\message{ !name(contrastes.tex)} \message{ !name(contrastes.tex) !offset(-2) } \documentclass[serif]{beamer} \usetheme{Madrid} \usepackage{gentium} % error I y II; sin ligadura "fi" \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \title{Inferencia Estadística} \subtitle {Contrastes de hipótesis} \author[López Corral Carleos]{M.T. López, N. Corral, C. Carleos} \institute[U. Oviedo]{Departamento de Estadística --- Universidad de Oviedo} \newcommand{\por}{\,\cdot\,} \begin{document} \frame[plain]{\titlepage} \section{Generalidades} \begin{frame}{Definiciones} \begin{block}{Hipótesi} Afirmación que se pretende validar o desmentir. \end{block} \begin{block}{Hipótesi estadística} Hipótesi sobre la distribución de una variable aleatoria: \begin{itemize} \item sobre algún parámetro del que dependa; \item sobre la familia a la que pertenece; \item sobre su relación con otra variable. \end{itemize} \end{block} \begin{block}{Ejemplos} \begin{itemize} \item La estatura media de los varones asturianos de $15$ años es $1.67$ m. \item La proporción de afectados por la gripe este otoño es $0.25$. \item Tiempo dedicado a estudiar es independiente del dedicado a ver TV. \item Un reactivo emite partículas según una distribución de Poisson. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Definiciones} \begin{block}{Hipótesi paramétrica} Si hace referencia a algún parámetro de la distribución. \end{block} \begin{block}{Hipótesi simple} Si especifica totalmente la distribución. \end{block} \begin{block}{Hipótesi compuesta} Si no especifica totalmente la distribución. \end{block} \only<1>{ \begin{block}{Ejemplo} Sea $X \equiv B(p)$ $$ \begin{array}{ll} H \equiv p = 0.5 & \mbox{ es una hipótesi paramétrica simple} \\ H \equiv p \neq 0.25 & \mbox{ es hipótesi paramétrica compuesta} \end{array}$$ \end{block}} \only<2>{ \begin{block}{Ejemplo} Sea $X \equiv N(\mu,\sigma)$ con $\sigma$ desconocida. $$ \begin{array}{ll} H \equiv \mu = 3 &\mbox{ es una hipótesi paramétrica compuesta}\\ H \equiv \mu= 7,\sigma=2 &\mbox{ es una hipótesi paramétrica simple} \end{array}$$ \end{block}} \end{frame} \begin{frame}{Definiciones} \begin{block}{Hipótesi nula ($H_0$)} Hipótesi de referencia, de partida: \emph{En caso de duda, hipótesi nula.} \end{block} \begin{block}{Hipótesi alternativa ($H_1$)} Hipótesi contraria a $H_0$. \end{block} \begin{block}{Ejemplo} Un fabricante desea saber si un nuevo procedimiento de producción presenta más estabilidad en el peso del producto que fabrica que el utilizado actualmente. Para ello formulará las hipótesis: $$ \begin{array}{l} H_0 \equiv \mbox{la estabilidad del peso no mejora} \\ H_1 \equiv \mbox{la estabilidad del peso mejora} \end{array}$$ o, en contexto estadístico: $H_0 \equiv \sigma^2 \ge 0.2$ frente a $H_1 \equiv \sigma^2 < 0.2$. \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Asimetría entre $H_0$ y $H_1$} \begin{block}{Procedimiento} \begin{itemize} \item No se elige meramente la hipótesi más verosímil. \item ¿Hay evidencias suficientes para rechazar $H_0$? \item Presunción de inocencia: $H_0\equiv\mbox{inocente}$, $H_1\equiv\mbox{culpable}$. \end{itemize} \end{block} \begin{block}{$H_0$} \begin{itemize} \item Se rechaza sólo si se observa una gran evidencia en contra. \item Nunca se concluye que sea cierta,\\ sino que no hay evidencias para rechazarla. \end{itemize} \end{block} \begin{block}{$H_1$} \begin{itemize} \item Si se rechaza $H_0$ se obtiene un resultado \emph{significativo}. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Definiciones} \begin{block}{Contraste de hipótesis} Partición medible del espacio muestral en dos regiones: \begin{description} \item[región de aceptación] (R.A.) asociada a $H_0$. \item[región crítica] (R.C.) asociada a $H_1$. \end{description} \end{block} \begin{block}{Función test} Indicatriz de la región crítica: \begin{eqnarray*} \varphi\colon X(\Omega)^n &\longrightarrow& \mathbb{R}\\ \vec x & \longmapsto & \varphi(\vec{x}) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si $\vec{x} \in \text{R.C.}$} \\ 0 & \mbox{si $\vec{x} \in \text{R.A.}$} \end{array}\right. \end{eqnarray*} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[t]{Definiciones} \begin{block}{} Cuatro situaciones posibles:\hspace{10em}decisión \begin{center} \begin{tabular}{c}estado\\de la naturaleza\\(realidad)\end{tabular} \begin{tabular}{c|c|c} & No rechazar $H_0$ & Rechazar $H_0$ \\ \hline $H_0$ cierta & acierto&error I\\ \hline $H_0$ falsa & error II&acierto\\ \hline \end{tabular} \end{center} \uncover<2->{Sea el contraste $H_0\equiv\theta\in\Theta_0$, $H_1\equiv\theta\in\Theta_1$.} \end{block} \only<1>{ \begin{block}{Ejemplo} Sea el contraste $H_0\equiv \sigma^2\geq0.2\quad H_1\equiv \sigma^2<0.2$. Consideramos R.C.${}=\left[\hat S^2<0.15\right]$ y R.A.${}=\left[\hat S^2\geq0.15\right]$. Si $\sigma^2=0.2$ pero $\hat S^2=0.13$, cometemos error I. Si $\sigma^2=0.1$ pero $\hat S^2=0.16$, cometemos error II. \end{block} } \pause \only<2-3>{ \begin{block}{Probabilidad de error de tipo I} Probabilidad de rechazar $H_0$ para cierto $\theta \in \Theta_0$: \qquad $ P\,(\text{R.C.}\mid \theta) = E_\theta(\varphi)$ \end{block} \pause \begin{block}{Probabilidad de error de tipo II} Prob.\ de no rechazar $H_0$ para cierto $\theta \in\Theta_1$: \qquad $P\,(\text{R.A.}\mid\theta)=1-E_\theta(\varphi)$ \end{block}} \only<4>{ \begin{block}{Ejemplo} Supóngase $X\equiv N(\mu,\sigma)$ y $n=15$. Sea el contraste $H_0\equiv \sigma^2\geq0.2\quad H_1\equiv \sigma^2<0.2$. Consideramos R.C.${}=\left[\hat S^2<0.15\right]$ y R.A.${}=\left[\hat S^2\geq0.15\right]$. Si $\sigma^2=0.2$, $P\,(\text {error I})= P\,(\chi^2_{14}<\frac{14\por0.15}{0.2})\approx0.275$. Si $\sigma^2=0.1$, $P\,(\text {error II})= P\,(\chi^2_{14}\ge\frac{14\por0.15}{0.1})\approx0.102$. \end{block} } \end{frame} \begin{frame}{Ejemplo: densidades de $\hat S^2$ bajo $H_0$ y $H_1$} \begin{center} \vspace{-10ex} \includegraphics[width=0.9\textwidth]{error1.pdf} \vspace{-15ex} \includegraphics[width=0.9\textwidth]{error2.pdf} \vspace{-5ex} \end{center} % options(OutDec=",");s2=0.2;Den <- function(x) dchisq(14*x/s2,14)*14/s2; pdf("error1.pdf",5,3,bg="transparent");curve(Den,0,0.4,xlab="",ylab="",ylim=c(0,7));abline(v=0.15,col=2);text(c(.17,.13),6.5,c("R.A.","R.C."), col=2);curve(Den,0,0.15,type="h",col=2,add=TRUE,n=501);dev.off();s2=0.1;Den <- function(x) dchisq(14*x/s2,14)*14/s2; pdf("error2.pdf",5,3,bg="transparent");curve(Den,0,0.4,xlab="",ylab="",ylim=c(0,12));abline(v=0.15,col=2);text(c(.17,.13),11,c("R.A.","R.C."), col=2);curve(Den,0.15,.4,type="h",col=2,add=TRUE,n=501);dev.off() \end{frame} \begin{frame}{Procedimiento habitual para buscar la región crítica} \begin{block}{1. Fijar el \emph{nivel de significación}} Se trata de una cota para la probabilidad de error de tipo I. Se representa por $\alpha$. Para un contraste $H_0: \theta \in \Theta_0$ \quad $H_1: \theta \in \Theta_1$ se tiene pues $$ \forall\,\theta\in\Theta_0\qquad P\,(\text{error I}) = P\,(\text{R.C.}\mid\theta) \leq \alpha $$ \end{block} \begin{block}{2. Minimizar la probabilidad de error II} Entre los contrastes que cumplan el nivel de significación se busca aquel contraste que hace mínima la probabilidad de error de tipo II. \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Procedimiento habitual para buscar la región crítica} \begin{block}{Consecuencias} \begin{itemize} \item Criterio muy conservador respecto a $H_0$. \item $\alpha$ es un valor pequeño fijado por el investigador, como $0.05$ ó $0.01$. \item $\alpha$ es cota superior para la probabilidad de error I,\\ luego está asociado a la región crítica y a $H_0$. \item Un resultado muestral es \emph{significativo} al nivel $\alpha$ si está en la R.C. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Metodología} \begin{block}{} \begin{enumerate} \item Formular las hipótesis del estudio. \item Traducirlas a la terminología estadística. \item Fijar el nivel de significación, $\alpha$. \item Construir la R.C. \item Seleccionar la muestra $\vec x$. \item Rechazar $H_0$ si $\vec x \in \text{R.C.}$ \end{enumerate} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Metodología} \begin{block}{Construcción de un buena R.C.} \begin{itemize} \item Se construye antes de analizar los resultados experimentales. \item $\vec x\in\text{R.C.}$ en caso de que $P(\vec x\mid H_0) \ll P(\vec x\mid H_1)$. \item Se expresa en función del \emph{estadístico del contraste}, \\ que mide las discrepancias de $\vec x$ respecto a $H_0$. \item La distribución bajo $H_0$ del estadístico del contraste\\ ha de ser conocida para garantizar el nivel de significación. \item Tiene en cuenta $H_1$ para que el contraste tenga\\ poca probabilidad de error de tipo II. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Ejemplo (continuación)} \begin{block}{} \begin{itemize} \item $X$ = peso de piezas ${}\equiv N(\mu,\sigma)$ \item contraste $H_0\equiv \sigma^2 \geq 0.2$, $H_1 \equiv \sigma^2 < 0.2$ \item nivel de significación $\alpha=0.05$ \item tamaño muestral $n=15$ \item estimador de $\sigma^2$:\quad$\hat S^2$ \item región crítica intuitiva: $$ \text{R.C.} =\left\{(x_1, \cdots , x_{15})\;\middle|\; \hat{S}^2 k_1\right]$} \begin{verbatim} k1 <- qnorm (1-alfa, mu0, sigma/sqrt(n)) p1 <- 1 - pnorm (k1, mu1, sigma/sqrt(n)) # potencia \end{verbatim} \end{block} \begin{block}{Contraste 2:\quad$\text{RC}_2 = \left[\text{mediana}(\vec x) > k_2\right]$} \begin{verbatim} nr <- 1e5 # número de repeticiones de Montecarlo medianas <- replicate (nr, median (rnorm (n, mu0, sigma))) k2 <- quantile (medianas, 1-alfa, names=FALSE) p2 <- mean (replicate (nr, median (rnorm (n, mu1, sigma))) > k2) \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Ejemplo para comparar dos contrastes} \begin{block}{Resultado} \begin{verbatim} > k1 # frontera de RC1 = [media > k1] [1] 5.328971 > k2 # frontera de RC2 = [mediana > k2] [1] 5.407272 > p1 # potencia de contraste 1 [1] 0.4424132 > p2 # potencia de contraste 2 [1] 0.33336 \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Ejemplo para comparar dos contrastes} \begin{block}{Población:\quad$X\equiv N(\mu,\sigma=1)$} \begin{verbatim} n <- 25; sigma <- 1; alfa <- 0.05 mu0 <- 5; mu1 <- 5.3 # hipótesis \end{verbatim} \end{block} \begin{block}{Otra forma de expresar la RC$_1$} $$\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma:\sqrt n}\;\stackrel{H_0}{\equiv}\;N(0,1)$$ $$\text{RC}_1=\left[\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma:\sqrt n} > z_{1-\alpha}\right]$$ \begin{verbatim} z1menosAlfa <- qnorm (1-alfa) # 1,644854 ## potencia: p1 <- 1 - pnorm (z1menosAlfa, (mu1-mu0)/sigma*sqrt(n)) \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Ejemplo para comparar dos contrastes} \begin{block}{$H_0\colon\mu=5\quad H_1\colon\mu>5$} \footnotesize \begin{verbatim} n <- 25; sigma <- 1; alfa <- 0.05 mu0 <- 5 potencias <- function (mu1, nr=1e4) { k1 <- qnorm (1-alfa, mu0, sigma/sqrt(n)) p1 <- 1 - pnorm (k1, mu1, sigma/sqrt(n)) medianas <- replicate (nr, median (rnorm (n, mu0, sigma))) k2 <- quantile (medianas, 1-alfa, names=FALSE) p2 <- mean (replicate (nr, median (rnorm (n, mu1, sigma))) > k2) c (p1, p2) } mus <- seq (5, 7, .1) ps <- sapply (mu1s, potencias) plot (mus, ps[1,], type="l", lwd=2, ylab="potencia") lines (mus, ps[2,], col=2, lwd=2) legend ("bottomright", c("media","mediana"), col=1:2, lwd=2) \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame} \centering\includegraphics[height=\textheight]{media-na.pdf} \end{frame} \begin{frame}{Definiciones} \begin{block}{Nivel crítico o P-valor} \begin{itemize} \item Dada una realización muestral $\vec x = (x_1,\ldots,x_n)$,\\ es el menor nivel de significación $\alpha$ para el que se rechaza $H_0$. \item Probabilidad, bajo $H_0$, de obtener una muestra más ``rara'' que $\vec x$.\\ (En realidad, al menos tan ``rara'' como $\vec x$.) \end{itemize} \end{block} \begin{block}{Uso del P-valor} \begin{itemize} \item Se calcula después de tener los datos muestrales $\vec x$. \item Mide la ``compatibilidad'' de $\vec x$ con $H_0$. \item P-valor alto $\implies$ $p>\alpha$ $\implies$ no se rechaza $H_0$. \item P-valor bajo $\implies$ $p\le\alpha$ $\implies$ se rechaza $H_0$.\\ (Resultado significativo a nivel $\alpha$.) \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Ejemplo para calcular P-valor} \begin{block}{Población: $X\equiv N(\mu,\sigma=1)$} \begin{itemize} \item hipótesis: \quad$H_0\colon\mu=5$, \quad$H_1\colon\mu>5$ \item $n=25$, \quad$\alpha=0.05$ \item RC = $\left[\bar x > k\right]$ \item $\alpha = 0.05 = P\left[\text{RC}\mid H_0\right] = P\left[N\left(5,\frac1{\sqrt{25}}\right)>k\right]$ \end{itemize} \begin{verbatim} n <- 25; sigma <- 1; alfa <- 0.05; mu0 <- 5 k <- qnorm (1-alfa, mu0, sigma/sqrt(n)) # k=5.328971 \end{verbatim} \begin{itemize} \item Sean dos muestras con medias muestrales $\bar x=5.4$ y $\bar x=10$. \end{itemize} \begin{verbatim} pv1 <- 1 - pnorm (5.4, mu0, sigma/sqrt(n)) # pv1=0.02275013 pv2 <- 1 - pnorm ( 10, mu0, sigma/sqrt(n)) # pv2=0 \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Ejemplo para calcular P-valor} \begin{block}{Población: $X\equiv N(\mu,\sigma=1)$} \begin{itemize} \item hipótesis: \quad$H_0\colon\mu=5$, \quad$H_1\colon\mu\neq5$ \item $n=25$, \quad$\alpha=0.05$ \item RC = $\left[\left|\bar x-5\right| > k\right]$\qquad $\bar X-5\stackrel{H_0}\equiv N\left(0,\frac1{\sqrt{25}}\right)$ \item $\alpha = 0.05 = P\left[\text{RC}\mid H_0\right] = P\left[\left|N\left(0,\frac1{\sqrt{25}}\right)\right|>k\right]$ \end{itemize} \begin{verbatim} n <- 25; sigma <- 1; alfa <- 0.05; mu0 <- 5 k <- qnorm (1-alfa/2, 0, sigma/sqrt(n)) # 0.3919928 \end{verbatim} \begin{itemize} \item Sea una muestra con media muestral $\bar x=5.4$. \end{itemize} \begin{verbatim} pv <- 2 * (1 - pnorm (5.4-mu0, , sigma/sqrt(n))) # pv=0.0455 \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{P-valor como variable aleatoria} \begin{block}{Proposición} Si \begin{itemize} \item $H_0$ es simple, \item $T$, el estadístico del contraste, es continuo, y \item la R.C. puede expresarse como $\{\vec x\mid T(\vec x)>c\}$, \end{itemize} entonces el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme, $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$. \end{block} \begin{block}{Demostración} Para cada muestra $\vec x$, sea $t=T(\vec x)$. Entonces el P-valor es $$ P_V(\vec x) = P[T>t\mid H_0]=1-P[T\le t\mid H_0]=1-P[T\le T(\vec x)\mid H_0]=1-F_T\bigl(T(\vec x)\bigr) $$ $$F_T(T)\equiv U(0,1)\implies1-F_T(T)\equiv U(0,1)\implies P_V\equiv U(0,1)$$ \end{block} \end{frame} \begin{frame} {P-valor como variable aleatoria} \begin{block}{Proposición} ...el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme, $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$. \end{block} \begin{block}{Demostración con más detalle} $$F_0(t)=P\left[T\le t\mid H_0\right]$$ $$F_0(T)=F_0[T(\vec X)]\;\stackrel{H_0}{\equiv}\;U(0,1)$$ $$ \begin{array}{rccl} P_V\colon&X(\Omega)^n&\longrightarrow&[0;1]\\ &\vec x &\longmapsto &p_v=P[T>T(\vec x)\mid H_0]=1-F_0[T(\vec x)] \end{array} $$ \begin{eqnarray*} % F_{P_V}(a)= P[P_V\le a\mid H_0] &=& P\bigl[1-F_0[T(\vec X)]\le a\mid H_0\bigr] = P\bigl[F_0[T(\vec X)]\ge 1-a\mid H_0\bigr]\\ &=& P[U(0,1)\ge 1-a] = 1 - P[U(0,1) < 1-a] \\ &=& 1 - (1-a) = a \implies P_V\;\stackrel{H_0}\equiv\;U(0,1) \end{eqnarray*} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{P-valor como variable aleatoria} \begin{block}{Interpretación} \begin{itemize} \item Bajo $H_0$, dado un nivel de significación $\alpha\in(0;1)$, $$F_{\text{P-valor}\mid H_0}(\alpha)= P_{H_0}(\text{P-valor}\le\alpha)=P(\text{rechazar }H_0\mid H_0\text{ cierta})=\alpha$$ $\implies$ P-valor $\equiv U(0,1)$ \item Por tanto, bajo $H_0$ pueden aparecer P-valores pequeños. \item Pero bajo $H_1$ esos P-valores pequeños son mucho más problables. \item Por eso se rechaza $H_0$ si la muestra produce un P-valor pequeño. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{P-valor como variable aleatoria} \begin{block}{Interpretación} \begin{itemize} \item $P_V(\vec X) < \alpha \iff T(\vec X)> t_{1-\alpha}$ \begin{center} \includegraphics[width=.9\textwidth]{pval1.pdf} \end{center} \item $F_{P_V(\vec X)}(\alpha)=P[P_V(\vec X)<\alpha]=P[T(\vec X)>t_{1-\alpha}]=\alpha$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} \section{Contrastes en poblaciones gausianas} \begin{frame}{Contrastes en poblaciones gausianas, $\sigma=\sigma_0$} \begin{block}{$H_0\colon \mu=\mu_0,\quad H_1\colon \mu\not=\mu_0$} $$\text{Estadístico de contraste:}\qquad E= \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \quad\stackrel{H_0}{\equiv}\quad N(0,1)$$ $$\text{R.C.} = \left\{\vec x \;\Big|% \;{\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}} \left|E\right| > z_{1-\frac\alpha2} \,\right\}\quad\text{con}\quad z_{1-\frac\alpha2}= F^{-1}_{ N(0,1)}\left(1-\frac\alpha2\right)$$ \end{block} \begin{block}{$H_0: \mu \le \mu_0, \quad H_1: \mu >\mu_0$} $$E \stackrel{H_0}{\equiv} N(0,1)+c\quad\text{con}\quad c=\frac{\mu - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \le 0 \qquad \text{R.C.}= \left\{\vec x\; \Big|\; E > z_{1-\alpha} \,\right\}$$ \end{block} \begin{block}{$H_0: \mu \ge \mu_0,\quad H_1: \mu < \mu_0$} $$E \stackrel{H_0}{\equiv} N(0,1)+c\quad\text{con}\quad c=\frac{\mu - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \ge 0 \qquad \text{R.C.}= \left\{\vec x\; \Big|\; E < z_{\alpha} \,\right\}$$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes en poblaciones gausianas, $\sigma=\sigma_0$} \begin{block}{$H_0\colon \mu \le \mu_0 \quad H_1\colon \mu >\mu_0$\quad en detalle} $$ \text{R.C.}= \left\{\vec x\; \Big|\; \bar x > k\,\right\} \qquad P(\text{R.C.})\le\alpha \qquad\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_0/\sqrt{n}}\;\stackrel{}{\equiv}\;N(0,1) $$ El valor de $k$ se calcula en la frontera de $H_0$, es decir, $\mu_0$: \begin{eqnarray*} \alpha&=&P\left[\bar X > k\;|\;\mu=\mu_0\right]= P\left[\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt n} > \frac{k-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt n}\;\Big|\;\mu=\mu_0\right]=\\ &=&P\left[N(0,1) > \frac{k-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt n}\right] \end{eqnarray*} ¿Qué ocurre con $P(\text{R.C.}\mid\mu)$ en el resto de $\mu$ de $H_0$? \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes en poblaciones gausianas, $\sigma=\sigma_0$} \begin{block}{$H_0\colon \mu \le \mu_0 \quad H_1\colon \mu >\mu_0$\quad en detalle} Sea $\mu<\mu_0$. Entonces \begin{eqnarray*} P\left[\bar X > k\;|\;\mu\right] &=&P\left[\frac{\bar X-\mu}{\sigma_0/\sqrt n} > \frac{k-\mu}{\sigma_0/\sqrt n}\;\Big|\;\mu\right]=\\ &=&P\left[N(0,1) > \frac{k-\mu}{\sigma_0/\sqrt n}\right]\\ &<&P\left[N(0,1) > \frac{k-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt n}\right]=\alpha\\ \end{eqnarray*} \vspace{-2ex}Por tanto, $$ \forall\mu\in H_0,\quad P(\bar X>k\mid\mu)\leq\alpha $$ El tamaño del contraste es $$ \sup_{\mu\in H_0}P(\text{R.C.}\mid\mu) = P(\text{R.C.}\mid\mu_0) = \alpha $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes en poblaciones gausianas, $\sigma$ desconocida} \begin{block}{$H_0\colon \mu=\mu_0,\quad H_1\colon \mu\not=\mu_0$} $$ \text{Estadístico del contraste:}\qquad \frac{\bar{X}-\mu_0}{\hat{S}/\sqrt{n}}\stackrel{H_0}{\equiv}t_{n-1} $$ $$ \text{R.C.} = \left\{\vec x\;\Big|\left|\; \frac{\bar{x}-\mu_0} {\hat{s}/\sqrt{n}}\right| > t_{1-\frac\alpha2}\,\right\}\quad \text{con}\quad t_{1-\frac\alpha2}= F^{-1}_{ t_{n-1}}\left(1- \frac\alpha2\right) $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes en poblaciones gausianas} \begin{block}{$H_0\colon \sigma^2=\sigma_0^2\quad H_1\colon \sigma^2\not=\sigma_0^2$} $$ \text{Estadístico del contraste:}\qquad \frac{(n-1)\hat{S}^2}{\sigma_0^2} \;\stackrel{H_0}{\equiv}\; \chi_{n-1}^2 $$ $$ \text{R.C.} = \left\{\vec x \;\Big|\;\frac{(n-1)\hat{s}^2}{\sigma^2_0} < \chi_{\frac\alpha2} \right\} \bigcup \left\{\vec x \;\Big|\;\frac{(n-1)\hat{s}^2}{\sigma^2_0} > \chi_{1-\frac\alpha2} \right\} $$ $$\chi_{\alpha}= F^{-1}_{\chi^2_{n-1}}(\alpha)$$ \end{block} \end{frame} \section{Contrastes en otras poblaciones} \begin{frame}{Contrastes sobre una proporción} \begin{block}{$H_0\colon p=p_0 \quad H_1\colon p\not=p_0$} $$X\equiv B(1,p)\qquad \hat p=\bar X$$ $$\text{Estadístico del contraste:}\qquad \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}n}} \;\stackrel{H_0}{\cong}\; N(0,1)$$ $$\text{R.C.} = \left\{\vec x\;\Big|\; \left|\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2}\right\}$$ $$ z_{1-\frac\alpha2}= F^{-1}_{N(0,1)}\left(1-\frac\alpha2\right) $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes sobre la media de la distribución de Poisson} \begin{block}{$H_0\colon \lambda=\lambda_0 \quad H_1\colon \lambda \not=\lambda_0$} $$ \text{Estadístico del contraste:}\quad \frac{\bar{X}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}} \;\stackrel{H_0}{\cong}\; N(0,1) $$ $$ \text{R.C.} = \left\{\vec x \;\Big|\; \left|\frac{\bar{x}-\lambda_0}{\sqrt{\lambda_0/n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2}\right\} $$ $$ z_{1-\frac\alpha2}= F^{-1}_{N(0,1)}\left(1-\frac\alpha2\right) $$ \end{block} \end{frame} \section{Contrastes de dos muestras} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos conocidos} $$H_0\colon\quad\mu_X=\mu_Y\iff\mu_X-\mu_Y =0\qquad H_1\colon \mu_X\not=\mu_Y$$ $$ \text{Estadístico:}\quad \frac{\bar{X}-\bar{Y} - (\mu_X-\mu_Y)}{\sqrt{\frac{\sigma_X^2}{n_X}+\frac{\sigma_Y^2}{n_Y} }}\equiv N(0,1) $$ \end{block} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} Previamente, contraste de igualdad de varianzas: $$H_0\colon \sigma^2_X =\sigma^2_Y\quad H_1\colon \sigma^2_X\not=\sigma^2_Y$$ $$ \text{Estadístico del contraste:}\quad \frac{\hat{S}_X^2}{\hat{S}_Y^2}\stackrel{H_0}\equiv F_{n_X-1, n_Y-1} $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} $$H_0\colon\quad\mu_X=\mu_Y\iff\mu_X-\mu_Y =0\qquad H_1\colon \mu_X\not=\mu_Y$$ Estadístico: \begin{itemize} \item si $\sigma_X=\sigma_Y$ $$ T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}} {\sqrt{\frac{1}{n_X}+\frac{1}{n_Y}}\sqrt{\frac{(n_X-1)\hat{S}^2_X +(n_Y-1)\hat{S}^2_Y}{n_X+n_Y-2}}} \;\stackrel{H_0}\equiv\;t_{n_X+n_Y-2} $$ \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$ $$ T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}} {\sqrt{\frac{\hat{S}^2_X}{n_X}+\frac{\hat{S}^2_Y}{n_Y}}} \stackrel{H_0}\cong t_c \qquad c=\frac{\left(\frac{\hat{S}^2_X}{n_X}+\frac{\hat{S}^2_Y}{n_Y}\right)^2} {\frac{\hat{S}^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\hat{S}^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} $$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: $$ T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}} {\sqrt{\frac{\hat{S}^2_X}{n_X}+\frac{\hat{S}^2_Y}{n_Y}}} =\frac{\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}}} {\frac{\sqrt{\frac{\hat{S}^2_X}{n_X}+\frac{\hat{S}^2_Y}{n_Y}}} {\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}}} $$ numerador: $$ {\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}}} \stackrel{H_0}{\equiv}N(0,1) $$ \bigskip denominador: distribución desconocida \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: aproximación de Welch-Satterthwaite \bigskip Se busca $c$ tal que $$ \frac{\frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}} \quad\cong\quad\frac{\chi^2_c}{c} $$ es decir, tengan misma media y varianza. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: aproximación de Welch-Satterthwaite \bigskip $$ \hat S_X^2,\hat S_Y^2\quad\text{son estimadores insesgados de}\quad\sigma^2_X,\sigma^2_Y $$ $$ \frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y} \quad\text{es estimador insesgado de}\quad \frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y} $$ $$ E\left[\frac{\frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}\right] = \frac{\frac{E[\hat S^2_X]}{n_X}+\frac{E[\hat S^2_Y]}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}} =\frac {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}=1 =\frac c c=\frac{E[\chi^2_c]}{c}=E\left[\frac{\chi^2_c}{c}\right] $$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: aproximación de Welch-Satterthwaite \begin{eqnarray*} \frac{(n-1)\hat S^2}{\sigma^2}\equiv\chi^2_{n-1} &\implies& \text{Var}(\hat S^2)=\frac{2(n-1)\sigma^4}{(n-1)^2}=\frac{2\sigma^4}{n-1}\\ &\implies& \text{Var}\left[\frac{\frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}\right] =2\frac{\frac{\sigma^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\sigma^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} {\left(\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}\right)^2} \end{eqnarray*} \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: aproximación de Welch-Satterthwaite $$ \text{Var}\left[\frac{\frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}\right] =2\frac{\frac{\sigma^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\sigma^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} {\left(\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}\right)^2} $$ $$ \text{Var}\left[\frac{\frac{\hat S^2_X}{n_X}+\frac{\hat S^2_Y}{n_Y}} {\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}}\right] =\text{Var}\left[\frac{\chi^2_c}{c}\right]=\frac{2c}{c^2}=\frac2c $$ $$ c=\frac{\left(\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}\right)^2} {\frac{\sigma^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\sigma^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} \approx\frac{\left(\frac{\hat{S}^2_X}{n_X}+\frac{\hat{S}^2_Y}{n_Y}\right)^2} {\frac{\hat{S}^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\hat{S}^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} $$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Contrastes para la comparación de medias} \begin{block}{Dos poblaciones gausianas independientes, desvíos desconocidos} \begin{itemize} \item si $\sigma_X\not=\sigma_Y$: aproximación de Welch-Satterthwaite \bigskip El valor teórico de $c$, $$ c=\frac{\left(\frac{\sigma^2_X}{n_X}+\frac{\sigma^2_Y}{n_Y}\right)^2} {\frac{\sigma^4_X}{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\sigma^4_Y}{n_Y^2(n_Y-1)}} =\frac{\left(\frac1{n_X}+\frac{\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)^2}{n_Y}\right)^2} {\frac1{n_X^2(n_X-1)}+\frac{\left(\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)^4}{n_Y^2(n_Y-1)}} $$ depende de los desvíos sólo a través del cociente $\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$. \end{itemize} \end{block} \end{frame} \begin{frame}[fragile]{Contrastes para la comparación de dos proporciones} \begin{block}{Dos muestras independientes} $$H_0\colon p_X=p_Y \qquad H_1\colon p_X \not=p_Y$$ $$ \text{Estadístico del contraste:}\qquad E=\frac{\hat{p}_X-\hat{p}_Y} % {\sqrt{\frac{\hat{p}_X(1-\hat p_X)}{n_X} +\frac{\hat p_Y(1-\hat p_Y)}{n_Y}}} {\sqrt{\hat{p}(1-\hat p)\left(\frac1{n_X}+\frac{1}{n_Y}\right)}} \quad\stackrel{H_0}{\cong}\quad N(0,1) $$ $$\text{con}\quad\hat p = \frac {n_X \hat p_X + n_Y \hat p_Y}{n_X+n_Y} \qquad\text{(en {\sf R}, considerar que } E^2\cong\chi^2_1\text{)}$$ \end{block} \begin{block}{} \footnotesize \begin{verbatim} > nx <- 31; ny <- 22; rx <- 25; ry <- 9 > prop.test(c(rx,ry), c(nx,ny), correct=FALSE) $ p.value [1] 0.002955373 > p <- (rx+ry) / (nx+ny) > 2*(1-pnorm(abs((rx/nx-ry/ny)/sqrt((p*(1-p)*(1/nx+1/ny)))))) [1] 0.002955373 \end{verbatim} \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Tamaño de muestra y potencia} \begin{block}{Caso gausiano: $X\equiv N(\mu,\sigma_0)$} Calcular el mínimo tamaño de muestra $n$ necesario para\\ detectar una diferencia $d=|\mu_1-\mu_0|$ \\ con una potencia $1-\beta$ en el contraste $$H_0\colon\mu=\mu_0\quad H_1:\mu\neq\mu_0$$ a nivel de significación $\alpha$. $$ \text{R.C.} = \left\{\vec x\;\Big|\; \left|\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2} \right\} $$ $$ n \geq \sigma_0^2\frac{(z_{1-\frac\alpha2} - z_{\beta})^2}{d^2} $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Tamaño de muestra y potencia} \begin{block}{Caso gausiano: $X\equiv N(\mu,\sigma_0)$} Sin pérdida de generalidad, supóngase $\mu_1=\mu_0+d$. $$ \text{R.C.} = \left\{\vec x\;\Big|\; \left|\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2} \right\} $$ $$ 1-\beta=P\left(\text{R.C.}\mid\mu_1\right) = P\left[\left|\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2} \;\middle|\;\mu_1\right]={} $$ $$ {}= P\left[\left|\frac{\bar X-\mu_1+d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2} \;\middle|\;\mu_1\right]= P\left[\left|N(0,1)+\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right| > z_{1-\frac\alpha2} \;\middle|\;\mu_1\right]={} $$ $$ {}=1-P\left[-z_{1-\frac\alpha2}\le N(0,1)+\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}} \le z_{1-\frac\alpha2} \;\middle|\;\mu_1\right]={} $$ $$ {}=1-\left[\Phi\left(z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right) -\Phi\left(-z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right)\right] $$ \end{block} \end{frame} \begin{frame}{Tamaño de muestra y potencia} \begin{block}{Caso gausiano: $X\equiv N(\mu,\sigma_0)$} En consecuencia $$ \beta=\Phi\left(z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right) -\Phi\left(-z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right) $$ donde $$ \Phi\left(-z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right)\approx0 $$ Por tanto $$ \Phi\left(z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\right)\approx\beta \implies z_{1-\frac\alpha2}-\frac{d}{\sigma_0/\sqrt{n}}\approx\Phi^{-1}(\beta)=z_\beta $$ $$\implies n\approx\left[\sigma_0\frac{z_{1-\frac\alpha2}-z_\beta}d\right]^2 $$ \end{block} \end{frame} \end{document} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \section{Contraste de hipótesis simple} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block} {Objetivo} Determinar el test más potente para contrastar dos hipótesis simples al nivel de significación $\alpha$. \end{block} \begin{block}{Lema de Neyman-Pearson (Test no aleatorizados)} Sea $X$ una v.a. que solo puede tener dos distribuciones $\{F_0 ,\; F_1\}$. Sean $H_0: X\equiv F_0$ y $H_1: X\equiv F_1$ dos hipótesis simples, $(X_1,\ldots,X_n)$ una m.a.s. de X, y $C_0 \subset{\cal X}^n $ tal que $\{\vec{x} / L_{H_1}(\vec{x})>k L_{H_0}(\vec{x})\} \subset C_0 \subset \{\vec{x} / L_{H_1}(\vec{x}) \geq k L_{H_0}(\vec{x})\}$ para algún $k>0$ y que verifica $P_{H_0}(C_0)=\alpha$. \\ Entonces $C_0$ es la región crítica asociada a un test con significación $\alpha$ y máxima potencia entre los tests al nivel de significación $\alpha$. \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block} {Test de Neyman Pearson} Determinar el test más potente para contrastar, con una muestra de tamaño 15 y al nivel de significación $0.05$. \begin{itemize} \item Si $ X\equiv N(\mu,2)\quad H_0: \mu = 3 \quad H_1: \mu = 4$ \item Si $ X\equiv U(0,\theta) \quad H_0: \theta = 1 \quad H_1: \theta = 1.5$ \item Si $ X\equiv B(p) \quad H_0: p=0.5 \quad H_1: p=0.7$ \item Si $ X\equiv N(\mu,\sigma)\quad H_0:X\equiv N(3,2) \quad H_1: X\equiv N(4,1)$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block} {Test de Neyman Pearson aleatorizado} Sea $X$ una v.a. con distribución $F_0$ 0 $F_1$ Sean $H_0: X\equiv F_0$ y $H_1: X\equiv F_1$ dos hipótesis simples y $(X_1,\ldots,X_n)$ una m.a.s. \begin{itemize} \item Cualquier test de la forma $$\varphi(\vec{x}) =\left\{ \begin{array}{lll} 1 & si& L_{H_1}(\vec{x})>k L_{H_0}(\vec{x})\\ \gamma(\vec{x}) & si & L_{H_1}(\vec{x})=k L_{H_0}(\vec{x})\\ 0 & si& L_{H_1}(\vec{x})0$\, es el más potente entre los de su tamaño. \item Para cada $\alpha \in (0,1)$ existe un test con $\gamma(\vec{x}) = c^{te}$ de la forma (1) con tamaño $\alpha$. \item Un test de máxima potencia al nivel $\alpha$ para contrastar $H_0$ frente a $H_1$ es de la forma dada. \end{itemize} \end{block} \end{frame}%--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \section{Tests unilaterales} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Tests unilaterales} Las hipótesis simples son poco usuales en las aplicaciones reales, más común es plantear \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{contrastes unilaterales}. $$\left.\begin{array}{ll} H_0 \equiv & \theta \leq \theta_0 \\ H_1 \equiv & \theta > \theta_0\end{array}\right. \qquad \left.\begin{array}{ll} H_0 \equiv & \theta \geq \theta_0 \\ H_1 \equiv & \theta < \theta_0\end{array}\right. $$ \end{block} existen test U.M.P. en algunos casos particulares \vspace{0.5cm} Una familia de distribuciones $F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$ tiene \textcolor[rgb]{1.00,0.00,0.00}{razón de verosimilitud monótona} si existe un estadístico unidimensional $T(\vec{x})$ tal que para $\theta_1 <\theta_2$ entonces $\dfrac{f_{\theta_2}(\vec{x})}{f_{\theta_1}(\vec{x})}$ es una función no decreciente de $T$ en el conjunto de puntos $\vec{x}$ en los que al menos una de las verosimilitudes es no nula. \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Teorema de Karlin-Rubin} Sea $X$ una v.a. con distribución $F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$ y razón de verosimilitud monótona en $T(\vec{x})$. Entonces se verifica que: \begin{itemize} \item Para contrastar $H_0 \equiv \theta \leq \theta_0 $ frente a $H_1 \equiv \theta > \theta_0$ existe un test $\varphi$ de tamaño $\alpha, \alpha \in (0,1)$ y UMP de la forma $$\varphi(\vec{x}) =\left\{ \begin{array}{lll} 1 & si& T(\vec{x})>c\\ \gamma(\vec{x}) & si & T(\vec{x})=c\\ 0 & si& T(\vec{x})c \end{array}\right. $$ \item Todo test de la forma anterior tiene función de potencia $Pot(\theta) \in (0,1)$ estrictamente decreciente. \item Para cualquier test $\varphi'$ tal que $E_{\theta_0}(\varphi') = \alpha$ se cumple que $E_{\theta}(\varphi) \leq E_{\theta}(\varphi')$ para todo $\theta \ge \theta_0 $. \end{itemize} \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \section{Test de la razón de verosimilitudes} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Tests de la razón de verosimilitudes} Sea $X$ una v.a. con distribución $\{F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^k\}$. El contraste $H_0: \theta \in \Theta_0$ frente a $H_1: \theta \in \Theta -\Theta_0$ se basa en el estadístico de la razón de verosimilitudes $$\Lambda(\vec{x})= \frac{\sup_{\theta \in \Theta_0}f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)}{\sup_{\theta \in \Theta}f_{\theta}(x_1,\ldots,x_n)}$$ \vspace{-0.2cm} que verifica por su definición $0 \leq \Lambda \leq 1$. El test de razón de verosimilitudes (TRV) es $$\varphi(\vec{x}) =\left\{ \begin{array}{lll} 1 & si& \Lambda < c\\ \gamma(\vec{x}) & si & \Lambda =c\\ 0 & si& \Lambda >c\end{array}\right. $$ \vspace{-0.2cm} con $c \in (0,1)$ y $\gamma$ ajustados para tener nivel de significación $\alpha$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Tests de la razón de verosimilitudes} Sea $X \equiv exp( \lambda) \quad \quad H_0: \lambda=3$ frente a $H_1:\lambda \ne 3 $., n=15 Estadístico de la razón de verosimilitudes \small{$$\Lambda(\vec{x})= \frac{f_{3}(x_1,\ldots,x_n)}{\sup_{\lambda>0}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}= (3 \overline{x})^n \exp( -n(3\overline{x}-1))$$ } \vspace{-1cm} \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics [width=4cm]{trvexp.pdf} \end{center} \end{figure} \vspace{-0.7cm} TRV $\alpha=0.05$: c= 0.1443 $RC=\{ \overrightarrow{x} | 3\overline{x}< 0.5735537 \} \cup \{ \overrightarrow{x} | 3\overline{x}> 1.598617\} $ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Tests de la razón de verosimilitudes} Sea $X \equiv exp( \lambda)\quad \quad H_0: \lambda \le 3$ frente a $H_1:\lambda > 3 $. n=15 \small{ $$\Lambda(\vec{x})= \frac{\sup_{\lambda\le 3}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}{\sup_{\lambda>0}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}= \left\{ \begin{array}{cc} (3 \overline{x})^n \exp( -n(3\overline{x}-1))& 3 \overline{x}<1\\ 1 & 3 \overline{x}\ge 1\\ \end{array} \right.$$} \vspace{-1cm} \begin{figure}[!h] \begin{center} \includegraphics [width=4cm]{trvexp1.pdf} \end{center} \end{figure} \vspace{-.7cm} TRV $\alpha=0.05$: c=0.2223 $RC=\{ \overrightarrow{x} | 3\overline{x}< 0.616422 \}$ \end{block} \end{frame} %------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame}\begin{block}{Convergencia asintótica del TRV} Sea $X$ una v.a. con distribución perteneciente a una familia $F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}$. y que verifica las condiciones de regularidad para garantizar la convergencia en probabilidad y la convergencia en ley del EMV, $\sqrt{n}(\hat{\theta} - \theta) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} N(0,\sqrt{i(\theta)^{-1}})$. El estadístico $\Lambda(\vec{x})$ para realizar el contraste $H_0: \theta = \theta_0$ frente a $H_1: \theta \neq \theta_0$, verifica que: $$-2\ln \Lambda(\vec{x}) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \chi^2_1 \mbox{\quad bajo $H_0$}$$ \end{block} Resultados utilizados en la demostración \begin{itemize} \item $X_n \stackrel{{\cal L}}{\rightarrow} X \Rightarrow cX_n \stackrel{{\cal L}}{\rightarrow} cX$ \item $X_n \stackrel{{\cal L}}{\rightarrow} X \quad Y_n - X_n \stackrel{p}{\rightarrow} 0 \Rightarrow Y_n \stackrel{{\cal L}}{\rightarrow} X $ \item $X_n \stackrel{{\cal L}}{\rightarrow} X \quad Y_n \stackrel{p}{\rightarrow} 0 \Rightarrow X_nY_n \stackrel{p}{\rightarrow} 0 $ \end{itemize} \end{frame} %------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame}\begin{block}{Convergencia asintótica del TRV} Sea $X \equiv F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset R^k $. Bajo condiciones de regularidad, el TRV para contrastar $$H_0: \theta = \theta_0 \quad H_1: \theta \neq \theta_0$$ verifica que $$-2\ln \Lambda(\vec{x}) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \chi^2_k \mbox{\quad bajo $H_0$}$$ Más en general,bajo condiciones de regularidad, si $ \Theta \subset R^k$ de dimensión k y $\Theta_0$ es un subconjunto de dimensión r. Para realizar el contraste $$H_0: \theta \in \Theta_0 \qquad H_1: \theta \in \Theta-\Theta_0$$ $$-2\ln \Lambda(\vec{x}) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \chi^2_{k-r} \mbox{\quad bajo $H_0$}$$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame}\begin{block}{Ejemplo: TRV homocedasticidad en poblaciones normales } Sean $X_i \equiv N(\mu_i,\sigma_i)$ $i=1,\ldots,k$ v.a. independientes de las que se extraen m.a.s de tamaño $n_i$. Parámetros: $(\mu_1, \ldots ,\mu_g,\sigma_1^2, \ldots , \sigma_k^2)=(\overrightarrow{\mu},\overrightarrow{\sigma^2})$ $$H_0:\sigma_1 = \ldots = \sigma_k \quad H_1: \mbox{ no todas las varianzas son iguales}$$ \end{block} $$ \log L(\overrightarrow{x},\overrightarrow{\mu},\overrightarrow{\sigma^2})= \sum_{i=1}^k\log L(\overrightarrow{x_i},\mu_i,\sigma_i^2)$$ $$=\sum_{i=1}^k \left( \frac{-n_i}{2} \log(2 \pi )- \frac{n_i}{2} \log(\sigma_i^2)-\frac{1}{2 \sigma_i^2}\sum_j(x_{ij}-\mu_i)^2 \right)$$ \end{frame} \begin{frame}{Ejemplo: TRV homocedasticidad en poblaciones normales } $$ \log L(\overrightarrow{x},\overrightarrow{\mu},\overrightarrow{\sigma^2})\le \sum_{i=1}^k \left( \frac{-n_i}{2} \log(2 \pi )- \frac{n_i}{2} \log(s_i^2)-\frac{n_i}{2 }\right)$$ bajo la hipótesis nula $$ \log L(\overrightarrow{x},\overrightarrow{\mu},\sigma^2\overrightarrow{1})\le \frac{-n}{2} \log(2 \pi )-\frac{n}{2} \log(s^2)-\frac{n}{2 }$$ $$ s_i^2= \frac{\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\overline{x}_{i.})^2}{n_i}, \quad s^2=\frac{\sum_{i=1}^{k} n_i s_i^2}{n}$$ $$ -2log \Lambda(x)=- \sum_{i=1}^{k} n_i \log( s_i^2)+ n \log( s^2)= \sum_{i=1}^k \log{ \left(\frac{s^2}{s_i^2}\right)^{n_i}}\stackrel{\cal L}{\rightarrow} _{H_0} \chi^2_{k-1}$$ \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame}\begin{block}{Test de Bartlett} Es una modificación del anterior TRV para acelerar la convergencia asintótica, se considera que la aproximación es válida si $n_i \geq 5$ $$B=1/c \left( -\sum_ {i=1}^k (n_i-1) ln (\widehat{s}_i^2) + (n-I) ln(\widehat{s}^2) \right) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} _{H_0} \chi^2_{k-1}$$ con $$c= \frac{1}{3(k-1)}\left(\sum_{i=1}^k(\frac{1}{n_i-1}) - \frac{1}{N-k}\right)$$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \section{Tests múltiples} \begin{frame} \begin{block}{Test múltiples} $$H_0: \theta \in \Theta_0 = \theta \in \displaystyle\cap_{i\in I}\Theta_{0_i}$$ resuelve los contrastes $$\begin{array}{l} H_0^i: \theta \in \Theta_{0_i} \\ H_1^i: \theta \notin \Theta_{0_i} \end{array}$$ La región crítica del test global la podemos construir como $$R.C = \bigcup_{i}R.C_i$$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Test múltiples} \begin{itemize} \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Bonferroni}: para mantener el nivel de significación global en $\alpha$, se realizan los contrastes simples al nivel de significación $\alpha' =\dfrac{\alpha}{nº contrastes}$ \textbf{Inconveniente}: poco potentes, tamaño por debajo de $\alpha$ \item Regiones críticas construidas por estadísticos independientes $(1- \alpha)= \prod (1-\alpha'_i) \Rightarrow \alpha'= 1- (1-\alpha)^{1/nº contrastes} $ \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Tests de Unión-Intersección} Si, por ejemplo $R.C._i = \{\vec{x}\,/\,T_i >c\}$ considera $R.C. = \{\vec{x}\,/\,\max T_i >c\}$ \textbf{Inconveniente}: búsqueda de la distribución del $\max T_i$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame}\begin{block}{Ejemplo: TRV homocedasticidad en poblaciones normales } Sean $X_i \equiv N(\mu_i,\sigma_i)$ $i=1,\dots,10$ v.a. independientes de las que se extraen m.a.s de tamaño $m$.\\ $$H_0:\sigma_1^2 = \ldots = \sigma_{10}^2 \Leftrightarrow \cap_{ij} H_{{ij}_0} \sigma_i^2 =\sigma_j^2 $$ \vspace{-0.3cm} \begin{itemize} \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Bonferroni}: $\alpha' = alfa/ 45$ las regiones no son independientes \item \textcolor[rgb]{0.98,0.00,0.00}{Tests de Unión-Intersección} $$RC= \left\{ \frac{\widehat{s}^2_{(10)}} {\widehat{s}^2_{(1)}} >c \right\}$$ c se aproxima por la simulación del $ F_{max}=\frac{\widehat{s}^2_{(10)}}{\widehat{s}^2_{(1)}}$ bajo $H_0$ \end{itemize} \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Ejemplo test multiples} $X_i\equiv N(\mu_i,\sigma_i) $, i=1,2,3 $$H_0: \mu_1=3 \cap \mu_2=2 \cap \mu_3=1\quad H_1: \mu_1 \ne 3 \cup \mu_2\ne 2 \cup \mu_3\ne 1 $$ $$RC_i=\left \{ \frac{n_i(\overline{x}_i-3)^2}{\widehat{s} _i^2}>c \right\} \quad c=F^{-1}_{F_{1,n_i-1}}(1-\alpha')$$ si $\alpha=0.05$ puede considerarse $\alpha'=1-\sqrt[3]{0.95}= 0.0169> 0.05/3$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Procedimiento de Holm-Bonferroni} $H_0= \bigcap_{i=1}^k H_i$, y se rechazan alguna de ellas(o todas) procedimiento secuencial basado en:\\ \noindent $\bullet$ calcular el p-valor correspondiente $p_i$ a cada contraste $H_i$ y ordenar $p_{(1)} \le p_{(2)}....\le p_{(k)}$ \\ \noindent $\bullet$ rechazar $\{H_{(1)}, \dots , H_{(m)}\}$ y no rechazar $\{H_{(m+1)}, \dots , H_{(m)}\} $ si \\ $$p_{(i)}\le \alpha/(k-i+1),\, \forall i\le m \quad y \quad p_{(m+1)}> \alpha/(k-m)$$ Este procedimiento mantiene el nivel de significación global $\alpha$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Ejemplo} Para k poblaciones exponenciales $X_i\equiv Exp(\lambda_i)$ de las que se dispone de m.a.s. de tamaño m para cada población e independientes $$H_0:\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3= \dots= \lambda_k$$ $$H_1:\exists i,j \quad \lambda_i\ne \lambda_j$$ \end{block} \end{frame} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------- \begin{frame} \begin{block}{Ejemplo Test múltiples $X_i\equiv N(\mu,\sigma)$} $$H_0: \mu=3 \cap \sigma=2 \qquad H_1: \mu \ne3 \cup \sigma \ne 2 $$ $$RC=\left \{ \frac{\sum (x_i-3)^2}{4}>c \right\} \qquad c=F^{-1}_{\chi^2_n}(1-\alpha)$$ o construir como $$RC^* =\left \{ \frac{n(\overline{x}-3)^2}{4}>c_1\right\} \cup \left\{ \frac{\sum (x_i-\overline{x})^2}{4}