\documentclass{article}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}

\usepackage{Sweave}
\begin{document}
\section{Enunciado}
En una empresa el tiempo que se tarda en fabricar una unidad de cierto
producto se comporta como una variable aleatoria con distribución
exponencial Exp($\lambda$).  Cuando el sistema de producción funciona
correctamente se verifica que $\lambda = \lambda_0 = 1$; en caso
contrario, $\lambda < \lambda_0$.  Para analizar el funcionamiento del
proceso de producción se consideran los tiempos que se tarda en
fabricar $n=16$ unidades, elegidas al azar.
\begin{enumerate}
\item Contrasta las hipótesis $H_0\colon\lambda=\lambda_0$, 
  $H_1\colon\lambda<\lambda_0$ a nivel de significación
  $\alpha=0.05$.
\item Calcula el P-valor del contraste para la siguiente muestra:
\begin{Schunk}
\begin{Soutput}
c(0.9, 1.3, 0.2, 0.2, 0.5, 3, 1.3, 0.6, 1.1, 0.2, 1.5, 0.9, 
1.3, 4.5, 1.2, 1.1)
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\item Calcula el mínimo tamaño de muestra para que la potencia sea 
  $0.8$ para $\lambda=\frac34$.
\item ¿Qué cambiaría si el contraste fuera $H_0\colon\lambda\ge\lambda_0$, 
  $H_1\colon\lambda<\lambda_0$.
\end{enumerate}
\section{Resolución}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> anchura <- 55 # del renglón
> options(width=anchura)
> landa0 <- 1
> n <- 16  
> alfa <- 0.05
> set.seed(1) # para generar la muestra del enunciado
> X <- 0.1+round(rexp(n,landa0),1) # 0.1+ para evitar el cero
> cat(deparse(X,anchura),sep="\n") # para poder copiar y pegar
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
c(0.9, 1.3, 0.2, 0.2, 0.5, 3, 1.3, 0.6, 1.1, 0.2, 1.5, 0.9, 
1.3, 4.5, 1.2, 1.1)
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{Contrasta las hipótesis}
Teniendo en cuenta las hipótesis parece razonable rechazar $H_0$ cuando
la estimación de $\lambda$ sea menor de lo esperado bajo $H_0$.
El estimador máximo-verosímil de $\lambda$ es $\hat\lambda=\frac n{\sum X_i}$
y por tanto la región crítica se puede plantear como 
\begin{eqnarray*}
\text{R.C.}&=&
\left\{(x_1,\dots,x_n)\;\middle|\;\hat\lambda<c\right\}=
\left\{(x_1,\dots,x_n)\;\middle|\;\frac{n}{\sum x_i}<c\right\}\\
&=&\left\{(x_1,\dots,x_n)\;\middle|\;{\sum x_i}>\frac n c\right\}=
    \left\{(x_1,\dots,x_n)\;\middle|\;{\sum x_i}>k\right\}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
0.05 = \alpha &=& P\left(\text{R.C.}\;\middle|\;H_0\right)
            =P\left(\sum X_i > k \;\middle|\;H_0\right)
            =P\left[\gamma(n,\lambda_0) > k
                          \right]\\
  &\implies&k= 23.097
\end{eqnarray*}
Haciendo el cálculo con R:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (k <- qgamma(1-alfa, n, landa0))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 23.09713
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{Calcula el P-valor}
Dada la muestra
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> X
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
 [1] 0.9 1.3 0.2 0.2 0.5 3.0 1.3 0.6 1.1 0.2 1.5 0.9
[13] 1.3 4.5 1.2 1.1
\end{Soutput}
\end{Schunk}
el valor del estadístico $\sum x_i$ vale
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> sum(X)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 19.8
\end{Soutput}
\end{Schunk}
luego el P-valor $$P\left(\sum X_i>\sum x_i\;\middle|\;H_0\right)=P\left[\gamma(n,\lambda_0)>\sum x_i\right]$$ vale
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (pval <- 1 - pgamma (sum(X), n, landa0))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.1671028
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> pval < alfa # ¿rechazamos H0?
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] FALSE
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{Calcula tamaño de muestra para potencia}
Bajo la hipótesis de que $\lambda=\frac34\lambda_0$ se tiene que 
$\sum X_i\equiv\gamma\left(n,\frac34\lambda_0\right)$, luego
\begin{eqnarray*}
\text{potencia} &=& P\left(\text{R.C.}\;\middle|\;\lambda=\frac34\lambda_0\right)
= P\left(\sum X_i>k\;\middle|\;\lambda=\frac34\lambda_0\right)\\
  &=& P\left[\gamma\left(n,\frac34\lambda_0\right)>k\right]\\
\end{eqnarray*}
Se puede hacer una búsqueda del $n$ necesario para obtener la potencia deseada ($0.8$).
Se puede comprobar que con el tamaño muestral del enunciado, $n=16$, no es suficiente,
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> potMin <- 0.8
> landa1 <- 3/4 * landa0
> pot <- function (m) 
+     1 - pgamma(qgamma(1-alfa, m, landa0), 
+                m, landa1)
> n
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 16
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> pot(n)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.342771
\end{Soutput}
\end{Schunk}
así que buscaremos a partir de ahí.
Varias posibilidades:
\begin{itemize}
\item Búsqueda exhaustiva.  Podemos buscar
  \begin{itemize}
  \item hasta un valor fijo suficientemente grande, escogido a ojo:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> enes <- n:100
> (probs <- setNames (pot(enes), enes))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
       16        17        18        19        20 
0.3427710 0.3553391 0.3676914 0.3798345 0.3917742 
       21        22        23        24        25 
0.4035154 0.4150626 0.4264195 0.4375896 0.4485762 
       26        27        28        29        30 
0.4593821 0.4700101 0.4804626 0.4907421 0.5008508 
       31        32        33        34        35 
0.5107910 0.5205647 0.5301740 0.5396210 0.5489075 
       36        37        38        39        40 
0.5580355 0.5670070 0.5758238 0.5844879 0.5930009 
       41        42        43        44        45 
0.6013649 0.6095817 0.6176530 0.6255808 0.6333668 
       46        47        48        49        50 
0.6410128 0.6485208 0.6558924 0.6631295 0.6702339 
       51        52        53        54        55 
0.6772074 0.6840518 0.6907689 0.6973605 0.7038283 
       56        57        58        59        60 
0.7101741 0.7163996 0.7225067 0.7284971 0.7343725 
       61        62        63        64        65 
0.7401347 0.7457853 0.7513261 0.7567588 0.7620850 
       66        67        68        69        70 
0.7673065 0.7724248 0.7774418 0.7823589 0.7871779 
       71        72        73        74        75 
0.7919003 0.7965277 0.8010617 0.8055039 0.8098558 
       76        77        78        79        80 
0.8141190 0.8182950 0.8223853 0.8263914 0.8303147 
       81        82        83        84        85 
0.8341567 0.8379189 0.8416026 0.8452093 0.8487404 
       86        87        88        89        90 
0.8521972 0.8555811 0.8588935 0.8621355 0.8653086 
       91        92        93        94        95 
0.8684141 0.8714531 0.8744269 0.8773369 0.8801841 
       96        97        98        99       100 
0.8829698 0.8856951 0.8883613 0.8909694 0.8935206 
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> probs [probs > potMin] [1]
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
       73 
0.8010617 
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\item hasta obtener la potencia necesaria, y parar entonces:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> m <- n
> while (pot(m) < potMin) m <- m+1
> c (m, pot(m))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 73.0000000  0.8010617
\end{Soutput}
\end{Schunk}
  \end{itemize}
\item Mediante un algoritmo numérico. La función \texttt{uniroot} busca una raíz de su argumento en cierto intervalo.
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> fun <- function (m) pot(m) - potMin
> (sol <- uniroot (fun, c(n,1000))$root)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 72.76403
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> c(floor(sol), pot(floor(sol)))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 72.0000000  0.7965277
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> c(ceiling(sol), pot(ceiling(sol)))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 73.0000000  0.8010617
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{itemize}

\subsection{¿Qué cambiaría con $H_0\colon\lambda\ge\lambda_0$?}
Sea $\lambda>\lambda_0$.  Entonces
\newcommand{\prob}[1]{{P\left(#1\right)}}
\newcommand{\probcond}[2]{\prob{#1\;\middle|\;#2}}
\begin{eqnarray*}
\probcond{\text{R.C.}}{\lambda}
&=&\probcond{\sum X_i>k}{\lambda}=\prob{\gamma(n,\lambda)>k}=\prob{\gamma(n,1)>k\lambda}\\
  &<&\prob{\gamma(n,1)>k\lambda_0}=\prob{\gamma(n,\lambda_0)>k}=\probcond{\sum X_i>k}{\lambda_0}\\
  &=&\probcond{\text{R.C.}}{\lambda_0}=\alpha\\
  &\implies&\forall\lambda>\lambda_0,\quad\probcond{\text{R.C.}}{\lambda}\le\alpha
\end{eqnarray*}
Por tanto, la región crítica sería la misma que para $H_0\colon\lambda=\lambda_0$ 
y el contraste se resolvería de manera exactamente igual.
\end{document}
