\documentclass{article}

\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{Sweave}
\begin{document}
\section{Enunciado}
Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de Poisson($\lambda$)
de la que se tomó una muestra aleatoria simple de tamaño
$n=10$ para contrastar las hipótesis 
$H_0\colon\lambda=\lambda_0=2$ y
$H_1\colon\lambda=\lambda_1=4$ 
a nivel de significación $\alpha=0.05$.
\begin{enumerate}
\item Usa el lema de Neyman-Pearson para construir un contraste para
  esas hipótesis. Compara su tamaño y el nivel de significación.
\item Calcula el p-valor del contraste para la muestra 
  $(2, 1, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 2)$.
\item Construye un nuevo contraste cuyo tamaño coincida con el nivel
  de significación y calcula su potencia bajo $H_1$.
\item Simula por Montecarlo el tamaño de los dos contrastes.
\end{enumerate}
\section{Resolución}
\subsection{Contraste no aleatorizado de Neyman-Pearson}
Las funciones de verosimilitud son:
\begin{itemize}
\item bajo $H_0$: 
  $L_0(x_1,\dots,x_n)=e^{-n\lambda_0}\frac{\lambda_0^{\sum x_i}}{\prod x_i!}$
\item bajo $H_1$: 
  $L_1(x_1,\dots,x_n)=e^{-n\lambda_1}\frac{\lambda_1^{\sum x_i}}{\prod x_i!}$
\end{itemize}
La razón de verosimilitudes es:
\renewcommand{\(}{\left(}\renewcommand{\)}{\right)}
$$
\frac{L_1(x_1,\dots,x_n)}{L_0(x_1,\dots,x_n)}=
\frac{e^{-n\lambda_1}\frac{\lambda_1^{\sum x_i}}{\prod x_i!}}
{e^{-n\lambda_0}\frac{\lambda_0^{\sum x_i}}{\prod x_i!}}=
e^{-n(\lambda_1-\lambda_0)}\(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\)^{\sum x_i}
$$
La región crítica del contraste es:
\newcommand{\RC}[1]{\left\{\vec x\;\middle|\;#1\right\}}
\begin{eqnarray*}
  \RC{\frac{L_1(x_1,\dots,x_n)}{L_0(x_1,\dots,x_n)}>k}
  &=&\RC{e^{-n(\lambda_1-\lambda_0)}\(\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\)^{\sum x_i}>k}\\
  &=&\RC{\sum x_i>k_1}\subset C_0
\end{eqnarray*}
pues $4=\lambda_1>\lambda_0=2$.

El valor de $\lambda_1$ se calcula teniendo en cuenta el nivel de significación:
$$
\Pr\(\mbox{R.C.}\mid H_0\) = \Pr\(\sum x_i>k_1\mid H_0\)
=\Pr[\mbox{Poisson}(n\lambda_0)>k_1]
$$
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (k1 <- qpois (1-alfa, n*landa0))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 28
\end{Soutput}
\end{Schunk}

Teniendo en cuenta el resultado, se pueden plantear dos regiones críticas:
\renewcommand{\[}{\left[}\renewcommand{\]}{\right]}
$$
\mbox{R.C.1} = \[\sum X_i > 27\] \qquad
\mbox{R.C.2} = \[\sum X_i > 28\]
$$
cuyos tamaños son
\begin{itemize}
\item $\Pr\[\mbox{R.C.1}\mid H_0\]=\Pr\[\sum X_i > 27\mid H_0\]
  =\Pr\[\mbox{Poisson}(\lambda_0) > 27\]$
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
>       1 - ppois (k1-1, n*landa0)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.05248071
\end{Soutput}
\end{Schunk}
que sobrepasa el nivel de significación.
\item $\Pr\[\mbox{R.C.2}\mid H_0\]=\Pr\[\sum X_i > 28\mid H_0\]
  =\Pr\[\mbox{Poisson}(\lambda_0) > 28\]$
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
>     1 - ppois (k1, n*landa0)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.03433352
\end{Soutput}
\end{Schunk}
que cumple la condición asociada con $\alpha$.
\end{itemize}
Por tanto, el contraste elegido tiene como región crítica
$$
\[\sum X_i > 28\] = \[\sum X_i \ge 29\]
 = \[\sum X_i \ge 28.5\]= \[\sum X_i > 28.5\]
$$
\subsection{Potencia}
Es el contraste más potente para una significación de 
0,03433352
y su potencia vale
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
>     1 - ppois (k1, n*landa1)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.9706204
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{P-valor}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> X
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
 [1] 2 1 4 1 1 3 1 0 1 2
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> sum(X)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 16
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> 1 - ppois (sum(X)-1, n*landa0) # Pr[Poisson(n landa0) >= sum(X)]
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.8434869
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\subsection{Contraste aleatorizado de Neyman-Pearson}
El contraste anterior tiene un tamaño = 
0,03433352
estrictamente menor que
el nivel de signiﬁcación y lo que se pretende conseguir con un contraste
aleatorizado es que ambos coincidan.

Puesto que $\Pr\[\mbox{R.C.}\mid H_0\]<\alpha$ es necesario aumentar,
de alguna manera, la región crítica con muestras que sean mucho menos
verosímiles bajo $H_0$ que bajo $H_1$.  Las candidatas naturales para
ser incluidas en la nueva región crítica son las que están en la 
frontera, es decir, aquéllas que cumplen $\sum x_i=28$.

El problema es que, entonces, la probabilidad de la nueva región crítica 
sería mayor que $\alpha$.  Por eso se usa un procedimiento aleatorizado 
que da lugar a la siguiente región crítica:
$$
\mbox{R.C.a.} = \[\sum X_i>28\] \bigcup 
\[\sum X_i=28 \cap U<k_2\]
$$
donde $U$ es una variable Uniforme$(0,1)$ independiente de las $X_i$.

\begin{eqnarray*}
\Pr\[\mbox{R.C.a.}\mid H_0\] 
 &=&\Pr_{H_0}\(\[\sum X_i>28\] \bigcup \[\sum X_i=28 \cap U<k_2\]\)\\
 &=&\Pr_{H_0}\[\sum X_i>28\] +
     \Pr_{H_0}\[\sum X_i=28 \cap U<k_2\]\\
 &=&\Pr_{H_0}\[\sum X_i>28\] + 
     \Pr_{H_0}\[\sum X_i=28\]\Pr\[U<k_2\]\\
\Rightarrow\quad k2 = \Pr\[U<k_2\] 
  &=& \frac{\Pr\[\mbox{R.C.a.}\mid H_0\] - \Pr\[\sum X_i>28\mid H_0\]}
      {\Pr\[\sum X_i=28\mid H_0\]}\\
  &=& \frac{\alpha - \mbox{tamaño}}
      {\Pr\[\mbox{Poisson}(\lambda_0)=28\]}
\end{eqnarray*}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> tama <- 1 - ppois (k1, n*landa0)
> (k2 <- (alfa - tama) / dpois (k1, n*landa0))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.8633004
\end{Soutput}
\end{Schunk}
Las potencias de ambos contrastes serían:
\begin{itemize}
\item determinístico (calculada antes)
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> 1 - ppois (k1, n*landa1)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.9706204
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\item aleatorizado
$$
\Pr\[\mbox{R.C.a}\mid\lambda_1\]
=\Pr_{H_1}\[\sum X_i>28\] + 
     \Pr_{H_1}\[\sum X_i=28\]k_2
$$
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> 1-ppois(k1,n*landa1) + dpois(k1,n*landa1)*k2
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.9792885
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{itemize}
\subsection{Simulación}
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> rechazos <- replicate (1e5,
+ {
+     X <- rpois (n, landa0)
+     suma <- sum(X)
+     c (deter = suma > k1,
+        aleat = (suma > k1) + (suma == k1) * (runif(1) < k2))
+ })
> apply (rechazos, 1, mean)   # tamaños simulados
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
  deter   aleat 
0.03430 0.04994 
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> c (deter=tama, aleat=alfa)  # tamaños teóricos
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
     deter      aleat 
0.03433352 0.05000000 
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{document}
