\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[margin=1cm]{geometry}
\usepackage{palatino}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\boldmath
\noindent{\Large \bf Inferencia Estadística --- 20 de diciembre de 2024
  --- primer parcial.}

\paragraph{Instrucciones.}
\begin{itemize}
\item Primera parte: TEORÍA. Ordenador apagado. Tienes hasta una hora
  para resolverla y entregar los folios con tu respuesta.
\item Segunda parte: PROBLEMAS. En cuanto entregues la teoría, podrás
  encender el ordenador exclusivamente para usar R y acceder al campus
  virtual. No hay una ``tarea'' en el campus virtual para subir documentos.
  Has de entregar todas tus respuestas en papel: para un gráfico, esbózalo
  a mano dejando claro lo que quieras destacar; para código fuente,
  escríbelo con la mayor precisión posible.  Has de entregar los folios en
  dos bloques separados: problema 1; problema 2.
\item Justifica todas las respuestas.
\end{itemize}
\paragraph{Teoría (4 puntos).}
\begin{enumerate}
\item A una inteligencia artificial se le planteó el siguiente problema:
  \begin{quotation}
\noindent\textbf{Pregunta:}
\textit{Sea $X$ una variable aleatoria con densidad
$f(x, \lambda) = \lambda * exp(- \lambda*(x-\lambda)) \; I(x >\lambda)$. ¿Puedes calcular el estimador máximo-verosímil de $\lambda$?} % y escribir el resultado} en latex.% Puedes darme un programa en R para calcular landa para la muestra:
%$$(6.289, 1.123, 2.031, 5.822, 3.208, 2.684, 0.961, 0.698, 0.711, 3.862)$$
\end{quotation}
Analiza si la respuesta es correcta y en caso contrario comenta los
posibles fallos:
\begin{quotation}
\noindent\textbf{Respuesta:} \it
Para calcular el estimador de máxima verosimilitud (EMV) del parámetro $\lambda$ para una variable aleatoria X con densidad:
$$f(x|\lambda) = \lambda \exp(-\lambda (x - \lambda))  \quad (x > \lambda)$$, seguimos estos pasos:
\begin{enumerate}
 \item Función de Verosimilitud
%La función de verosimilitud para una muestra $\vec{x}= (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es:
$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda \exp(-\lambda (x_i - \lambda)) = \lambda^n \exp\left(-\lambda \sum_{i=1}^n (x_i - \lambda)\right)$$

\item Logaritmo de la Función de Verosimilitud
%El logaritmo de la función de verosimilitud es:
$$\log L(\lambda) = n \log \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n (x_i - \lambda) =n \log \lambda - \lambda \left( \sum_{i=1}^n x_i - n\lambda \right)$$
% \item Maximización de la Función de Verosimilitud
%
% Para encontrar el EMV de $\lambda$, derivamos respecto a $\lambda$ y encontramos el valor que hace que la derivada sea cero:
% $$\frac{d}{d\lambda} \log L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n (x_i - \lambda) = 0$$
%
% Resolviendo para $\lambda$:
% $$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n (x_i - \lambda)$$
%
% %$$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n x_i - n\lambda$$
% %$$\frac{n}{\lambda} = n \bar{x} - n\lambda$$
% $$\frac{1}{\lambda} = \bar{x} - \lambda$$
% $$\lambda (\bar{x} - \lambda) = 1$$
% $$\lambda = \frac{1}{\bar{x}} + \lambda$$
% $$\lambda = \sqrt{\bar{x}}$$

\item Maximización de la Función de Verosimilitud\\
Derivamos respecto a $\lambda$ y encontramos el valor que hace que la derivada sea cero:
$$\frac{d}{d\lambda} \log L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} -
\sum_{i=1}^n x_i + 2n\lambda = 0$$
%$$\frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n x_i - 2n\lambda$$
$$\frac{n}{\lambda} + 2n\lambda = \sum_{i=1}^n x_i  \Longleftrightarrow
\lambda(1 + 2\lambda) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$
\end{enumerate}
% \begin{verbatim}
%  # Muestra de datos
% x <- c(6.289, 1.123, 2.031, 5.822, 3.208, 2.684, 0.961, 0.698, 0.711, 3.862)
%
% # Estimador de máxima verosimilitud para lambda
% lambda_hat <- mean(x)
%
% # Resultado
% lambda_hat
% \end{verbatim}

\noindent\textbf{Pregunta:}
¿Puedes resolver la ecuación $\lambda(1 + 2\lambda) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ en $\lambda$?

\noindent\textbf{Respuesta:}
Para resolver la ecuación podemos reescribirla en términos de una ecuación cuadrática estándar.
$$ 2\lambda^2 + \lambda - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i = 0$$
%Ahora, tenemos una ecuación cuadrática en la forma estándar $a\lambda^2 + b\lambda + c = 0$, donde:

%$a=2$, $b=1$ y $c = -\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$

% Sustituyendo $a$, $b$ y $c$ en la fórmula general, obtenemos dos posibles soluciones para $\lambda$:
Ahora, tenemos una ecuación cuadrática en la forma estándar y obtenemos dos posibles soluciones: % para $\lambda$:

$$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + \frac{8}{n} \sum_{i=1}^n x_i}}{4}$$
Dado que $\lambda$ representa una cantidad física y debe ser positiva, seleccionaremos la solución positiva:
$$\lambda = \frac{-1 + \sqrt{1 + \frac{8}{n} \sum_{i=1}^n x_i}}{4}$$
\end{quotation}
% \item Sea $X$ una variable aleatoria con distribución gamma
%   $\gamma(p,a)$ de la que se extrae una muestra aleatoria simple
%   $(X_1, \ldots, X_n)$ con $n$ muy grande. Calcula la distribución
%   asintótica de $\bar{X}^2$. Recuerda que $E(X) = \frac{p}{a}$ y
%   $\mathit{Var}(X) = \frac{p}{a^2}$.
\item Explica el procedimiento de \emph{bootstrap} básico para calcular intervalos de
  confianza.
\item Define partición suficiente y minimal. Demuestra que la
  partición
  $$\vec{x} \sim \vec{y}\quad \Longleftrightarrow \quad \frac{L(\vec{x},
    \theta)}{L(\vec{y}, \theta)} \mbox{ independiente de } \theta$$
  es suficiente y minimal.
\item Define la región crítica de un contraste de hipótesis y el nivel
  de significación $\alpha$.
\end{enumerate}
  \paragraph{Problema 1 (3 puntos).}
Cierta ceca fabrica monedas de forma que la probabilidad de que salga cara si tiramos
al aire la moneda $i$-ésima es $p_i$. Es decir, distintas monedas
tienen distinta probabilidad de cara.  Cada $p_i$ puede estimarse con
mucha precisión, por lo que dada una muestra
concreta de $n$ monedas sus $p_i$ se suponen conocidas ($i=1,\dots,n$).
Las $p_i$ provienen de una población beta
$\beta(q,q)$, es decir, con ambos parámetros iguales.  Se dispone de una
realización muestral de tamaño $n=10$, a saber, $(p_1,\dots,p_{10})$ =
%set.seed(1);(x<-round(rbeta(10,25,25),3));stopifnot(all(!duplicated(x)))
\texttt{\bfseries(0.449, 0.515, 0.432, 0.526, 0.433, 0.539, 0.560, 0.546,
  0.476, 0.630)}.
\begin{itemize}
\item[a)] Halla un estadístico suficiente minimal para $q$  ($0.6$ puntos).
  \\[-4ex]
\item[b)] Halla una estimación de $q$ por el método de máxima verosimilitud
 ($0.8$ puntos).  \\[-4ex]
\item[c)] Halla una estimación de $q$ por el método de los momentos
  ($0.8$ puntos).  \\[-4ex]
\item[d)] Halla un intervalo de confianza para $q$ a nivel $95\%$
   ($0.8$ puntos).
\end{itemize}

\noindent Ten en cuenta que, si $X$ sigue
una distribución $\beta(p,q)$, entonces tiene función de 
densidad $f(x)=x^{p-1}\cdot(1-x)^{q-1}/B(p,q)$, donde $B$ es la
función \texttt{\bfseries beta} en R; esperanza $E(X)=p/(p+q)$ y varianza
$\mathit{Var}(X)=p\cdot q / [(p+q)^2\cdot(p+q+1)]$.  

\paragraph{Problema 2 (3 puntos).}
Se quiere estudiar el tiempo de vida (en años) de los dispositivos eléctricos de la marca Chispazo. Para ello se estudia una muestra de 100 de estos dispositivos eléctricos, recogiendo los tiempos de vida resultantes en el conjunto de datos `Chispazo.RData'. 
\begin{enumerate}
\item[a)] Basándote en los datos recogidos, estudia desde un punto de vista descriptivo si la distribución del tiempo de vida sigue aproximadamente una distribución de Weibull $W(\alpha,\lambda)$ con parámetro de forma $\alpha=2$. Para ello, estima puntualmente el parámetro de escala $\lambda$ de la distribución haciendo uso de su estimador máximo-verosímil.
\item[b)] Suponiendo que el tiempo de vida sigue una distribución de Weibull con parámetro de forma $\alpha=2$, calcula un intervalo de confianza al nivel de confianza $0.99$ para el parámetro de escala $\lambda$ basándote en la distribución asintótica de su estimador máximo-verosímil.
\item[c)] Se quiere realizar un nuevo estudio más preciso que consiga estimar $\lambda$ por medio de un intervalo de confianza asintótico para $\lambda$ al nivel de confianza $0.99$ que tenga una longitud esperada inferior a $0.1$ unidades. Suponiendo que el tiempo de vida sigue una distribución de Weibull con parámetro de forma $\alpha=2$ y haciendo uso de la estimación de $\lambda$ en el estudio preliminar, determina de manera aproximada el tamaño de muestra que se necesita considerar para lograr el objetivo.
\end{enumerate}

\end{document}
