\documentclass{article}
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}{Definición}
\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newcommand{\contraste}[2]{
  \begin{array}{ll}
    H_0\colon&{#1}\\H_1\colon&{#2}
  \end{array}
}
\renewcommand{\(}{\left(}
\renewcommand{\)}{\right)}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\newcommand{\conjuntoc}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}}
\newcommand{\RC}[1]{\conjuntoc{\vec x}{#1}}
\newcommand{\funcion}[2]{#1\left(#2\right)}
\newcommand{\funcionc}[3]{#1\left(#2\;\middle|\;#3\right)}
\newcommand{\uno}[1]{\funcion{\mathds{1}}{#1}}
\newcommand{\sigue}{\mathbin{\hookrightarrow}}
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\newcommand{\distdos}[3]{#1\left(#2,#3\right)}
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\newcommand{\pot}[1]{\funcion{\text{Pot}}{#1}}
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\begin{document}
\title{Contrastes unilaterales}
\maketitle
\begin{definicion}
  Un contraste \emph{unilateral} es un contraste del tipo:
  \begin{displaymath}
    \contraste{\theta\le\theta_0}{\theta>\theta_0}
    \qquad
    \contraste{\theta\ge\theta_0}{\theta<\theta_0}
  \end{displaymath}
\end{definicion}
Para obtener un resultado similar al del lema de Neyman y Pearson,
la familia de distribuciones ha de cumplir ciertas hipótesis.
\begin{definicion}
  Sea una familia de distribuciones $F_{\theta}$, con $\theta\in\Theta\subset\mathds{R}$.
  Sea $T$ un estadígrafo unidimensional.  Si para cada par $\theta_1<\theta_2$ se cumple
  que $\frac{f_{\theta_2}(\vec x)}{f_{\theta_1}(\vec x)}$ es una función no decreciente de
  $T$ en $\{\vec x\mid {f_{\theta_2}(\vec x)}+{f_{\theta_1}(\vec x)}>0\}$, entonces se dice
  que la familia tiene \emph{razón de verosimilitud monótona en $T$}.
\end{definicion}
En la definición anterior, si el denominador es cero se considera que el cociente vale
$+\infty$.
\begin{ejemplo}
  Sea $X\sigue\unif{0}{\theta}$ y sean $0<\theta_1<\theta_2$.
  Entonces
  $$
  \fc{\vec x}{\theta}=\frac1{\theta^n}\cdot\uno{x_{(n)}<\theta}
  $$
  y
  $$
  \frac{\fc{\vec x}{\theta_2}}{\fc{\vec x}{\theta_1}}
  = \(\frac{\theta_1}{\theta_2}\)^n\frac{\uno{x_{(n)}<\theta_2}}{\uno{x_{(n)}<\theta_1}}=
  \begin{cases}
   \(\frac{\theta_1}{\theta_2}\)^n & x_{(n)}<\theta_1 \\
   +\infty & x_{(n)}>\theta_1 
  \end{cases}
  $$
  luego la familia $\unif{0}{\theta}$ tiene razón de verosimilitud monótona en $X_{(n)}$.
\end{ejemplo}
\begin{teorema}
  Si la familia $F_\theta$ pertenece a su vez a la familia exponencial uniparamétrica,
  $$
  \fc{\vec x}{\theta} = c(\theta)h(\vec x)\exp[Q(\theta)T(\vec x)]
  $$
  y $Q$ es creciente, entonces tiene razón de verosimilitud monótona en $T$.
\end{teorema}
\begin{proof}[Demostración]
  Dados $\theta_1<\theta_2$ se tiene que
  $$
  \frac{\fc{\vec x}{\theta_2}}{\fc{\vec x}{\theta_1}}
  =\frac{c(\theta_2)}{c(\theta_1)}\exp[\{Q(\theta_2)-Q(\theta_1)\}T(\vec x)]
  $$
  y, por ser $Q$ creciente, $\frac{\fc{\vec x}{\theta_2}}{\fc{\vec x}{\theta_1}}$ es
  no decreciente en $T$.
\end{proof}
\begin{teorema}[de Karlin-Rubin]
  Sea una familia de distribuciones $F_{\theta}$, $\theta\in\Theta\subset\mathds{R}$,
  con razón de verosimilitud monótona en $T$.  Entonces
  \begin{enumerate}
  \item Un contraste
    $$
    \varphi(\vec x) =
    \begin{cases}
      1 & T(\vec x)>c\\
      \gamma & T(\vec x)=c\\
      0 & T(\vec x)<c
    \end{cases}
    $$
    para contrastar
    $$
    \contraste{\theta\le\theta_0}{\theta>\theta_0}
    $$
    tiene función de potencia estrictamente creciente cuando $0<\pot{\theta}<1$.
  \item $\forall\,\alpha\in(0,1)$ $\exists\,\varphi$ de la forma anterior
    con tamaño $\Ec{\varphi}{\theta_0}=\alpha$ y uniformemente de máxima potencia.
  \item $\forall\,\varphi'$ con $\Ec{\varphi'}{\theta_0}=\alpha$ se cumple que
    $\forall\,\theta\le\theta_0$ $\Ec{\varphi}{\theta}\leq \Ec{\varphi'}{\theta}$.
  \end{enumerate}
  Análogamente, se tendría un resultado simétrico para los contrastes unilaterales
  en sentido contrario,
  $$
  \contraste{\theta\ge\theta_0}{\theta<\theta_0}
  $$
\end{teorema}
\begin{proof}[Demostración]
  Se hará sólo para el contraste 
  $$
  \contraste{\theta\le\theta_0}{\theta>\theta_0}
  $$
  \begin{enumerate}
  \item Sean $\theta_1<\theta_2$ dos valores del parámetro.
    Tenemos que ver que $\pot{\theta_1}\le\pot{\theta_2}$.

    Por el lema de Neyman-Pearson
    $$
    \varphi(\vec x) =
    \begin{cases}
      1 & \fc{\vec x}{\theta_2} > k \fc{\vec x}{\theta_1}\\
      \gamma(\vec x) & \fc{\vec x}{\theta_2} = k \fc{\vec x}{\theta_1}\\
      0 & \fc{\vec x}{\theta_2} < k \fc{\vec x}{\theta_1}
    \end{cases}
    $$
    es un contraste de máxima potencia para
    $$
    \contraste{\theta=\theta_1}{\theta=\theta_2}
    $$
    y tiene tamaño $\Ec{\varphi}{\theta_1}=\alpha_1$.  Como la distribución es de
    razón de verosimilitud monótona, entonces $\frac {\fc{\vec x}{\theta_2}}
    {\fc{\vec x}{\theta_1}}$ es creciente en $T$ y uno de los posibles contrastes
    con esa forma sería:
    $$
    \varphi(\vec x) =
    \begin{cases}
      1 & T(\vec x)>c\\
      \gamma & T(\vec x)=c\\
      0 & T(\vec x)<c
    \end{cases}
    $$
    Considérese el contraste constante $\varphi_1(\vec x)=\alpha_1\,\forall\,\vec x$.
    Su esperanza es $\alpha_1$ para cualquier $\theta$ y, en concreto, para $\theta_1$:
    $$
    \Ec{\varphi_1}{\theta_1} = \alpha_1
    $$
    Así
    $$
    \Pot{\varphi}{\theta_1} = \Ec{\varphi}{\theta_1} = \alpha_1 =
    \Ec{\varphi_1}{\theta_2}\leq\Ec{\varphi}{\theta_2}= \Pot{\varphi}{\theta_2}
    $$
    la función potencia es no decreciente.

    Si la desigualdad no fuera estricta, $\varphi$ y $\varphi_1$ tendrían la misma
    potencia, pero $\varphi$ no es de la forma indicada por el lema de Neyman-Pearson
    y estamos suponiendo que $0<\pot{\theta}<1$.
    Por tanto
    $$
    \Pot{\varphi}{\theta_1}<\Pot{\varphi}{\theta_2}
    $$
  \item Sea $0<\alpha<1$.  Por el lema de Neyman-Pearson existe un
    contraste $\varphi$ con la forma dada en el apartado anterior y
    con tamaño $\Ec{\varphi}{\theta_0}=\alpha$.  Como la función de
    potencia es creciente,
    $$
    \forall\,\theta\le\theta_0,\quad
    \Pot{\varphi}{\theta}\le
    \Pot{\varphi}{\theta_0}=\Ec{\varphi}{\theta_0}=\alpha
    $$
    luego $\varphi$ tiene tamaño $\alpha$.

    Sea $\theta_1>\theta_0$. Por el lema Neyman-Pearson $\varphi$ es de máxima potencia
    para contrastar
    $$
    \contraste{\theta=\theta_0}{\theta=\theta_1}
    $$
    luego para cualquier otro contraste $\varphi'$ con nivel de significación $\alpha$,
    $$
    \forall\,\theta_1>\theta_0,\quad\Ec{\varphi'}{\theta_1}\le\Ec{\varphi}{\theta_1}
    $$
    luego $\varphi$ es uniformente más potente.
  \item Considérese ahora $\theta_2<\theta_0$.  Al contrastar
    $$
    \contraste{\theta=\theta_0}{\theta=\theta_2}
    $$
    el lema de Neyman-Pearson muestra que $1-\varphi$ es el más potente de tamaño $1-\alpha$, pues:
    \begin{itemize}
    \item Existe un contraste $\varphi^*$ de máxima potencia, de la forma
      $$
      \varphi^*(\vec x)=
      \begin{cases}
        1&\frac{L(\vec x,\theta_2)}{L(\vec x,\theta_0)}>k\\[1ex]
        \gamma^*&\frac{L(\vec x,\theta_2)}{L(\vec x,\theta_0)}=k\\[1ex]
        0&\frac{L(\vec x,\theta_2)}{L(\vec x,\theta_0)}<k\\
      \end{cases}
      $$
    \item 
      Como $X$ es de razón de verosimilitud monótona en $T$
      y $\theta_2<\theta_0$, 
      $\frac{L(\vec x,\theta_2)}{L(\vec x,\theta_0)}$ es decreciente en $T$ y
      el contraste anterior puede escribirse
      $$
      \varphi^*(\vec x)=
      \begin{cases}
        1&T(\vec x)<k^*\\[1ex]
        \gamma^{**}&T(\vec x)=k^*\\[1ex]
        0&T(\vec x)>k^*\\
      \end{cases}
      $$
    \item Considerar ahora el contraste
      $$1-\varphi(\vec{x}) =\left\{
        \begin{array}{lll}
          0 & \text{si}& T(\vec{x})>c\\
          1-\gamma & \text{si} & T(\vec{x})=c\\
          1 & \text{si}& T(\vec{x})<c
        \end{array}
      \right. $$
    \item 
      Este contraste $1-\varphi$ es de la misma forma que $\varphi^*$, luego por N\&P
      es de máxima potencia entre los de su tamaño.  Su tamaño es
      $$
      E_{\theta_0}(1-\varphi)=1-E_{\theta_0}(\varphi)=1-\alpha
      $$
    \end{itemize}

    Sea otro contraste $\varphi '$ con $\Ec{\varphi'}{\theta_0}=\alpha$.
    Entonces $1-\varphi'$ cumple que $\Ec{1-\varphi'}{\theta_0}=1-\alpha$ y
    $$
    \forall\,\theta<\theta_0,\quad
    1-\Ec{\varphi'}{\theta}=
    \Ec{1-\varphi'}{\theta}\le \Ec{1-\varphi}{\theta}=
    1-\Ec{\varphi}{\theta}
    $$
    luego $\Ec{\varphi}{\theta}\le\Ec{\varphi'}{\theta}$ para todo $\theta\le\theta_0$.
  \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{ejemplo}
  Sea $X\sigue\expo{\lambda}$ y el contraste
  $$
  \contraste{\lambda\le2}{\lambda>2}
  $$
  Hay razón de verosimilitud monótona en $T=-\sum X_i$ porque
  $$
  \lambda_1<\lambda_2\implies
  \frac{\fc{\vec x}{\lambda_2}}{\fc{\vec x}{\lambda_1}}
  =\(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\)^n e^{-\sum x_i (\lambda_2-\lambda_1)}
  $$
  es creciente en $-\sum x_i$.  Por tanto, un contraste óptimo sería
  $$
  \varphi(\vec x) =
  \begin{cases}
    1 & -\sum x_i > c \equiv \sum x_i < c\\
    0 & -\sum x_i < c \equiv \sum x_i > c
  \end{cases}
  $$
  ya que el caso $\sum x_i = c$ tiene probabilidad $0$ porque
  $\sum X_i\sigue\gama{n}{\lambda}$ es continua.
  La región crítica sería
  $$
  \text{R.C.}=\RC{\sum x_i < \text{\texttt{qgamma($\alpha$,$n$,2)}}}
  $$
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}
  Sea $X\sigue\bernuli{p}$ y el contraste
  $$
  \contraste{p\le0.2}{p>0.2}
  $$
  Como
  $$
  p_1<p_2\implies\frac{\fc{\vec x}{p_2}}{\fc{\vec x}{p_1}}=
  \(\frac{p_2}{p_1}\frac{1-p_1}{1-p_2}\)^{\sum x_i}
  \(\frac{1-p_2}{1-p_1}\)^n\text{es creciente en $\sum x_i$}
  $$
  pues $\frac{p_2}{p_1}>1$ y
  $\frac{1-p_1}{1-p_2}>1$, entonces
  hay razón de verosimilitud monótona en $T=\sum X_i$.

  Según Karlin-Rubin, un contraste óptimo sería
  $$
  \varphi(\vec x) =
  \begin{cases}
    1 & \sum x_i > c\\
    \gamma & \sum x_i = c\\
    0 & \sum x_i < c
  \end{cases}
  $$
  con $c$ y $\gamma$ calculados para que $\Ec{\varphi}{p=0.2}=\alpha$.
  Por ejemplo, si $\alpha=0.05$ y disponemos de una muestra de tamaño $5$,
  $$
  T=\sum X_i\sigue\binomial{5}{p}
  \implies
  \left\{
    \begin{array}{l}
      \Pr[T>3]=\text{\texttt{1-pbinom(3,5,0.2)}}=0.00672\\
      \Pr[T>2]=\text{\texttt{1-pbinom(2,5,0.2)}}=0.05792\\
      \Pr[T=3]=\text{\texttt{dbinom(3,5,0.2)}}=0.0512\\
    \end{array}
  \right.
  $$
  luego $c=3$ y
  $$
  0.05=\Ec{\varphi}{p=0.2}=\Pr[T>3]+\gamma\Pr[T=3]
  $$
  $$
  \gamma=\frac{0.05-\Pr[T>3]}{\Pr[T=3]}=0.8453125
  $$
  Así, $\varphi$ sería el contraste aleatorizado uniformemente más potente,
  y no habría un contraste determinístico óptimo a nivel $\alpha$.
\end{ejemplo}
\end{document}
