatrix} % 
      x_1\\
      \vdots\\
      x_p
    \end{pmatrix}
  \end{equation*} 
Denotemos su esperanza así:
\begin{equation*} 
  \vec{\mu} = E(\vec{x})= 
  \begin{pmatrix} % 
    E(x_1)\\
    \vdots\\
    E(x_p)
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix} % 
    \mu_1\\
    \vdots\\
    \mu_p
  \end{pmatrix}
\end{equation*}
$$\mu_j= E(x_j), \quad \forall\; j=1, ..., p$$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Matriz de varianzas-covarianzas }

$$\Sigma = \Cov(\vec{x})= E[ (\vec{x}-\vec{\mu})\, (\vec{x}-\vec{\mu})' ]$$
\begin{equation*} 
=
\begin{pmatrix} % O matrices como esta de 4 x 3
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \dots & \sigma_{1p} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \dots & \sigma_{2p} \\
     \vdots & \vdots     & \ddots & \vdots \\
 \sigma_{p1} & \sigma_{p2} & \dots & \sigma_{pp} 
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{itemize}
 \item Varianza de $x_j$.
   $$\sigma_{jj}= E[(x_j - \mu_j) (x_j - \mu_j)]=
   \sigma^2_j, \quad j=1, ..., p$$
 \item Covarianza de $x_j, x_k$.
  $$\sigma_{jk}= E[(x_j - \mu_j) (x_k - \mu_k)] \quad \forall j \ne k $$
  $$\sigma_{jk}= 0 \Longleftrightarrow x_j \text{ y } x_k
  \text{ son linealmente independientes}$$
  $$\text {independencia }
  \apilar{\Longrightarrow}{\;\;\not\!\!\!\!\Longleftarrow}
  \text{independencia lineal}$$
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
 \frametitle{Transformaciones lineales }
Sea $A$ una matriz $q\times p$ de elementos fijos.

Se define una \textbf{trasformación lineal} de $\vec{x}$ como
el vector aleatorio $\vec{y}=A \vec{x}$:
\begin{equation*} 
  \vec{y}= A \vec{x} =  
  \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1q}\\
    a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2q}\\
    \vdots& \vdots & \ddots& \vdots \\
    a_{q1} & a_{q2} & \dots &a_{qp}
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    x_1\\
    x_2\\
    \vdots\\
    x_p
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    \vec{a}_1'\\[0.5ex]
    \vec{a}'_2\\
    \vdots  \\
    \vec{a}'_q
  \end{pmatrix}
  \vec{x}
\end{equation*} 
con $\vec{a}'_j= (a_{j1}, ..., a_{jp})$ fila $j$ de $A$.
$$ y_j= \vec{a}'_j \, \vec{x}= \sum_{k=1}^p a_{jk} x_k, \quad j=1, ..., q $$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Esperanza de una transformación lineal }
 $$\vec{y} = A \vec{x} \iff
 y_j=\sum_{k=1}^p a_{jk} x_k,\quad j=1, ..., q$$
 $$\ E(y_j) = E\left( \sum_{k=1}^p a_{jk} x_k \right) =
 \sum_{k=1}^p a_{jk} E(x_k) =\sum_{k=1}^p a_{jk} \, \mu_k=
 \vec{a}'_j\, \vec{\mu} $$

 \vspace{2ex}Por tanto, 
 $$ E(\vec{y}) = E( A \vec{x}) = A E(\vec{x}) = A\, \vec{\mu}$$
\end{frame}


\begin{frame}
 \frametitle{Covarianza de una transformación lineal}
 $$\vec{y} = A \vec{x} \iff y_j=\sum_{k=1}^p a_{jk} x_k$$
$$ \Cov(\vec{y})= \begin{pmatrix} % 
\Cov(y_1, y_1) & \Cov(y_1, y_2) & \dots & \Cov(y_1, y_q)\\
\Cov(y_2, y_1) & \Cov(y_2, y_2) & \dots & \Cov(y_2, y_q)\\
 \vdots   & \vdots   & \ddots &   \vdots \\
\Cov(y_q, y_1) & \Cov(y_q, y_2) & \dots & \Cov(y_q, y_q)\\
\end{pmatrix}$$

\begin{eqnarray*} \Cov(y_i, y_j) &=&E[(y_i-E(y_i)) \, (y_j - E(y_j))]\\
&=&E[\vec{a}'_i(\vec{x}-\vec{\mu}) \,(\vec{x}-\vec{\mu})' \vec{a}_j] \\
&=&\vec{a}'_iE[(\vec{x}-\vec{\mu}) \,(\vec{x}-\vec{\mu})'] \vec{a}_j \\
&=& \vec{a}'_i \Sigma \vec{a}_j
\end{eqnarray*}
$$\implies\Cov(\vec{y}) = A \Sigma A'$$
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Proyecciones ortogonales}

\begin{itemize}
\item Sea $\Omega$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$.\\
  Entonces $\forall\,\vec y \in \mathbb{R}^n \;\;\exists\; \vec u \in \Omega,
  \vec v\in \Omega ^\bot\text{ únicos},\;\; \vec y=\vec u+\vec v$.
\item También $\exists$ una única matriz que verifica $P_{\Omega}\vec y=\vec u$. 
 \begin{itemize}
 \item $P_{\Omega}= X(X'X)^{-1}X'$,  donde $X$ es una base de $\Omega$.
 \item Es simétrica: $P_{\Omega}'= \left(X(X'X)^{-1}X'\right)'
   = X(X'X)^{-1}X'= P_{\Omega}$
  \item Es idempotente:
    $$P_{\Omega} P_{\Omega} = X\, (X'\,X)^{-1} X' \;X\ (X'\,X)^{-1} X'=
    X\, (X'\,X)^{-1} X'= P_{\Omega}$$
  \item Sea $\vec{z} \in \Omega \iff \vec{z}= X \, \vec{a}\quad
    \exists \vec a$ por ser $X$ base.
  $$ P_{\Omega} \vec{z}= X\, (X'\,X)^{-1} X' \; X \, \vec{a}= 
  X \, \vec{a} = \vec{z}$$
\item Sea $\vec{w} \in \Omega^\bot \iff
  \vec{z}' \, \vec{w}=0 \quad \forall \vec{z} \in \Omega\implies X'\vec w=0$ 
  $$ P_{\Omega} \vec{w}= X\, (X'\,X)^{-1} X' \; \vec{w}= {0}$$
\item $P$ proyecta todo $\vec y\in \mathbb R^n$ ortogonalmente sobre $\Omega$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Matriz de proyección ortogonal}
  Sea $A$ matriz simétrica e idempotente.
  
  Sea $\vec{u}$ un vector propio de $A$.
  \begin{itemize}
  \item $A \vec{u} = \lambda \vec{u}$ por ser $\vec u$ propio.
  \item $A \vec u =
    A \, A \vec{u} = A\, \lambda \vec{u}= \lambda^2 \vec{u}$
    por ser $A$ idempotente.
  \item $\lambda \ge 0$ por ser $A$ simétrica.
  \end{itemize}
  En consecuencia, $\lambda \in \{0, 1\}$.
  
  \vspace{2ex}
  
  Sea $A$ simétrica e idempotente de rango $q$. Entonces
  $$A =U \Delta U'\qquad \text{ con }\Delta\text{ diagonal y } U'U=I$$
  $$ \traza(A) = \traza(U \Delta U')= 
  \traza(\Delta U'\, U) = \traza(\Delta) = q$$
  ya que $q$ es el número de valores propios no nulos de $A$.
  
  Luego
  $$\traza(A) = \rango(A)$$
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Matriz de centrado $H$}
  \begin{itemize}
    \item $H=I-\vec{1}(\vec{1}'\vec{1})^{-1} \vec{1}'
      = I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}'$
      
      $$  H \vec{x} = \left(I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}'\right) \, \vec{x}
    =  \vec{x} - \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}' \, \vec{x}
    = \vec{x} - \bar{x} \,\vec{1} =
    \begin{pmatrix}
      x_1-\bar{x} \\
      x_2-\bar{x} \\
      \vdots\\
      x_n-\bar{x} 
    \end{pmatrix}
    $$
    \item $H \, H= H$
      \begin{eqnarray*}\textstyle
        (I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}') \, 
        (I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}') &=& \textstyle
        I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}' -
        \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}' +
        \frac{1}{n^2}\, \vec{1} \vec{1}' \vec{1} \vec{1}'\\
        &=&\textstyle I- \frac{1}{n}\vec{1} \vec{1}'
      \end{eqnarray*}
    \item $\rango(H)= \traza(H)= n-1$
   \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Distribución gausiana $p$-dimensional }
 Si $\vec{x}=(x_1,...,x_p)'$ sigue una
   $N_p(\vec{\mu},\Sigma)$, \\
   con $\Sigma$ definida positiva, entonces
  
  \begin{itemize}
   \item La función de densidad es:
   $$f(\vec{x})= \frac{1}{\sqrt{2 \pi |\Sigma|}} \,
   \exp\left(\frac{-1}{2} (\vec{x}-\vec{\mu})' \Sigma^{-1}
     (\vec{x}-\vec{\mu})\right) $$
 \item $\vec{y}= A \, \vec{x}$, con $A_{q\times p}$, sigue una
   $N_q(A\, \vec{\mu}, A \Sigma\, A')$
   $$E(\vec{y})= A \, E(\vec{x}) = A\, \vec{\mu} \qquad
   \Cov(\vec{y})= A \, \Cov(\vec{x})\, A'= A \Sigma\, A'$$
 \item Si $\Sigma$ es diagonal ($\sigma_{jk}=0 $ para $j \ne k)$,\\
   entonces todas las $x_j$ son independientes entre sí.
 \item La distribución de $x_j$ es $N(\mu_j, \sigma_{jj})$, para
   $j=1,...,p$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Distribución de la varianza muestral }
    \begin{itemize}
    \item Si $\vec{x}\equiv N_p(\vec{\mu}, \sigma^2 I)$ entonces
     $$\frac{1}{\sigma^2} \, (\vec{x}- \vec{\mu})' \, (\vec{x}- \vec{\mu}) 
     = \vec{z}' \, \vec{z} \equiv  \chi^2_p$$
     con $\vec z\equiv N_p(\vec 0, I)$.
     
   \item \NmuI{}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Distribución de la varianza muestral }
  \begin{itemize}
  \item \NmuI
     pues
     \begin{eqnarray*}
       \sum_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})^2
       &=& \sum_{i=1}^{n} [(x_i-\mu) - (\bar{x}-\mu)]^2\\
       &=&\sum_{i=1}^{n} (y_i- \bar{y})^2 \\
       &=&  \vec{y}' \, H \, \vec{y}= \vec{y}' \, U \Delta U'\, \vec{y}= 
           \vec{z} \Delta \vec{z}
     \end{eqnarray*}
     donde $\vec{z}= U' \vec{y} \equiv N(\vec{0}, I)$, ya que\\
     $$\Cov(\vec{z})= U' \Cov(\vec{y}) U = U' U= I$$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Distribución de la varianza muestral}
  Por ser $H$ simétrica e idempotente de rango $n-1$,\\
  $\Delta$ es una matriz diagonal con $n-1$ unos y un cero.
  $$ \Delta =  
  \begin{pmatrix} % 
    1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\
    0 & 0 & 1 & \dots & 0 & 0\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots &  \vdots \\
    0 & 0 & 0 & \dots& 1 & 0\\
    0 & 0 & 0 & \dots& 0 & 0
  \end{pmatrix}
  $$     
  $$\vec{z}' \Delta\, \vec{z}
  = \sum_{i=1}^{n-1} z_i^2 \equiv \chi^2_{n-1}$$
  Por tanto, $$\sum_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})^2 \equiv \chi_{n-1}^2$$
\end{frame}     

\begin{frame}
  \frametitle{Distribución de la varianza muestral}
  \begin{itemize}
  \item \NmuI{}
  \item Si $\vec{x}\equiv N_n(\mu\vec{1}, \sigma^2I)$, p.ej.
    m.a.s. de \(N(\mu,\sigma^2)\),
    $$\frac{n\,S^2}{\sigma^2}=\frac{(n-1)\,\hat S^2}{\sigma^2}=
    \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i- \bar{x})^2}{\sigma^2} =$$
    $$\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{x_i- \bar{x}}{\sigma}\right)^2 =
    {\sum_{i=1}^{n} (y_i- \bar{y})^2}
    \equiv \chi^2_{n-1}$$
    con $\vec y=\frac{\vec x-\mu\vec1}{\sigma}\equiv N_n(\vec{0},I)$
  \end{itemize}  
\end{frame}     

\begin{frame}
  \frametitle{Intervalo de confianza para $\sigma^2$}
  \begin{itemize}
  \item Sea $\vec x$ m.a.s. de $x\equiv N(\mu,\sigma^2)$,
    $\mu$ y $\sigma$ desconocidas
  \item $n\,S^2/\sigma^2 \equiv \chi^2_{n-1}$ es una función pivote
  \item Sean $a$ y $b$ tales que
     \begin{eqnarray*}
       1-\alpha
       &=&P\left[a\le\frac{n\,S^2}{\sigma^2}\le b\right]
       =P\left[\frac1a\ge\frac{\sigma^2}{n\,S^2}\ge \frac1b\right]\\
       &=&P\left[\frac1b\le\frac{\sigma^2}{n\,S^2}\le \frac1a\right]
           =P\left[\frac{n\,S^2}b\le{\sigma^2}\le \frac{n\,S^2}a\right]
     \end{eqnarray*}
     luego $\left[\frac{n\,S^2}b,\frac{n\,S^2}a\right]$ es
     un i.c. para $\sigma^2$ a nivel $1-\alpha$.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Independencia entre media y varianza}
  Sea $\vec{x} \equiv N(\vec{\mu}, I)$.
  Entonces $\bar{x}$ es independiente de $H\, \vec{x}$, pues
     $$ H\, \vec{x}=  
     \begin{pmatrix}
       x_1 - \bar{x}\\
       x_2 - \bar{x}\\
       \vdots         \\
       x_n - \bar{x}\\
     \end{pmatrix}
     $$ 
     $$\Cov(H \vec{x}, \bar{x})= 
     \Cov\left(H \vec{x}, \frac1n\vec{x}'\vec1\right)= 
     E\left(H (\vec{x}-\vec{\mu}) \,
       \frac{1}{n} (\vec{x}-\vec{\mu})' \vec{1} \right)$$
     $$= \frac{1}{n}  H\,  E[(\vec{x}-\vec
     {\mu}) \,(\vec{x}-\vec{\mu})'] \, \vec{1}
     =  \frac{1}{n}  H\, \vec{1} = \vec{0}$$
 
 Consecuencia: $\bar{x}$ es independiente de toda $g(H\vec{x})$,\\
 en particular de
 $$ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 =
 \vec x' H' H \vec x =\vec x' H H \vec x =\vec x' H \vec x  $$
\end{frame}  

\begin{frame}
  \frametitle{Intervalo de confianza para $\mu$}
  \begin{itemize}
  \item Sea $\vec x$ m.a.s. de $x\equiv N(\mu,\sigma^2)$
  \item $\bar x \equiv N(\mu,\sigma^2/n)$
  \item $n\,S^2/\sigma^2 \equiv \chi^2_{n-1}$
  \item $\bar x$ y $S^2$ son independientes, luego
     \begin{eqnarray*}
       \frac {\bar x-\mu} {S/\sqrt{n-1}}
       &=& \frac {\bar x-\mu} {\hat S/\sqrt{n}}\\[1ex]
       &=& \frac {\dfrac {\bar x-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}
           {\sqrt{\dfrac{(n-1)\,\hat S^2/\sigma^2}{n-1}}}
           \equiv \frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2_{n-1}}{n-1}}}=t_{n-1}
     \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Intervalo de confianza para $\mu$}
  \begin{itemize}
  \item Considérese el pivote
    \begin{equation*}
      \frac {\bar x-\mu} {\hat S/\sqrt{n}}
      \equiv t_{n-1}
    \end{equation*}
  \item Sean $a$ y $b$ tales que
    \begin{eqnarray*}
      1-\alpha
      &=&P\left[a\le\frac {\bar x-\mu} {\hat S/\sqrt{n}}\le b\right]
          =P\left[\frac{a\,\hat S}{\sqrt n}\le \bar x-\mu \le
          \frac{b\,\hat S}{\sqrt n}\right]\\
      &=&P\left[\bar x-\frac{b\,\hat S}{\sqrt n}\le \mu \le \bar x-
          \frac{a\,\hat S}{\sqrt n}\right]
    \end{eqnarray*}
    luego $\left[\bar x-\frac{b\,\hat S}{\sqrt n},\bar x-
      \frac{a\,\hat S}{\sqrt n}\right]$ es
    un i.c. para $\mu$ a nivel $1-\alpha$.
  \item Habitualmente $b=-a$ luego i.c. = $\bar x\pm\frac{b\,\hat S}{\sqrt n}$
  \end{itemize}
\end{frame}

\end{document}
