\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}
\usepackage{fullpage}

\begin{document}
\noindent{\Large INFERENCIA ESTADÍSTICA --- 28 de mayo de 2025 --- Parcial 2º}
\section*{Instrucciones}
\begin{itemize}
\item Primera parte: TEORÍA. Ordenador apagado. Tienes hasta una hora
  para resolverla y entregar los folios con tu respuesta.
\item Segunda parte: PROBLEMAS. En cuanto entregues la teoría, podrás
  encender el ordenador exclusivamente para usar R y acceder al campus
  virtual. No hay una ``tarea'' en el campus virtual para subir documentos.
  Has de entregar todas tus respuestas en papel: para un gráfico, esbózalo
  a mano dejando claro lo que quieras destacar; para código fuente,
  escríbelo con la mayor precisión posible.  Has de entregar los folios en
  dos bloques separados: problema 1; problema 2.
\item Justifica todas las respuestas.
\end{itemize}
\section*{TEORÍA}
\begin{enumerate}

\item (2 puntos) Demuestra que el estadístico de
  Kolmogórov-Smirnov-Lilliefors es de libre distribución para la
  familia uniforme $U(3, 3+\theta)$.

\item (2 puntos) Explica detalladamente el test de Kruskal-Wallis: cuáles son las
  condiciones de aplicación, el estadístico de contraste y la región
  crítica.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEMA 1}
La tensión diastólica (mm Hg) en cierta población de ancianos sanos
sigue una distribución gausiana $N(80,\sigma)$. En una residencia
geriátrica se han medido dichas tensiones y se han obtenido estos
valores: (80, 82, 83, 85, 79, 78, 90, 92, 98, 100, 86, 91). Supóngase
que son una realización de una muestra aleatoria simple de tal población.
\begin{enumerate}
\item [a)] (1 punto) Halla el estimador y la estimación máximo-verosímiles para $\sigma$.
\item [b)] (1 punto) Contrasta $H_0: \sigma=5$ frente a $H_1: \sigma>5$ a nivel de significación $\alpha=0.03$.
\item [c)] (1 punto) Halla un intervalo de confianza para la mediana a nivel de confianza $\alpha=0.85$.
\end{enumerate}
\section*{PROBLEMA 2}
La empresa Neurovitalis está evaluando la efectividad de un nuevo programa de entrenamiento cognitivo para mejorar la memoria a corto plazo en adultos mayores. Para ello, se seleccionó aleatoriamente a 50 participantes y se midió su capacidad de memoria antes de iniciar el programa de entrenamiento cognitivo (Momento 1). Los mismos individuos participaron en el programa durante 8 semanas, y al finalizar se les volvió a medir la memoria (Momento 2). La variable de medida es una puntuación estandarizada en una escala continua de 0 a 100. Los datos obtenidos se encuentran en el fichero `Neurovitalis.RData'. Basándote en los datos recogidos y asumiendo independencia entre individuos (pero no entre momentos de medición dentro de un mismo individuo), responde a las siguientes preguntas a nivel de significación $\alpha=0.05$:

\begin{itemize}
\item[a)] (1 punto) Estudia mediante un gráfico y un test de hipótesis adecuados si la mejora en la capacidad de memoria sigue una distribución normal.
\item[b)] (1 punto) ¿Hay evidencias para afirmar que el entrenamiento cognitivo ayuda a mejorar la capacidad de memoria? Realiza un estudio descriptivo numérico y basa tus conclusiones en los resultados de un contraste de hipótesis.
\item[c)] (1 punto) Estima la potencia del test del apartado anterior para detectar mejoras de $d\in\{0,1,2,3\}$ unidades. Utiliza la estimación puntual de la desviación típica poblacional si fuese necesario.
\end{itemize}

\end{document}
\newpage
\textbf{Solución:}

a) Se calcula en primer lugar la mejora como la medición en el momento 2 menos la medición en el momento 1. Se obtiene el siguiente resumen numérico de la mejora:
\begin{verbatim}
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 -0.990   3.458   5.700   5.533   7.665  12.490 
\end{verbatim}

Se observan indicios de simetría en la variable al ser la media y la mediana similares y estar el primer y tercer cuartil distribuidos de manera más o menos equidistante con respecto a estos centros comunes. A continuación, se presenta un histograma con la función de densidad de una normal con parámetros estimados por la muestra (media $5.533$ y desviación típica de $3.091497$).

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{Histograma.png}
\end{center}
\end{figure}


El resultado del test de Shapiro-Wilk de normalidad nos confirma lo visto gráficamente:
\begin{verbatim}
	Shapiro-Wilk normality test

data:  mejora
W = 0.98742, p-value = 0.8687
\end{verbatim}
Se concluye que parece razonable admitir que la mejor sigue una distribución normal.

b) Se plantea el contraste $H_0: \mu\le 0$ contra $H_1:\mu>0$, siendo $\mu$ la mejora media en la capacidad de memoria. Tal y como se puede observar en el resumen numérico, la mejora media es superior a 5 unidades por lo que parece que el entrenamiento cognitivo efectivamente funciona. Además, si se estudian los individuos uno a uno se observa como solamente uno de ellos no mejoró su capacidad de memoria. Puesto que nos encontramos en una población normal (y la varianza poblacional es desconocida), se plantea el test t para las comparación de medias:
\begin{verbatim}
	One Sample t-test

data:  mejora
t = 12.656, df = 49, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is greater than 0
95 percent confidence interval:
 4.800406      Inf
sample estimates:
mean of x 
   5.5334 
\end{verbatim}
En dicha salida se obtiene también el intervalo de confianza unilateral para la mejora media, siendo el intervalo de confianza bilateral $[4.654806, 6.411994]$. Se concluye que, efectivamente, tenemos evidencias significativas a un nivel de significación $\alpha=0.05$ para apoyar la mejora causada por el programa de entrenamiento cognitivo.

c) Para estimar la potencia, procedemos con estimación por Monte Carlo haciendo uso del siguiente código:
\begin{verbatim}
potencia <- function(d){
  dist <- replicate(10^5,{
    x <- rnorm(50, d, sd(mejora))
    t.test(x, mu=0, alternative="greater")$p.value<=0.05
  })
  mean(dist)
}
\end{verbatim}
Se obtiene que la potencia en $0$ es cercana al nivel de significación ($0.05075$ en mi simulación), y va creciendo al alejarnos del valor 0. En particular, la potencia en $1$ es $0.72792$, la potencia en $2$ es $0.99796$ y la potencia en $3$ es $1$.


d) El intervalo de confianza para $\sigma^2$ en la distribución normal es
\[\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}} \right]\]
con $\chi^2_{n-1,\alpha/2}=31.55492$ y $\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}=70.22241$ cuando $n=50$ y $\alpha=0.05$. Para nuestros datos, el intervalo quedaría $[6.668958, 14.84112]$. La amplitud esperada del intervalo de confianza viene dada por
\[E\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}}-\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}\right)=\frac{\chi^2_{n-1,\alpha/2}-\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}{\chi^2_{n-1,\alpha/2}\cdot\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}}\,(n-1)\,E(S^2)=0.8550654\sigma^2\,.\]
Aproximando $\sigma^2$ por su estimación muestral, se llega a que la amplitud esperada es de aproximadamente $8.172163$ unidades, por lo que el tamaño muestral no es suficiente. El siguiente código serviría para calcular el tamaño necesario, que es 121:
\begin{verbatim}
Amplitud <- function(n){
  a <- qchisq(0.975,n-1)
  b <- qchisq(0.025,n-1)
  Cn <- (a-b)/(a*b)*(n-1)*var(mejora)
}
Amplitud(121)
\end{verbatim}
\end{document}