\documentclass[12pt,spanish]{article}
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\newcommand{\sigue}{\,\hookrightarrow\,}

\usepackage{Sweave}
\begin{document}
\raggedright
\section{Enunciado}
Aplica el lema de Neyman y Pearson para contrastar
$$
H_0\equiv X\sigue \mathcal B(p=0.5)\qquad H_1\equiv X\sigue \mathcal P(\lambda=0.5)
$$
a nivel $\alpha=0.05$ a partir de una muestra aleatoria simple de tamaño $n$.
\section{Resolución}
Para una muestra $\vec x=(x_1,\dots,x_n)$ con $x_i\in\{0,1,2,\dots\}$,
\begin{eqnarray*}
L(\vec x\mid H_0) &=& p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i} I(x_{(n)}\le1)\\
L(\vec x\mid H_1) &=& e^{-n\lambda}\frac{\lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}
\end{eqnarray*}

Bajo $H_0$, $x_{(n)}>1$ es un resultado imposible y, de observarlo, habría que rechazar $H_0$.

La razón de verosimilitudes vale:
$$
\frac{L(\vec x\mid H_1)}{L(\vec x\mid H_0)}=
\begin{cases}
  \infty & x_{(n)} > 1 \\
  \frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum x_i}/\prod x_i!}{p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}} & x_{(n)} \le 1
\end{cases}
$$
\newcommand{\RC}[1]{\left\{\vec x\;\middle|\;#1\right\}}
$$
\text{R.C.}=\RC{\frac{L(\vec x\mid H_1)}{L(\vec x\mid H_0)}>k} = \text{R.C.}1\;\cup\;\text{R.C.}2
$$
donde
$$
\text{R.C.1}=\RC{{L(\vec x\mid H_0)}=0,L(\vec x\mid H_1)>0}=\RC{x_{(n)}>1}
$$
$$
\text{R.C.2}=\RC{\frac{L(\vec x\mid H_1)}{L(\vec x\mid H_0)}>k\;\cap\;x_{(n)}\le1}={}
$$
$$
{}= \RC{\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum x_i}/\prod x_i!}{p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}}>k\;\cap\;x_{(n)}\le1}={}
$$
$$
{}=\left<\forall i, 0\le x_i\le 1\implies\prod x_i!=1\right>={}
$$
$$
{}=\RC{\frac{e^{-n\lambda}\lambda^{\sum x_i}}{p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}}>k\;\cap\;x_{(n)}\le1}={}
$$
$$
{}=\RC{{-n\lambda}+{\sum x_i}\ln\lambda-{\sum x_i}\ln p-\left(n-\sum x_i\right)\ln(1-p)>k'\;\cap\;x_{(n)}\le1}={}
$$
$$
{}=\RC{{\sum x_i}\left[\ln\lambda-\ln p+\ln(1-p)\right]>k''\;\cap\;x_{(n)}\le1}
={}
$$
$$
{}=\RC{\tau\sum x_i>k''\;\cap\;x_{(n)}\le1}
$$
donde $\tau=\ln\lambda-\ln p+\ln(1-p)$, $k'=\ln k$ y 
$k''=k'+n\lambda+n\ln(1-p)$.
Dependiendo del signo de $\tau$, la región crítica toma 
las siguientes formas:
\begin{itemize}
\item $\tau>0$
  $$
  \text{R.C.}=\RC{x_{(n)}>1}\bigcup
  \RC{x_{(n)}>1\cap\sum x_i>\frac{k''}\tau=k'''}
  $$
\item $\tau<0$
  $$
  \text{R.C.}=\RC{x_{(n)}>1}\bigcup
  \RC{x_{(n)}>1\cap\sum x_i<k'''}
  $$
\item $\tau=0$ (por ejemplo, cuando $\lambda=1$ y $p=0.5$).  En este caso
  la razón de verosimilitudes vale
$$
\frac{L(\vec x\mid H_1)}{L(\vec x\mid H_0)}=
\begin{cases}
  \infty & x_{(n)} > 1 \\
  \frac{e^{-n\lambda}}{p^n} & x_{(n)} \le 1
\end{cases}
$$
  luego en la expresión de la región crítica
no aparece $\sum X_i$. Para un nivel de significación $\alpha$,
la función crítica del contraste toma la forma
$$
\varphi_\alpha(\vec x)=
\begin{cases}
  1 & x_{(n)}>1 \\ \alpha & x_{(n)}\le1
\end{cases}
$$
Los únicos contrastes puros que se pueden usar en esta situación serían:
\begin{itemize}
\item Contraste de tamaño cero, $\varphi_0$, 
  $$
\varphi_0(\vec x)=
\begin{cases}
  1 & x_{(n)}>1 \\ 0 & x_{(n)}\le1
\end{cases}
$$
que tiene probabilidad cero de cometer el error de tipo uno.
\item Contraste de tamaño uno, $\varphi_1$, 
  $$
\varphi_0(\vec x)=1\quad\forall\,\vec x
$$
que rechaza siempre $H_0$.
\end{itemize}
\end{itemize}

En el enunciado del ejercicio se tiene
$\lambda=p=0.5$, luego $\tau<0$ y
$$
\text{R.C.2}=\RC{{\sum x_i}>k'''\;\cap\;x_{(n)}\le1}
$$
Por tanto,
$$
\text{R.C.}=\RC{x_{(n)}>1\;\cup\;\left(x_{(n)}\le1\cap\sum x_i<k'''\right)}
$$
$$
\Pr[\text{R.C.}\mid H_0]=
\Pr\left[X_{(n)}>1\;\cup\;\left(x_{(n)}\le1\cap\sum x_i<k'''\right)\;
  \middle|\;H_0\right]={}
$$
$$
{}=\Pr[X_{(n)}>1\mid H_0]+\Pr\left[X_{(n)}\le1\;\cap\;\sum X_i<k'''\;\middle|\;H_0\right]={}
$$
$$
{}=0+\Pr\left[\sum X_i<k'''\;\middle|\;X_{(n)}\le1\;\cap\;H_0\right]\Pr\left[X_{(n)}\le1\mid H_0\right]={}
$$
$$
{}=0+\Pr\left[\sum X_i<k'''\;\middle|\;X_{(n)}\le1\;\cap\;H_0\right]\cdot 1={}
$$
$$
{}=\Pr[\mathcal B(n,p)\le k''']\le\alpha
$$
\section{Ejemplos}
\subsection{$n=3$}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> p = 1/2
> n = 3
> pbinom (0, n, p)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.125
\end{Soutput}
\end{Schunk}
es mayor que $\alpha=0.05$, por lo que R.C. = R.C.1 = $\{\vec x\mid x_{(n)}>1\}$ y el contraste
tendría tamaño $\Pr(R.C.\mid H_0)$ = $0$.

\subsection{$n=10$}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> n = 10
> pbinom (1, n, p)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.01074219
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> pbinom (2, n, p)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.0546875
\end{Soutput}
\end{Schunk}
y para $\alpha=0.05$ se tiene R.C. = $\{\vec x\mid x_{(n)}>1\;\cup\;\sum x_i\le1\}$, con tamaño
$\Pr(R.C.\mid H_0)$ = $0.0107421875$.

\subsection{$n=3$, con más detalle}
Comprobaremos para $n=3$ que el cociente de verosimilitudes
$\frac{L(\vec x\mid H_1)}{L(\vec x\mid H_0)}$ es mayor cuando
$\sum x_i$ es pequeño:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> p = 1/2 ; landa = 1/2
> for (x1 in 0:1) for (x2 in 0:1) for (x3 in 0:1)
+    cat (x1,x2,x3, "-> Suma", x1+x2+x3, "-> Razón vero",
+         prod(dpois(c(x1,x2,x3),landa)) /
+         prod(dbinom(c(x1,x2,x3),1,p)),
+         "\n")
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
0 0 0 -> Suma 0 -> Razón vero 1.785041 
0 0 1 -> Suma 1 -> Razón vero 0.8925206 
0 1 0 -> Suma 1 -> Razón vero 0.8925206 
0 1 1 -> Suma 2 -> Razón vero 0.4462603 
1 0 0 -> Suma 1 -> Razón vero 0.8925206 
1 0 1 -> Suma 2 -> Razón vero 0.4462603 
1 1 0 -> Suma 2 -> Razón vero 0.4462603 
1 1 1 -> Suma 3 -> Razón vero 0.2231302 
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{$p=0.5$ y $\lambda=1$}
Se verifica que la distribución de $X_i|_{H_1\cap X_i\le1}$ es la siguiente:
$$
\Pr\left[X_i=1\mid X_i\le1,H_1\right]=
\frac{\Pr[X_i=1\cap X_i\le1\mid H_1]}{\Pr[X_i\le1\mid H_1]}=
\frac{\Pr[X_i=1\mid H_1]}{\Pr[X_i\le1\mid H_1]}={}
$$
$$
{}=\frac{\Pr[\mathcal P(\lambda=1)=1]}
{\Pr[\mathcal P(1)=0]+\Pr[\mathcal P(1)=1]}
=\frac{e^{-1}\frac{1^1}{1!}}{e^{-1}\frac{1^0}{0!}+e^{-1}\frac{1^1}{1!}}
=\frac{e^{-1}}{e^{-1}+e^{-1}}=\frac12
$$
es decir, se trata de una $\mathcal B(p=0.5)$ idéntica a la de $H_0$.
\end{document}
