\documentclass[serif]{beamer}
\usetheme{Madrid}
\usepackage{gentium} % error I y II; sin ligatura "fi"
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\title{P-valor}
\subtitle {Inferencia Estadística}
\author[López Corral Carleos]{M.T. López, N. Corral, C. Carleos}
\institute[U. Oviedo]{Departamento de Estadística --- Universidad de Oviedo}
\newcommand{\por}{\,\cdot\,}
\begin{document}
\frame[plain]{\titlepage}

\begin{frame}{P-valor como variable aleatoria}
  \begin{block}{Proposición}
    Si
    \begin{itemize}
    \item $H_0$ es simple,
    \item $T$, el estadístico del contraste, es continuo, y
    \item la R.C. puede expresarse como $\{\vec x\mid T(\vec x)>c\}$,
    \end{itemize}
    entonces el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme, $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$.
  \end{block}
  \begin{block}{Demostración (versión 1)}
    Para cada muestra $\vec x$, sea $t=T(\vec x)$. Entonces el P-valor es
    $$
    P_V(\vec x) = P[T>t\mid H_0]=1-P[T\le t\mid H_0]=1-P[T\le T(\vec x)\mid H_0]=1-F_T\bigl(T(\vec x)\bigr)
    $$
    $$F_T(T)\equiv U(0,1)\implies1-F_T(T)\equiv U(0,1)\implies P_V\equiv U(0,1)$$
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  {P-valor como variable aleatoria}
  \begin{block}{Proposición}
    ...el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme, $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$.
  \end{block}
  \begin{block}{Demostración (versión 2, con más detalle)}
    $$F_0(t)=1-P\left[T\le t\mid H_0\right]$$
    $$F_0(T)=F_0[T(\vec X)]\;\stackrel{H_0}{\equiv}\;U(0,1)$$
    $$
    \begin{array}{rccl}
      P_V\colon&X(\Omega)^n&\longrightarrow&[0;1]\\
               &\vec x     &\longmapsto    &p_v=P[T>T(\vec x)\mid H_0]=1-F_0[T(\vec x)]
    \end{array}
    $$
    \begin{eqnarray*}
      % F_{P_V}(a)=
      P[P_V\le a\mid H_0] &=& P\bigl[1-F_0[T(\vec X)]\le a\mid H_0\bigr] = P\bigl[F_0[T(\vec X)]\ge 1-a\mid H_0\bigr]\\
                          &=& P[U(0,1)\ge 1-a] = 1 - P[U(0,1) < 1-a] \\
                          &=& 1 - (1-a) = a \implies P_V\;\stackrel{H_0}\equiv\;U(0,1)
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  {P-valor como variable aleatoria}
  \begin{block}{Proposición}
    ...el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme, $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$.
  \end{block}
  \begin{block}{Demostración (versión 3, con aun más detalle)}
    \begin{eqnarray*}
      &&
         \begin{array}{rccl}
           X\colon&\Omega&\longrightarrow&\mathbb R\\
                  &\omega&\longmapsto    &x
         \end{array}\\
      &&                     
         \begin{array}{rccl}
           \vec X\colon&\Omega&\longrightarrow&\mathbb R^n\\
                       &\omega&\longmapsto    &\vec x=(x_1,\dots,x_n)
         \end{array}\\
      &&                          
         \begin{array}{rccl}
           T\colon&\vec X(\Omega)=X(\Omega)^n
           &\longrightarrow&\mathbb R^p\\
                  &\vec x&\longmapsto        &t=T(\vec x)
         \end{array}\\
      &&
      \begin{array}{rccl}
        T\circ\vec X\colon&\bigl(\Omega,\mathcal A,P_\theta\bigr)
        &\longrightarrow&\mathbb R^p\\
                  &\omega&\longmapsto    &T\bigl(\vec X(\omega)\bigr)
    \end{array}
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  {P-valor como variable aleatoria}
  \begin{block}{Proposición}
    ...el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme,
    $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$.
  \end{block}
  \begin{block}{Demostración (versión 3, continuación)}
    \begin{eqnarray*}
    &&\begin{array}{rccl}
      P_V\colon&X(\Omega)^n&\longrightarrow&[0;1]\\
               &\vec x     &\longmapsto    &p_v=P[T>T(\vec x)\mid H_0]
      \end{array}\\
      &&\begin{array}{rccl}
      P_V\circ\vec X\colon&(\Omega,\mathcal A,P_\theta)&\longrightarrow&[0;1]\\
                          &\omega&\longmapsto&P_{\theta_0}[T\circ\vec X(\Omega)>T\circ\vec X(\omega)]\\
                          &&=&P_{\theta_0}\left\{\omega'\mid T\left(\vec X(\omega')\right)>T\left((\vec X(\omega)\right)\right\}\\
                          &&=&1-F^{\theta_0}_{T\left(\vec X\right)}\left(T\left(\vec X(\omega)\right)\right)\\
        \end{array}\\
      &&0<a<1\implies F_{P_V}^{\theta_0}(a)=P_{\theta_0}\left\{\omega\;\Big|\;1-F^{\theta_0}_{T\left(\vec X\right)}\left(T\left(\vec X(\omega)\right)\right)\le a\right\}
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  {P-valor como variable aleatoria}
  \begin{block}{Proposición}
    ...el P-valor $P_V$ sigue una distribución uniforme,
    $P_V\stackrel{H_0}{\equiv}U(0,1)$.
  \end{block}
  \begin{block}{Demostración (versión 3, continuación)}
    \begin{eqnarray*}
      0<a<1\implies F_{P_V}^{\theta_0}(a)
      &=&P_{\theta_0}\left\{\omega\;\Big|\;1-F^{\theta_0}_{T\left(\vec X\right)}\left(T\left(\vec X(\omega)\right)\right)\le a\right\}\\
      &=&P\left\{\omega\;\Big|\;1-U(\omega)\le a\right\}
          \mbox{ con }U\equiv\mathcal U(0;1)\\
      &=&P\left\{\omega\;\Big|\;U'(\omega)\le a\right\}
          \mbox{ con }U'\equiv\mathcal U(0;1)\\
      &=&P[U'\le a]=a\implies P_V|_{H_0}\equiv U(0;1)
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}
\end{document}
