\documentclass{article}

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\spanishdecimal{\raisebox{1.3ex}{,}}
\begin{document}
Sea $X$ una población con distribución gama $\gamma(p,a)$.  Sea el
contraste $H_0:(p,a)=(p_0,a_0)=(1,1)$ frente a
$H_0:(p,a)=(p_1,a_1)=(3,3)$.
\begin{itemize}
\item ¿Qué resultado esperas si se obtiene la realización muestral $\vec x=(1,1,1,1,1,1,1)$.
\item ¿Y si es $\vec x=(0.5,0.5,0.5,2,2,2,2)$?
\item Aplica el lema de Neiman y Pirson.
\end{itemize}
\bigskip\sffamily
Densidad: $$f(x,p,a)=\frac{a^p}{\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-ax}$$
Verosimilitud: $$L(\vec x,p,a)=\frac{a^{np}}{\Gamma(p)^n}\prod x_i^{p-1}e^{-a\sum x_i}$$
Cociente: $${\rm RV}=\frac{L(\vec x,p_1,a_1)}{L(\vec x,p_0,a_0)}={\rm cte.}\times\prod x_i^{p_1-p_0}e^{-\sum x_i(a_1-a_0)}$$
N-P: $${\rm RC} = \left[{\rm RV}>k\right]= \left[\prod X_i^{p_1-p_0}e^{-\sum X_i(a_1-a_0)}>k'\right]$$
Se aproxima $k$ mediante simulación:

\begin{verbatim}
kprima <- quantile (replicate (1e6, 
                       {x <- rgamma(n,p0,a0) ; 
                        prod(x)^(p1-p0)*exp(-(p1-p0)*sum(x))}), 
                    1-alfa)
\end{verbatim}
Otra forma:
\begin{verbatim}
L <- function (X, p, a) prod (dgamma (X, p, a))
L0 <- function (X) L(X,p0,a0)
L1 <- function (X) L(X,p1,a1)
RV <- function (X) L1(X) / L0(X)
k <- quantile (replicate (1e6, RV (rgamma (n, p0, a0))), 
               1-alfa)
\end{verbatim}
\end{document}
