\documentclass[final]{article}
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\usepackage{url}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definicion}{Definición}
\newtheorem{teorema}{Teorema}
\newtheorem{ejemplo}{Ejemplo}
\renewcommand{\(}{\left(}  \renewcommand{\)}{\right)}
\title{Test de la razón de verosimilitudes}
\begin{document}
\maketitle
Como en la situación general no existe el test UMP, es interesante
disponer de métodos de contraste basados en principios razonables que
permitan diseñar test adecuados en cualquier circunstancia. El más
importante de estos métodos es el de la razón de verosimilitudes, que
coincide con el de Neyman-Pearson para hipótesis simples y que guarda
una estrecha relación con el principio de máxima verosimilitud.
\begin{definicion}
  Sea $X$ una variable aleatoria con distribución perteneciente a una familia
  $\{F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^k\}$. El
  estadístico de la razón de verosimilitudes para el contraste
  $H_0: \theta \in \Theta_0$ frente a
  $H_1: \theta \in \Theta \smallsetminus \Theta_0$ se define como:
  $$
  \Lambda_n(\vec{x})=
  \frac{\sup_{\theta \in \Theta_0}L(\vec{x},\theta)}{\sup_{\theta \in \Theta}L(\vec{x},\theta)}=
  \frac{\sup_{\theta \in \Theta_0}L(\vec{x},\theta)}{L(\vec{x},\hat\theta_\text{MV})}
  $$
  que verifica por su definición $0 \leq \Lambda \leq 1$.
\end{definicion}
\begin{definicion}
  El test de razón de verosimilitudes para el contraste
  $H_0: \theta \in \Theta_0$ frente a
  $H_1: \theta \in \Theta \smallsetminus\Theta_0$ se define como:
  $$
  \varphi(\vec{x}) =
  \left\{  \
    \begin{array}{lll}
      1 &\text{si}& \Lambda(\vec{x})  < c\\
      \gamma(\vec{x}) & \text{si} & \Lambda(\vec{x}) =c\\
      0 & \text{si} & \Lambda (\vec{x}) > c\end{array}\right. $$ \noindent con $c
  \in (0,1)$ y $\gamma$ tales que para un nivel de significación
  $\alpha$ verifiquen que
  $$\sup_{\theta \in \Theta_0}E_{\theta}(\varphi)=\alpha$$
\end{definicion}

\begin{ejemplo}\label{ejemploExpBilat}
  Sea $X \equiv \text{Exp}(\lambda)$. Se considera el contraste
  $H_0: \lambda=3$ frente a $H_1:\lambda \ne 3 $.
  Estadístico de la razón de verosimilitudes:
  $$
  \Lambda(\vec{x})=
  \frac{f_{3}(x_1,\ldots,x_n)}{\sup_{\lambda>0}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}=
  \frac{f_{3}(\vec{x})}{f_{1/\bar{x}}(\vec{x})}=
  (3 \bar{x})^n \exp[-n(3\bar{x}-1)]=g(3\bar{x})
  $$

  La función $g(y)=y^n\cdot e^{-ny}$ tiene derivada
  $$
  g'(y)=ny^{n-1}e^{-ny}-y^ne^{-ny}n = \underbrace{ny^{n-1}e^{-ny}}_{>0}(1-y)
  $$
  luego $\Lambda$ crece si $3\bar x<1$ y decrece si no. En concreto, si  
  $n=15$ la gráfica del estadístico de la RV en función de $3\bar{x}$ es:
  \begin{center}
    \includegraphics [width=8 cm]{trvexp.pdf}
  \end{center}
  obtenible por ejemplo así:
\begin{verbatim}
n <- 15
Landa <- function (x3) x3^n * exp(-n*(x3-1))
plot (Landa, 0, 3)
\end{verbatim}

Para buscar el valor de $c$ se puede proceder así:
  \begin{eqnarray*}
    X \stackrel{H_0}{\equiv} \text{Exp}(3)
    &\implies& \sum_{i=1}^{15} X_i \stackrel{H_0}{\equiv} \gamma(15;3)\\
    &\implies& \bar X \stackrel{H_0}{\equiv} \gamma(15;45)\\
    &\implies& 3\bar X \stackrel{H_0}{\equiv} \gamma(15;15)\\
    &\implies& 1-\alpha=\Pr [\Lambda > c] = \Pr [a  < \gamma(15;15) < b]
  \end{eqnarray*}
  Llegados aquí, podría pensarse en tomar dos colas $(-\infty,a]$ y
  $[b,\infty)$
  de probabilidades $\frac\alpha2$ cada una:
  \begin{verbatim}
  qgamma (c(alfa/2,1-alfa/2), 15, 15)
  \end{verbatim}
  Por ejemplo, para $\alpha=0.05$:
  \begin{verbatim}
  0.5596924 1.5659747
\end{verbatim}
  
  Por otro lado, para hacerlo con rigor haría falta obtener el valor
  de $c$.  Dado un valor $c$, se obtendrían $a$ y $b$ así:
\begin{verbatim}
argmax <- optimize (Landa, c(0,3), maximum=TRUE) $ maximum
a <- uniroot (function (x) Landa(x)-c, c(0,argmax)) $ root
b <- uniroot (function (x) Landa(x)-c, c(argmax,3)) $ root
\end{verbatim}
  luego la búsqueda de un $c$ óptimo para cierto $\alpha$ podría ser:
\begin{verbatim}
prob <- function (c)
{
  a <- uniroot (function (x) Landa(x)-c, c(0,argmax)) $ root
  b <- uniroot (function (x) Landa(x)-c, c(argmax,3)) $ root
  1 - diff (pgamma (c(a,b), 15, 15))
}
cOptimo <- uniroot(function (c) prob(c)-alfa, c(0.01,0.99))$root
\end{verbatim}
  
  Si $\alpha=0.05$, entonces el test de la RV se obtiene con
  $c=0.1434$.  Para calcular su RC hacen falta
\begin{verbatim}
aOptimo <- uniroot(function(x)Landa(x)-cOptimo,c(0,argmax))$root
bOptimo <- uniroot(function(x)Landa(x)-cOptimo,c(argmax,3))$root
\end{verbatim}
  y se obtiene
  $$
  \text{RC}=\{ \vec{x} \mid 3\bar{x}<  0.5735\} \cup
  \{ \vec{x} \mid 3\bar{x}> 1.5986\}
  $$

  %% pdf("trvexp.pdf")
  %% plot (Landa, 0, 3, xlab=expression(3%.%bar(X)), ylab=expression(Lambda==L(x[1],...,x[n],lambda==3)
  %%                                                           %/%L(x[1],...,x[n],lambda==1/bar(x))))
  %% lines(c(aOptimo,aOptimo,bOptimo,bOptimo),c(0,cOptimo,cOptimo,0),col=2)
  %% dev.off()
  
  %% plot (Landa, 0, 3, xlab=expression(3%.%bar(X)),
  %% ylab=expression(Lambda==paste(plain(sup)[theta %in% Theta[0]],L(x[1],...,x[n],theta))%/%
  %% paste(plain(sup)[lambda %in% bold(R)["+"]],L(x[1],...,x[n],theta))))
  
  Otra forma de obtener una aproximación de $c$ usa el método de Montecarlo:
\begin{verbatim}
distroRV <- Landa (rgamma (1e7, 15, 15))
cOptimo <- quantile (distroRV, alfa)
\end{verbatim}

  Si se dispone de una muestra, se puede calcular directamente el P-valor sin
  necesidad de buscar explícitamente la RC.  Por ejemplo, sea la muestra
\begin{verbatim}
X <- c (0.10518, 0.09668, 0.16034, 0.08352, 0.62414, 0.17303, 
        0.02056, 0.24611, 0.05616, 0.16425, 0.35605, 0.26343, 
        0.19961, 0.04536, 0.00634)
## usando Montecarlo
LandaX <- Landa (3 * mean(X))
prob (LandaX) # aproximación numérica
mean (distroRV < LandaX) # P-valor = 0.0232
## usando distribución exacta de 3media = gamma(15;15)
## suponiendo dos colas equiprobables
2 * min (p <- pgamma(3*mean(X), 15, 15), 1-p) # P-valor = 0.0283
## buscando c
c = Landa(3*mean(X))
a <- uniroot(function (x) Landa(x)-c, c(0,1))$root # a = 3mediaX
b <- uniroot(function (x) Landa(x)-c, c(1,3))$root
pgamma(a,15,15) + 1-pgamma(b,15,15) # P-valor = 0.02315864
\end{verbatim}
\end{ejemplo}
\begin{ejemplo}
  Considerando una versión unilateral del ejemplo anterior,
  $$H_0: \lambda\le3\qquad H_1:\lambda>3 $$
  el estadístico de razón de verosimilitudes sería
  $$
  \Lambda(\vec{x})=
  \frac{\sup_{\lambda\le3}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}
  {\sup_{\lambda>0}f_{\lambda}(x_1,\ldots,x_n)}={}$$
  $$
  =
  \left\{
    \begin{array}{ll}
      \frac{f_{3}(\vec{x})}{f_{1/\bar{x}}(\vec{x})}
      =(3 \bar{x})^n \exp[-n(3\bar{x}-1)]=g(3\bar{x}),
      &   \hat\theta_{\rm MV}>3\;\Leftrightarrow\;3\bar x < 1 \\     
      1, & \hat\theta_{\rm MV}\le3\;\Leftrightarrow\;3\bar x\ge1
    \end{array}
  \right.
  $$
  con región crítica R.C. = $[3\bar X < a]$ con
  $\alpha = \Pr[\mbox{R.C.}\mid H_0] = \Pr[\gamma(n,n)<a]$.
  Para $n=15$ y $\alpha=0.05$,
  $a=\mbox{\tt qgamma(0.05,15,15)}=0.6164$.
\end{ejemplo}

\begin{verbatim}
Landa1 <- function (x3) ifelse (x3 < 1, Landa(x3), 1)
plot (Landa1, 0, 3)
\end{verbatim}

    % pdf("trvexpuni.pdf")
    % plot (Landa1, 0, 3, xlab=expression(3%.%bar(X)),
    % ylab=expression(Lambda==
    %    paste(plain(sup)[lambda <= 3],L(x[1],...,x[n],lambda))
    %                       %/%L(x[1],...,x[n],lambda==1/bar(x))))
    % a <- qgamma(0.05,15,15)
    % c <- Landa1(a)   
    % lines(c(0,a,a),c(c,c,0),col=2)
    % text(c(0.01,a), c(c,0.01), c("c","a"), col=2, pos=c(2,1))
    % dev.off()
\begin{center}
 \includegraphics [width=8 cm]{trvexpuni.pdf}
\end{center}



\bigskip
El test de la razón de verosimilitudes es función de cualquier
estadístico suficiente y con frecuencia se puede expresar en términos
de estadísticos sencillos con distribución conocida; en caso contrario
puede resultar complicado calcular la distribución de $\Lambda$,
siendo necesario recurrir a distribuciones asintóticas, que bajo
condiciones de regularidad son conocidas; otra dificultad con la que nos
podemos encontrar es la búsqueda de supremos para el cálculo del
estadístico $\Lambda$.
\begin{teorema}
  Sea $X$ una variable aleatoria con función de distribución
  $F_\theta$, con $\theta \in \Theta\subset \mathbb{R}$, que verifica
  las condiciones de regularidad\footnote{Vistas en el tema sobre estimación puntual:
    \begin{itemize}
    \item $\theta\neq\theta'$ $\Longrightarrow$ $F_\theta\neq F_{\theta'}$
    \item el soporte $\{x\mid f(x,\theta)>0\}$ no depende de $\theta$
    \item $\theta_0$ pertenece a un intervalo abierto de $\Theta$
    \item $f(x,\theta)$ es derivable dos veces respecto a $\theta$
    \item las integrales $\int\left|\frac{\partial^i}{\partial\theta^i}f(\vec x,\theta)\right|dx$ son finitas para $i\in\{1;2\}$
    \end{itemize}
  } necesarias para la existencia de
  solución única de la ecuación de verosimilitud, $\hat{\theta}$,
  y convergencia asintótica del E.M.V.:
  $\sqrt{n} ( \hat{\theta}_n - \theta )\, \stackrel {\cal
    L}{\longrightarrow} \, N ( 0, \sqrt{I(\theta)^{-1}} \,)$,
  donde $I(\theta)=E\left[\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_X(X,\theta)\right)^2\right]=
  E\left[-\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_X(X,\theta)\right]$ es la información
  de Fisher sobre $\theta$ aportada por una observación de $X$.

  El estadístico de la razón de verosimilitudes para el contraste
  $H_0: \theta =\theta_0$ frente $H_1: \theta \neq \theta_0$ verifica:
  $$-2 \ln \Lambda_n
  = -2\ln\frac{L(\vec x_n,\theta_0)}{L(\vec x_n,\hat\theta_{n})}
  \quad\xrightarrow[H_0]{\cal L}\quad \chi_1^2  $$
\end{teorema}

\begin{proof}[Demostración]
  Aplicando el desarrollo de Taylor a
  $l(\vec x_n,\theta)= \ln L(\vec x_n,\theta)$,
  considerada como función de $\theta$, en torno a
  $\hat{\theta}_n$ se tiene que:
  $$
  l(\vec x_n,\theta)=l(\vec x_n,\hat{\theta}_n)+
  (\theta-\hat{\theta}_n)
  \underbrace{\frac{\partial}{\partial \theta} l(\vec x_n,\theta)|_{\hat{\theta}_n}}_{=0}
  {}+\frac{1}{2}\,(\theta-\hat{\theta}_n)^2
  \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}  l(\vec x_n,\theta)|_ {\theta^*_n}
  $$
  con $ |\theta^*_n - \theta | < |\hat{\theta}_n - \theta|$.
  Valorando el anterior desarrollo en el punto $\theta_0$ y operando
  se tiene:
  $$
  -2\ln\Lambda_n = -2 [l(\vec x_n,\theta_0)- l(\vec x_n,\hat{\theta}_n)] =
  -(\theta_0-\hat{\theta}_n)^2 \,
  \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}  l(\vec x_n,\theta)|_{\theta^*_n}
  $$
  Multiplicando y dividiendo por $nI(\theta_0)$,
  $$
  -2\ln\Lambda_n= n I(\theta_0)\,(\theta_0-\hat{\theta}_n)^2  \;
  \frac{-\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
    l(\vec x_n,\theta)|_{\theta^*_n} }{n \, I(\theta_0)}
  $$

  Cuando $H_0$ es cierta, bajo las condiciones de regularidad sabemos
  que se verifica:
  $$
  \sqrt{n I(\theta_0)} (\hat{\theta}_n-\theta_0)\;
  \stackrel {\mathcal L}{\longrightarrow}\;N ( 0,1) \quad \Rightarrow
  \quad  n I(\theta_0)(\hat{\theta}_n-\theta_0)^2\;
  \stackrel {\mathcal L}{\longrightarrow}\;\chi_1^2
  $$
  por el teorema de Mann-Wald\footnote{Teorema de Henry Mann y
    Abraham Wald, o del mapeo continuo: $X_n\rightarrow X$, $g$ continua,
    $\Rightarrow$ $g(X_n)\rightarrow g(X)$, sea en ley, probabilidad o casi
  seguro.},
  y además
  $$
  \hat{\theta}_n \, \stackrel {\text{c.s.}}{\longrightarrow}  \,
  \theta_0 \quad \Rightarrow \quad \theta^*_n \, \stackrel {\text{c.s.}}{\longrightarrow}  \, \theta_0
  $$
  
  Por otro lado, por la ley fuerte de los grandes números se tiene
  que
  $$
  \frac{1}{n}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} l(\vec X_n,\theta)|_{\theta^*}
  =
  \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n
  \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\, l(X_i,\theta)|_{\theta^*}\;
  \stackrel {\text{c.s.}}{\longrightarrow}\;
  E_{\theta_0 }
  \left[\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}l(X,\theta)\right]=-I(\theta_0)
  $$

  Aplicando el teorema de Slutski\footnote{Si $X_n\xrightarrow{\mathcal L}X$
  y $Y_n\xrightarrow{\mathcal L}c$, entonces $X_nY_n\xrightarrow{\mathcal L}cX$.  Recuérdese que $Y_n\xrightarrow{\mathcal L}c$ $\implies$ $Y_n\xrightarrow{\Pr}c$.},
  si $H_0$ es cierta
  $$ -2\ln\Lambda_n \stackrel { \cal L}{\longrightarrow}  \,\chi_1^2$$
\end{proof}
\begin{ejemplo}
  Continuando el ejemplo \ref{ejemploExpBilat} (pág.\ \pageref{ejemploExpBilat}),
\begin{verbatim}
alfa <- 0.05
## RC = [-2 ln Landa > k]   con   -2 ln Landa = ji2(1gl)
k <- qchisq(1-alfa, 1) # 3.841459
n <- 15
Landa <- function (x3) x3^n * exp(-n*(x3-1))
X <- c (0.10518, 0.09668, 0.16034, 0.08352, 0.62414, 0.17303, 
        0.02056, 0.24611, 0.05616, 0.16425, 0.35605, 0.26343, 
        0.19961, 0.04536, 0.00634)
menos2lnLandaX <- -2 * log (Landa (3 * mean (X)))
menos2lnLandaX > k           # TRUE => rechazamos H0
1-pchisq(menos2lnLandaX,1)   # 0.02241106 p-valor aproximado
\end{verbatim}
\end{ejemplo}
\bigskip
Vamos a ver a continuación otras situaciones en las que se dispone de
resultados asintóticos del TRV para contrastar
$H_0: \theta = \theta_0$ frente a $H_1: \theta \neq \theta_0$ con
$\theta \in \Theta \subset \mathbb{R}^k $ bajo ciertas condiciones de
regularidad.

Un resultado análogo se obtiene en el caso $k$-paramétrico:
\begin{teorema}
  Sea $X$ una v.a. con distribución perteneciente a una familia
  $F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \R^k $. Bajo condiciones de
  regularidad, el TRV para contrastar $H_0: \theta = \theta_0$ frente
  a $H_1: \theta \neq \theta_0$ verifica que
  $$-2\ln \Lambda(\vec{x}) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \chi^2_k\quad\mbox{bajo $H_0$}$$
\end{teorema}
% \begin{proof}[Demostración]
%   La demostración es análoga al caso unidimensional pero trabajando
%   con la distribución asintótica del EMV, en este caso normal
%   $k$-dimensional.
% \end{proof}

\bigskip A su vez el resultado anterior puede generalizarse a través del
siguiente teorema:
\begin{teorema}
  Sea $X$ una v.a. con distribución perteneciente a una familia
  $F_{\theta},\,\theta \in \Theta \subset \R^k $. Consideramos
  $\Theta_0 $ un abierto de dimensión $p$.

  Bajo condiciones de regularidad, para realizar el contraste
  $H_0: \theta \in \Theta _0$ frente a $H_1: \theta \notin \Theta _0$,
  se verifica que
  $$
  -2\ln \Lambda(\vec{x}) \stackrel{\cal L}{\rightarrow} \chi^2_{k-p}\quad\mbox{bajo $H_0$}
  $$
\end{teorema}
\begin{ejemplo}
  Sea $X \equiv N(\mu,\sigma)$ y $\vec X=(X_1,\dots,X_n)$ una muestra suya.
  Aplicar el TRV al contraste $H_0\colon\mu=\mu_0$, $H_1\colon\mu\neq\mu_0$.
  \bigskip
  $$
  f(x\mid\mu,\sigma)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  $$

  $$
  L(\vec x\mid\mu,\sigma)=\(\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\)^ne^{-\frac{\sum(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  $$

  $$
  \Lambda = \frac{\sup_{\sigma} L(\vec x\mid\mu_0,\sigma)}{\sup_{\mu,\sigma} L(\vec x\mid\mu,\sigma)}
  $$
  
  $$
  \sup_{\mu,\sigma} L(\vec x\mid\mu,\sigma) = L(\vec x\mid \mu=\hat\mu_{\text{MV}}=\bar x,\sigma=\hat\sigma_{\text{MV}}=s)
  $$

  $$
  \sup_{\sigma} L(\vec x\mid\mu_0,\sigma) = L(\vec x\mid \mu=\mu_0,\sigma=s_0)
  $$
  siendo
  $$
  s^2=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}n
  \qquad
  s_0^2=\frac{\sum(x_i-\mu_0)^2}n
  $$

  \begin{eqnarray*}
    \Lambda
    &=& \frac
    {\(\frac1{\sqrt{2\pi s_0^2}}\)^ne^{-\frac{\sum(x_i-\mu_0)^2}{2s_0^2}}}
    {\(\frac1{\sqrt{2\pi s^2}}\)^ne^{-\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{2s^2}}}
    =
    \(\frac{s^2}{s_0^2}\)^{\frac n2} \frac{e^{-\frac n2}}{e^{-\frac n2}}
    =   \(\frac{s^2}{s_0^2}\)^{\frac n2} \\
    &=& \(\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\mu_0)^2}\)^{\frac n2}
        = \(\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x+\bar x-\mu_0)^2}\)^{\frac n2}\\
    &=& \(\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2+\sum(\bar x-\mu_0)^2}\)^{\frac n2}
        =  \(\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2+n(\bar x-\mu_0)^2}\)^{\frac n2}
  \end{eqnarray*}
  \begin{eqnarray*}
    \text{RC}
    &=&[\Lambda<c] =
        \left[ \(\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2+n(\bar x-\mu_0)^2}\)^{\frac n2} < c \right]\\
    &=&\left[ \frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2+n(\bar x-\mu_0)^2} < c' \right]\\
    &=&\left[ \frac{\sum(x_i-\bar x)^2+n(\bar x-\mu_0)^2}{\sum(x_i-\bar x)^2} > c'' \right]\\
    &=&\left[ \frac{s^2+(\bar x-\mu_0)^2}{s^2} > c'' \right]\\
    &=&\left[ 1+\frac{(\bar x-\mu_0)^2}{s^2} > c'' \right]\\
    &=&\left[ \frac{(\bar x-\mu_0)^2}{s^2} > c''' \right]\\
  \end{eqnarray*}
  Bajo $H_0$,
  $$\frac{\bar x-\mu_0}{s}\sqrt {n-1}
  =\frac{\bar x-\mu_0}{\hat s}\sqrt {n}\equiv t_{n-1}$$
  $$
  \frac{(\bar x-\mu_0)^2}{s^2}(n-1)=
  \frac{(\bar x-\mu_0)^2}{\hat s^2}n\equiv F_{1,n-1}
  $$
  siendo $\hat s^2$ la cuasivarianza, por lo que podemos buscar la
  región crítica a partir de alguna de esas expresiones; por ejemplo:
  $$
  \text{RC} = \left[ \left|\frac{\bar x-\mu_0}{\hat s:\sqrt{n}}\right| > t_{n-1,1-\frac\alpha2}\right]\\
  $$
  que es la fórmula habitual empleada en el contraste $t$ para una muestra.

  Nótese que, cuando $n\to\infty$, $t_{n-1}\to N(0,1)$, luego
  $-2\ln\Lambda\to\chi^2_1=\chi^2_{2-1}$ como se sigue del teorema.
\end{ejemplo}
\bigskip Un caso particular del TRV para contrastar homoscedasticidad
en distribuciones normales nos lleva al test de Bartlett.
\begin{ejemplo}
  Sean $X_i \equiv N(\mu_i,\sigma_i)$, $i=1,\dots,I$
  independientes. De cada población $i$ se extrae una muestra
  aleatoria simple $\vec X_i=(X_{i1},\dots,X_{in_i})$. Considérese el
  contraste $H_0:\sigma_1^2 = \dots = \sigma_I^2$ frente a
  $H_1:$ ``no todas las varianzas son iguales''.

  Entonces
  \begin{itemize}
  \item sin restricciones,
    $$
    L(\vec x, \vec\mu, \vec\sigma)
    =\prod_{i=1}^I\(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_i^2}}\)^{n_i}
    e^{-\sum_{i=1}^I\frac{\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}{2\sigma_i^2}}
    $$
    \begin{eqnarray*}
    \sup_{\vec\mu,\vec\sigma} L(\vec x,\vec\mu,\vec\sigma)
    &=&  L(\vec x,\hat\mu_{1,\text{MV}},\dots,\hat\mu_{I,\text{MV}},\hat\sigma_{1,\text{MV}},\dots,\hat\sigma_{I,\text{MV}})\\
    &=&  L(\vec x,\bar x_{1},\dots,\bar x_{I},s_{1},\dots,s_{I})\\
    \end{eqnarray*}
    con
    $$s_i^2= \frac{\sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij}-\overline{x}_{i.})^2}{n_i}$$

  \item bajo $H_0$,
    $$
    L(\vec x, \vec\mu, \sigma)
    =\(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\)^ne^{-\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}{2\sigma^2}}
    $$
    donde $n=\sum n_i$.
    $$
    \ln L(\vec x, \vec\mu, \sigma)
    =-\frac n2(\ln 2\pi+\ln\sigma^2)-\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}{2\sigma^2}
    $$
    $$
    0=\frac{\partial\ln L(\vec x, \vec\mu, \sigma)}{\partial\sigma^2}
    =-\frac n{2\sigma^2}+\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}{2\sigma^4}
    $$
    $$
    \frac n{2\sigma^2}=\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}{2\sigma^4}
    $$
    $$
    n\sigma^2={\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\mu_i})^2}
    $$
    Respecto a las $\mu_i$, la verosimilitud se maximiza con
    $\mu_i=\bar x_i$ y, por tanto, 
    $$
    s^2=\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\bar x_i})^2}n
    =\frac{\sum_{i=1}^In_i s_i^2}n
    $$
\end{itemize}
luego el TRV en este contexto es:
\begin{eqnarray*}
  \Lambda
  &=&\frac{L(\vec x,\bar x_1,\dots,\bar x_I,s)}{L(\vec x,\bar x_1,\dots,\bar x_I,s_1,\dots,s_I)}\\
  &=&\frac
      {\(\frac{1}{\sqrt{2\pi s^2}}\)^ne^{-\frac{\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\bar x_i})^2}{2s^2}}}
      {\prod_{i=1}^I\(\frac{1}{\sqrt{2\pi s_i^2}}\)^{n_i} e^{-\sum_{i=1}^I\frac{\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-{\bar x_i})^2}{2s_i^2}}}\\
  &=&
      \prod_{i=1}^I \left( \frac{s_i^2}{s^2}\right)^{\frac{n_i}{2}}
\end{eqnarray*}
  con distribución asintótica bajo la hipótesis nula
  $\chi^2_{2I - (I+1)} = \chi^2_{I-1}$:
  $$
  -2\ln\Lambda=-\sum_{i=1}^{I } n_i \ln s_i^2+ n \ln s^2
  \xrightarrow[{\cal L}]{H_0} \chi^2_{I-1}
  $$
\end{ejemplo}

Una alternativa a este test es el  \textbf{Test de Bartlett},  modificación del anterior para
acelerar la convergencia asintótica.
Se considera que la aproximación es válida si $n_i \geq 5$:
$$
B=\frac1c
\left(
  -\sum_ {i=1}^I  (n_i-1) \ln (\hat{s}_i^2) + (n-I) \ln(\hat{s}^2)
\right)
\xrightarrow[{\cal L}]{H_0}\chi^2_{I-1}
$$
con
$$
c=1+\frac{1}{3(I-1)}\left(\sum_{i=1}^I\frac{1}{n_i-1} -  \frac{1}{n-I}\right)
$$

El inconveniente de los dos test anteriores es que son muy sensibles a
la falta de normalidad. Por ello, cuando esta restricción no se
verifica suele emplearse el \textbf{Test de Levene} que efectúa un
Anova sobre las variables $Z_{ij}= |X_{ij}-\bar{X}_{i\cdot}|$, cuya
distribución no depende de $\mu_i$ y que tienen media dependiente de
$\sigma^2$. También existen modificaciones de este test que en vez de
comparar cada variable con la media de sus grupo lo hacen con la
mediana muestral de su grupo (test de Brown-Forsythe) o la media
recortada.  Estos estimadores son más robustos que la media muestral
para estimar la esperanza (los valores poblacionales de $\mu$, la
mediana y la media recortada coinciden en una población normal).
\end{document}
