\documentclass[11pt,draft]{article}
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\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\punto}{\marginpar[\quad\footnotesize(1 punto)]{}}
\newenvironment{solu}{\begin{quotation}\sffamily}{\end{quotation}}
\begin{document}
\title{Inferencia Estadística}
\author{Segundo Parcial}
\date{15 de mayo de 2023}
\maketitle
\reversemarginpar
\section*{CUESTIONES}
\subsection*{Cuestión 1\punto}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} Enuncia y demuestra el lema de
Neyman-Pearson para contrastes no aleatorizados.  Sea $X$ una variable
aleatoria con distribución Mul\-ti\-no\-mial$(m,\vec p)$, siendo el parámetro $m$ conocido, y
$\vec p=(p_1,p_2,p_3)$ con $p_1+p_2+p_3=1$ y $p_i>0$ para $i=1,2,3$,
es decir, $X$ toma valores enteros $(m_1,m_2,m_3)$ con $0\leqslant m_i\leqslant m$
para $i=1,2,3$ y 
\begin{eqnarray*}
\Pr[X=(m_1,m_2,m_3)]
&=&\frac{m!}{m_1!\;m_2!\;m_3!}\;p_1^{m_1}\;p_2^{m_2}\;p_3^{m_3}\\
%  &=&\frac{n!}{n_1!\;n_2!\;(n-n_1-n_2)!}
%      \;{p_1}^{n_1}\;{p_2}^{n_2}\;{(1-p_1-p_2)}^{n-n_1-n_2}
\end{eqnarray*}
De $X$ se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ para
contrastar $H_0\colon\vec p=\vec p_0$, frente a
$H_1\colon\vec p=\vec p_1$. Aplica el método de Neyman-Pearson para
calcular la forma de la región crítica.
\subsection*{Cuestión 2\punto}
Define la función potencia y explica su significado bajo $H_1$.
\subsection*{Cuestión 3\punto}
Explica el test de los rangos con signo de Wilcoxon. Sea una variable
continua $X$ simétrica respecto a $m_0$. Si se define $D=X-m_0$,
demuestra que $|D|$ y $\mbox{signo}(D)$ son independientes.
\subsection*{Cuestión 4\punto}
Calcula la región crítica para contrastar la independencia entre dos
variables finitas, usando el test de la razón de verosimilitudes, y
comenta cuál es la distribución asintótica bajo $H_0$.
\section*{PROBLEMAS}
\subsection*{Problema 1}
Se está ensayando un tratamiento nuevo contra la
trombocitopenia. Dicho tratamiento consta de dos fases.  El
tratamiento se aplica a veinte pacientes y se obtienen los siguientes
resultados en los recuentos plaquetarios ($\times10^9/$litro o bien $\times10^3$/mm$^3$):

\begin{center}
\begin{tabular}{lrrrrrrrrrr}
Paciente & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
Recuento basal & 88,4 & 120,4 & 99,2 & 96,4 & 110,1 & 110,2 & 86,2 & 94,7 & 108,9 & 111,5\\
Tras fase 1 & 111,4 & 100,8 & 106,4 & 104,7 & 111,8 & 139,6 & 130,0 & 145,5 & 128,0 & 137,8\\
Tras fase 2 & 104,1 & 129,3 & 98,7 & 118,5 & 111,0 & 103,4 & 92,4 & 95,2 & 105,7 & 130,0\\
  \\
Paciente & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20\\
Recuento basal &  105,6 & 105,3 & 106,7 & 107,9 & 123,4 & 121,5 & 85,6 & 115,2 & 124,9 & 94,0\\
Tras fase 1 &  119,0 & 118,7 & 108,5 & 122,7 & 112,9 & 116,8 & 144,5 & 110,1 & 129,0 & 110,4\\
Tras fase 2 & 101,5 & 100,6 & 133,9 & 139,7 & 132,2 & 135,5 & 113,6 & 101,2 & 96,4 & 104,0
\end{tabular}
\end{center}

Versión para copiar:{\tiny
\begin{verbatim}
     c(88.4, 120.4, 99.2, 96.4, 110.1, 110.2, 86.2, 94.7, 108.9, 111.5, 105.6, 105.3, 106.7, 107.9, 123.4, 121.5, 85.6, 115.2, 124.9, 94.0)
     c(111.4, 100.8, 106.4, 104.7, 111.8, 139.6, 130, 145.5, 128, 137.8, 119, 118.7, 108.5, 122.7, 112.9, 116.8, 144.5, 110.1, 129.0, 110.4)
     c(104.1, 129.3, 98.7, 118.5, 111, 103.4, 92.4, 95.2, 105.7, 130, 101.5, 100.6, 133.9, 139.7, 132.2, 135.5, 113.6, 101.2, 96.4, 104.0)
\end{verbatim}}
Para las siguientes preguntas, considera un nivel de significación
\(\alpha=0.05\).

\begin{enumerate}
  \renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
  \renewcommand{\labelenumi}{\theenumi)}
\item ¿Podría \punto considerarse que los recuentos basales siguen
una distribución exponencial desplazada, con densidad \(f(x)=\lambda
e^{-\lambda(x-\theta)}\cdot I(x\geqslant\theta)\) ?
\begin{solu}
  Al ser la $\text{Exp}(\lambda;\theta)$
  una distribución continua y $H_0$ compuesta, intentaremos primero usar
  Kolmogórov+Smirnov+Lílifors (si no, habría que recurrir a una prueba
  $\chi^2$).  Para ello, habrá que ver si el estadígrafo KSL es de libre distribución,
  lo que es esperable ya que la familia exponencial desplazada
  depende sólo de un parámetro de localización y de otro de escala.
  Los estimadores MV de los parámetros son:
  $\hat\theta=\min X_i$, $\hat\lambda=n/\sum (X_i-\hat\theta)$.
Sean
  \begin{itemize}
  \item $Y_i\colonequals\lambda(X_i-\theta)\hookrightarrow
    \text{Exp}(1;0)= \text{Exp}(1)$
  \item
 $\hat\theta_Y=\min Y_i=\lambda(\min X_i-\theta)=\lambda(\hat\theta-\theta)$.
\item $\hat\lambda_Y= n/\sum (Y_i-\hat\theta_Y)
  =n/\sum [\lambda(X_i-\theta)-\lambda(\hat\theta-\theta)]
  =n/\lambda\sum (X_i-\hat\theta)=\hat\lambda/\lambda$.
\end{itemize}
Entonces:
\begin{eqnarray*}
    D_n
    &=&\sup_{x\in\R}\left|\hat F(x)-F_{\hat\lambda,\hat\theta}(x)\right|\\
    &=&\sup_{x\geqslant\hat\theta}\left|\frac{\sum [X_i\leqslant x]}{n}-
        (1-e^{\hat\lambda(x-\hat\theta)})\right|\\
    &=&\sup_{x\geqslant\hat\theta}
        \left|\frac{\sum [\lambda(X_i-\theta)\leqslant \lambda(x-\theta)]}{n}-
        (1-e^{\hat\lambda(x-\hat\theta)})\right|\\
    &=&\sup_{\substack{x\geqslant\hat\theta\\y\colonequals\lambda(x-\theta)}}
    \left|\frac{\sum [Y_i\leqslant y]}{n}-
    (1-e^{\frac{\hat\lambda}{\lambda}
    [\lambda(x-\theta)-\lambda(\hat\theta-\theta)]})\right|\\
    &=&\sup_{y\geqslant\hat\theta_Y}
        \left|\frac{\sum [Y_i\leqslant y]}{n}-
        (1-e^{\hat\lambda_Y [y-\hat\theta_Y]})\right|
    \qquad\text{independiente de $(\lambda,\theta)$}\\
    &=&\sup_{y\in\R}\left|\hat F_Y(x)-F_{\hat\lambda_Y,\hat\theta_Y}(y)\right|
  \end{eqnarray*}
  luego $D_n$ tiene distribución libre que puede generarse a partir de
  muestras Exp$(1)$.
  Una implementación en R básico podría ser:
\begin{verbatim}
x <- c(88.4, 120.4, 99.2, 96.4, 110.1, 110.2, 86.2, 94.7, 108.9, 111.5, 
      105.6, 105.3, 106.7, 107.9, 123.4, 121.5, 85.6, 115.2, 124.9, 94)
n <- length(x)
ksl <- function (x) ks.test((x-min(x))/mean(x-min(x)),pexp)$statistic
t0 <- ksl(x)
d <- replicate (1000000, ksl(rexp(n)))
mean (d >= t0) # 0.0133
\end{verbatim}
\end{solu}

\item ¿Se \punto produce alguna variación significativa entre las
  distribuciones de los recuentos?
  \begin{solu}
    En primer lugar hacemos una prueba ómnibus (global) que tenga
    en cuenta que se trata de muestras dependientes.  La única que
    hemos visto es la de Friedman:
\begin{verbatim}
y <- c(111.4, 100.8, 106.4, 104.7, 111.8, 139.6, 130, 145.5, 128, 
  137.8, 119, 118.7, 108.5, 122.7, 112.9, 116.8, 144.5, 110.1, 
  129, 110.4)
z <- c(104.1, 129.3, 98.7, 118.5, 111, 103.4, 92.4, 95.2, 105.7, 130, 
  101.5, 100.6, 133.9, 139.7, 132.2, 135.5, 113.6, 101.2, 96.4, 104)
friedman.test (cbind (x, y, z)) # p-value = 0.01057
\end{verbatim}
    Como hay diferencias significativas, realizamos un análisis dos a dos
    mediante Friedman y Wilcoxon pareado:
\begin{verbatim}
friedman.test (cbind (x, y))    $ p.value # 0.007290358 *
wilcox.test (x, y, paired=TRUE) $ p.value # 0.006066037 *
friedman.test (cbind (x, z))    $ p.value # 0.1797125
wilcox.test (x, z, paired=TRUE) $ p.value # 0.07014859
friedman.test (cbind (y, z))    $ p.value # 0.07363827
wilcox.test (y, z, paired=TRUE) $ p.value # 0.164957
\end{verbatim}
    Siguiendo el criterio de Bonferroni, al comparar con $\alpha/3\approx0.017$
    hay diferencias significativas sólo entre el recuento basal y el recuento
    tras fase 1. Nótese que Friedman aplica corrección por empates, pero
    \texttt{wilcox.test} emite avisos, a los que no daremos importancia ya que
    todos los p-valores quedan del mismo lado del nivel de significación que
    los de Friedman.
    Otra forma:
\begin{verbatim}
pairwise.wilcox.test (c(x,y,z), rep(1:3,each=20), paired=TRUE)
\end{verbatim}
    Se aplica automáticamente la corrección de Holm y se muestra que
    sólo la primera pareja tiene un p-valor (corregido) menor que $\alpha$.

    \bigskip Otra estrategia válida sería pensar en diferencias:
\begin{verbatim}
dxy <- x-y ; shapiro.test(dxy) # p-value = 0.5855 => gausiana
dxz <- x-z ; shapiro.test(dxz) # p-value = 0.8793 => gausiana
dyz <- y-z ; shapiro.test(dyz) # p-value = 0.4492 => gausiana
t.test(dxy, mu=0) # p-value = 0.004171
t.test(dxz, mu=0) # p-value = 0.06837
t.test(dyz, mu=0) # p-value = 0.1324
## en vez de t.test(dxy, mu=0) se puede hacer
## t.test(x, y, paired=TRUE) ... etcétera
\end{verbatim}
    Se llega a la misma conclusión que antes.
  \end{solu}
\item Para \punto que el tratamiento se considere válido, tiene que
  conseguir que la mediana poblacional del recuento sea superior a
  110.  ¿Hay evidencias de que lo consigue tras alguna de las dos fases?
  (Por población se entiende el conjunto de pacientes del que se ha
  extraído la muestra.)
  \begin{solu}
    La variable es continua. Como no estoy seguro de su simetría
    (requerida por la prueba de rangos con signo de Wilcoxon),
    usaré la prueba de los signos, con $$H_0:\text{mediana}=110\qquad
    H_1:\text{mediana}>110$$
\begin{verbatim}
prueba.signos <- function (muestra)
   binom.test (sum(muestra>110), length(muestra), # < 110
               alternative="greater") $ p.value   # "less"
prueba.signos (y) # 0.005908966 *
prueba.signos (z) # 0.7482777
\end{verbatim}
    La única significativa es la muestra tras fase 1, incluso aplicando
    corrección de Bonferroni.

    \bigskip Otra opción es comprobar si la distribución puede seguir un modelo simétrico.
    De especial interés es el caso gausiano, que permitiría usar la prueba $t$, más potente que Wilcoxon:
\begin{verbatim}
shapiro.test (y) # p-value = 0.148  => gausiana
t.test      (y, mu=110, alternative="greater") # p-value = 0.00140 *
wilcox.test (y, mu=110, alternative="greater") # p-value = 0.00211 *
shapiro.test (z) # p-value = 0.0193 => no gausiana
ksl <- function (x) ks.test(x,punif,min(x),max(x))$statistic
mean (replicate (1e5, ksl (runif(n))) >= ksl(z))
## p-valor = 0.08697 => puede ser unifome => simétrica => wilcox
wilcox.test (z, mu=110, alternative="greater") # p-value = 0.3544
\end{verbatim}
    Se obtienen los mismos resultados que antes.
  \end{solu}
\end{enumerate}

\subsection*{Problema 2}
El fichero `Inspeccion.RData' contiene datos registrados sobre la recaudación diaria de un cierto bar en distintos días que se les realizó una inspección sorpresa. Se dispone de las siguientes variables:
\begin{itemize}
\item[] \textit{Recaudacion}: Recaudación diaria (en euros);
\item[] \textit{DiaSemana}: Día de la semana en que se realizó la inspección.
\end{itemize}
Basándote en los datos recogidos y trabajando a nivel de significación $\alpha=0.05$, responde a las siguientes preguntas:
\begin{itemize}
\item[a)] Justifica \punto mediante un estudio inferencial que la distribución de la recaudación para cada día de la semana es aproximadamente una normal con la misma varianza.
\item[b)] ¿Hay \punto diferencias en la recaudación en los distintos días de la semana? Realiza un estudio descriptivo previo (tanto numérico como gráfico), basa tus conclusiones en los resultados de un contraste de hipótesis y concluye con un estudio a posteriori.
\item[c)] ¿Se \punto distribuyen las inspecciones uniformemente durante los días de la semana? Realiza un estudio descriptivo previo y basa tus conclusiones en los resultados de un contraste de hipótesis.
\end{itemize}
\bigskip
\hrule
\bigskip
\begin{center}
 ¡ JUSTIFICA TODAS LAS RESPUESTAS !
\end{center}
\end{document}

Generación de los datos para el problema 1:
n=20;set.seed(3);pla1=round(runif(n,80,130),1);pla2=round(runif(n,100,150),1);pla3=round(runif(n,90,140),1)
