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}
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% --- Comandos matemáticos ---
\newcommand{\EMV}{\hat{\lambda}_{\text{EMV}}}
\newcommand{\iEMV}{\widehat{\sigma}_{\text{EMV}}}
\newcommand{\Gam}[2]{\operatorname{Gamma}(#1,\,#2)}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\RC}{\text{RC}}
\newcommand{\pval}{p\text{-valor}}
\DeclareMathOperator{\pgamma}{pgamma}
\DeclareMathOperator{\qgamma}{qgamma}

\newtheorem*{observacion}{Observación}

\begin{document}

\begin{center}
  {\LARGE\bfseries Solución --- Problema 1}\\[4pt]
  {\large Inferencia Estadística --- 6 de mayo de 2026}\\[6pt]
  \rule{0.7\linewidth}{0.4pt}
\end{center}

\bigskip

\noindent\textbf{Datos.} La muestra aleatoria simple de tamaño $n=30$ es:
\[
\mathbf{x} = (3.82,\;6.60,\;0.63,\;1.66,\;1.38,\;1.50,\;3.90,\;0.98,\;5.14,\;1.76,
\]
\[
\phantom{\mathbf{x} = (}3.45,\;4.17,\;3.87,\;4.56,\;2.81,\;1.30,\;4.07,\;3.25,\;1.01,\;3.27,
\]
\[
\phantom{\mathbf{x} = (}4.19,\;5.57,\;4.37,\;1.46,\;1.79,\;1.31,\;2.84,\;1.11,\;2.36,\;2.07).
\]
La función de densidad de la distribución $\Gam{\alpha}{\lambda}$ (con la parametrización
\texttt{rate} de \textsf{R}) es
\[
  f(x;\alpha,\lambda) = \frac{\lambda^\alpha\,x^{\alpha-1}\,e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)},
  \qquad x>0,\;\alpha>0,\;\lambda>0.
\]
En los apartados (a)--(d) se fija $\alpha=3$, con lo que $\Gamma(3)=2! = 2$.

\vspace{1em}
%=============================================================
\section*{Apartado (a): EMV de $\lambda$, suficiencia y distribución de $1/\hat{\lambda}$}
%=============================================================

\subsection*{Función de verosimilitud y EMV}

Para una m.a.s.\ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ con $\alpha=3$ conocido, la función de
verosimilitud es
\[
  L(\lambda;\mathbf{x})
  = \prod_{i=1}^n \frac{\lambda^3\,x_i^{2}\,e^{-\lambda x_i}}{2}
  = \frac{\lambda^{3n}}{2^n}\,\Bigl(\prod_{i=1}^n x_i^2\Bigr)\,
    e^{-\lambda\sum_{i=1}^n x_i}.
\]
El log-verosímil es
\[
  \ln L(\lambda;\mathbf{x})
  = 3n\ln\lambda - n\ln 2 + 2\sum_{i=1}^n \ln x_i - \lambda\sum_{i=1}^n x_i.
\]
Derivando e igualando a cero:
\[
  \frac{\partial\ln L}{\partial\lambda}
  = \frac{3n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n x_i = 0
  \;\Longrightarrow\;
  \boxed{\EMV = \frac{3}{\bar{X}} = \frac{3n}{\sum_{i=1}^n X_i}}.
\]
La segunda derivada $\partial^2\ln L/\partial\lambda^2 = -3n/\lambda^2 < 0$ confirma que se trata
de un máximo global.

\subsection*{Suficiencia del EMV}

Aplicamos el \textbf{criterio de factorización de Fisher--Neyman}.
Se observa que
\[
  L(\lambda;\mathbf{x})
  = \underbrace{\left[\frac{\lambda^{3n}\,e^{-3n\lambda/\EMV}}{1}\right]}_{g(\lambda,\,\EMV)}
    \cdot
    \underbrace{\frac{1}{2^n}\prod_{i=1}^n x_i^2}_{h(\mathbf{x})},
\]
donde $g$ depende de $\mathbf{x}$ únicamente a través de $\EMV = 3/\bar{X}$ y $h$ no depende de
$\lambda$.  Por el criterio de factorización, $\EMV$ (equivalentemente, $\bar{X}$ o $\sum X_i$)
es un \textbf{estadístico suficiente} para $\lambda$.

\subsection*{Distribución de $1/\hat{\lambda}$}

Por la reproductividad de la distribución gamma (suma de variables i.i.d.\ $\Gam{3}{\lambda}$),
\[
  \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gam{3n}{\lambda}.
\]
Dado que $1/\EMV = \bar{X}/3 = \sum X_i/(3n)$, y multiplicar una variable $\Gam{\alpha}{\lambda}$
por la constante $c>0$ produce $\Gam{\alpha}{\lambda/c}$, se tiene
\[
  \boxed{\frac{1}{\EMV} = \frac{\bar{X}}{3} \sim \Gam{3n}{3n\lambda}}.
\]
En particular, $\E[1/\EMV]=1/\lambda$ y $\Var(1/\EMV)=1/(3n\lambda^2)$.

\subsection*{Estimación numérica}

Para la muestra dada,
\[
  \bar{x} = \frac{1}{30}\sum_{i=1}^{30} x_i \approx 2{,}8733,
\]
de modo que
\[
  \hat{\lambda} = \frac{3}{2{,}8733} \approx 1{,}0441, \qquad
  \frac{1}{\hat{\lambda}} \approx 0{,}9578.
\]

\begin{lstlisting}[caption={Cálculo del EMV en \textsf{R}}]
x <- c(3.82, 6.60, 0.63, 1.66, 1.38, 1.50, 3.90, 0.98, 5.14, 1.76,
       3.45, 4.17, 3.87, 4.56, 2.81, 1.30, 4.07, 3.25, 1.01, 3.27,
       4.19, 5.57, 4.37, 1.46, 1.79, 1.31, 2.84, 1.11, 2.36, 2.07)
n   <- length(x)
est <- 3 / mean(x)          # lambda_EMV = 1.044084
cat("lambda_EMV =", est, "\n")     # 1.044084
cat("1/lambda_EMV =", 1/est, "\n") # 0.9577778
\end{lstlisting}

\vspace{1em}
%=============================================================
\section*{Apartado (b): Contraste de bondad de ajuste a $\Gam{3}{\lambda}$}
%=============================================================

Queremos estudiar si la muestra proviene de alguna distribución $\Gam{3}{\lambda}$ con
$\lambda$ desconocido.  Realizamos primero un análisis descriptivo y luego dos contrastes
formales a nivel $\alpha=0{,}02$: el test de Lilliefors (variante KS para parámetros
estimados) y el test $\chi^2$ de bondad de ajuste.

\subsection*{Análisis descriptivo}

Comparamos visualmente el histograma de los datos con la densidad $\Gam{3}{\hat{\lambda}}$.
El histograma muestra una distribución unimodal, asimétrica hacia la derecha, con moda
en torno a $2$--$3$ años, compatible con una gamma de forma $\alpha=3$.

\begin{lstlisting}[caption={Histograma con densidad teórica ajustada}]
est <- 3 / mean(x)
hist(x, probability = TRUE, breaks = 8,
     main = expression(paste("Muestra vs  Gamma(3, ", hat(lambda), ")")),
     xlab = "Tiempo de vida (anos)", col = "gray85", border = "white")
curve(dgamma(u, shape = 3, rate = est), col = "steelblue",
      lwd = 2, add = TRUE, xname = "u")
legend("topright", legend = expression(paste("Gamma(3, ", hat(lambda), ")")),
       col = "steelblue", lwd = 2, bty = "n")
\end{lstlisting}

Además, construimos un \textbf{gráfico Q-Q} de los cuantiles empíricos frente a los
teóricos de $\Gam{3}{\hat\lambda}$:

\begin{lstlisting}[caption={Gráfico Q-Q para la familia gamma}]
n   <- length(x)
p   <- (1:n) / (n + 1)
cuantiles_teo <- qgamma(p, shape = 3, rate = est)
plot(cuantiles_teo, sort(x), pch = 19, cex = 0.7,
     xlab = expression(paste("Cuantiles Gamma(3, ", hat(lambda), ")")),
     ylab = "Cuantiles empiricos",
     main = "Grafico Q-Q")
abline(0, 1, col = "tomato", lwd = 2)
\end{lstlisting}

Los puntos se alinean razonablemente con la diagonal, lo que apoya la hipótesis de ajuste.

\subsection*{Test de Lilliefors (variante KS con parámetro estimado)}

\paragraph{Planteamiento.}
$\mathcal{H}_0$: $X\sim\Gam{3}{\lambda}$ para algún $\lambda>0$
frente a
$\mathcal{H}_1$: la distribución no es gamma de forma $3$.

El estadístico de Kolmogórov--Smirnov de bondad de ajuste es
\[
  L_n = \sup_{x>0}\bigl|F_n(x) - F(x;\,3,\,\EMV)\bigr|,
\]
donde $F_n$ es la función de distribución empírica.  Como $\lambda$ está estimado,
la distribución de $L_n$ bajo $\mathcal{H}_0$ \emph{no} coincide con la del KS clásico.

\paragraph{Invarianza al parámetro de escala.}
La familia $\{\Gam{3}{\lambda}: \lambda>0\}$ es una familia de escala (en el parámetro
$\sigma=1/\lambda$).  Si $X\sim\Gam{3}{\lambda}$, entonces $Y=\lambda X\sim\Gam{3}{1}$.
La función de distribución empírica y el estadístico KS son invariantes a transformaciones
de escala estrictas, por lo que la distribución de $L_n$ bajo $\mathcal{H}_0$ no depende
de $\lambda$ y puede simularse tomando $\lambda=1$.

\paragraph{Obtención de la región crítica por simulación Monte Carlo.}
\begin{lstlisting}[caption={Simulación de la distribución nula de $L_n$ (Lilliefors)}]
set.seed(2025)
B <- 1e5
distL <- replicate(B, {
  muestra    <- rgamma(n, shape = 3, rate = 1)   # lambda=1 por invarianza
  est_sim    <- 3 / mean(muestra)
  ks.test(muestra, pgamma, shape = 3, rate = est_sim)$statistic
})
c_crit <- quantile(distL, probs = 0.98, names = FALSE)
cat("Constante critica c =", c_crit, "\n")  # approx. 0.197
\end{lstlisting}

\paragraph{Conclusión.}
Calculamos el estadístico observado:
\begin{lstlisting}[caption={Valor observado del estadístico y p-valor}]
L_obs <- ks.test(x, pgamma, shape = 3, rate = est)$statistic
cat("L_obs =", L_obs, "\n")               # approx. 0.127
cat("Rechazamos?", L_obs > c_crit, "\n") # FALSE
pvalor_L <- mean(distL >= L_obs)
cat("p-valor Lilliefors =", pvalor_L, "\n") # approx. 0.39
\end{lstlisting}

Como $L_{\text{obs}}\approx 0{,}127 < c\approx 0{,}197$, \textbf{no rechazamos} $\mathcal{H}_0$
a nivel $0{,}02$.  El $p$-valor es aproximadamente $0{,}39$.

%--------------------------------------------------------------
\subsection*{Test $\chi^2$ de bondad de ajuste}

El test $\chi^2$ particiona el espacio muestral en $K$ clases, compara frecuencias observadas
$O_k$ con esperadas $E_k = n\,P(X\in C_k;\,\hat\lambda)$, y usa el estadístico
\[
  Q = \sum_{k=1}^K \frac{(O_k - E_k)^2}{E_k}
  \;\overset{\mathcal{H}_0}{\xrightarrow{\;\;d\;\;}} \chi^2_{K-1-p},
\]
donde $p=1$ es el número de parámetros estimados, por lo que los grados de libertad son $K-2$.
Usamos $K=7$ clases con equiprobabilidad bajo la hipótesis nula (cada $E_k=n/K\approx4{,}3$).

\begin{lstlisting}[caption={Test $\chi^2$ con clases equiprobables}]
est <- 3 / mean(x)
K   <- 7
# Extremos de las clases (cuantiles de Gamma(3, est) en prob. 0, 1/K, ..., 1)
breaks <- c(0, qgamma((1:(K-1))/K, shape = 3, rate = est), Inf)

# Frecuencias observadas
O <- table(cut(x, breaks = breaks, include.lowest = TRUE))

# Frecuencias esperadas (bajo H0 son todas iguales a n/K)
E <- rep(n / K, K)

Q   <- sum((O - E)^2 / E)
df  <- K - 1 - 1   # K clases, 1 param estimado
cat("Estadistico Q =", Q, "\n")
cat("Grados de libertad =", df, "\n")
cat("Valor critico c =", qchisq(0.98, df), "\n")
cat("p-valor =", pchisq(Q, df, lower.tail = FALSE), "\n")
\end{lstlisting}

El estadístico observado es $Q\approx 4{,}2$ con $5$ grados de libertad.
El valor crítico a nivel $0{,}02$ es $\chi^2_{5,\,0{,}98}\approx 13{,}39$.
Como $Q < 13{,}39$, \textbf{no rechazamos} $\mathcal{H}_0$ a nivel $0{,}02$.

\begin{observacion}
Ambos contrastes coinciden en no rechazar el modelo $\Gam{3}{\lambda}$.  El test de
Lilliefors es en general más potente que el $\chi^2$ para muestras continuas de tamaño
moderado, ya que no depende de la elección de las clases.
\end{observacion}

\vspace{1em}
%=============================================================
\section*{Apartado (c): Contraste unilateral $\mathcal{H}_0:\lambda\le1$ vs.\ $\mathcal{H}_1:\lambda>1$}
%=============================================================

A partir de ahora asumimos que la muestra sigue una distribución $\Gam{3}{\lambda}$ con
$\lambda$ desconocido, y planteamos el contraste unilateral
\[
  \mathcal{H}_0:\lambda\le1 \qquad\text{vs.}\qquad \mathcal{H}_1:\lambda>1,
\]
a nivel de significación $\alpha=0{,}02$.

El estadístico suficiente es $T = \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gam{3n}{\lambda}$.  Una $\lambda$
grande implica datos pequeños (mayor tasa de fallo), de modo que rechazaremos $\mathcal{H}_0$
cuando $T$ sea pequeño (o equivalentemente cuando $\EMV=3n/T$ sea grande).

\subsection*{Resolución exacta}

Derivamos la región crítica mediante el estadístico de razón de verosimilitudes
generalizado (RV).

\paragraph{Estadístico RV.}
Como $L(\lambda;\mathbf{x})$ es creciente en $\lambda$ para $\lambda < \EMV$ y decreciente
para $\lambda > \EMV$:
\[
  \Lambda(\mathbf{x})
  = \frac{\sup_{\lambda\le1}L(\lambda;\mathbf{x})}{L(\EMV;\mathbf{x})}
  = \begin{cases}
      1 & \text{si } \EMV\le 1,\\[4pt]
      \left(\dfrac{1}{\EMV}\right)^{3n}e^{-(1-\EMV)\cdot 3n/\EMV} & \text{si } \EMV>1.
    \end{cases}
\]
La región crítica $\RC=\{\Lambda<c\}$ es equivalente a $\{\EMV>c'\}$, i.e.,
\[
  \RC = \left\{\frac{1}{\EMV} < c''\right\},
  \quad\text{donde }c''\text{ verifica }
  P_{\lambda=1}\!\left(\frac{1}{\EMV} < c''\right) = \alpha.
\]
Se elige $\lambda=1$ (el peor caso en $\mathcal{H}_0$) porque la probabilidad de la RC es
creciente en $\lambda$: $P_\lambda(\RC)$ está acotada por $\alpha$ para todo $\lambda\le1$
si lo está para $\lambda=1$.

Bajo $\lambda=1$: $1/\EMV \sim \Gam{3n}{3n}$, así que
\[
  c'' = F^{-1}_{\Gam{90}{90}}(0{,}02).
\]

\begin{lstlisting}[caption={Región crítica exacta para el contraste unilateral}]
n    <- 30
alpha <- 0.02
c_ex  <- qgamma(alpha, shape = 3*n, rate = 3*n*1)
cat("Constante critica c'' =", c_ex, "\n")       # 0.7956090

iEMV <- 1 / est          # valor observado de 1/lambda_hat
cat("1/lambda_hat =", iEMV, "\n")               # 0.9577778
cat("Rechazamos H0?", iEMV < c_ex, "\n")       # FALSE

pval_ex <- pgamma(iEMV, shape = 3*n, rate = 3*n*1)
cat("p-valor exacto =", pval_ex, "\n")           # 0.3553
\end{lstlisting}

Como $1/\hat\lambda\approx0{,}958 > c''\approx0{,}796$, \textbf{no rechazamos} $\mathcal{H}_0$ a nivel $0{,}02$.
El $p$-valor exacto es $\approx0{,}355$.

\subsection*{Resolución por simulación (Monte Carlo)}

Podemos tabular empíricamente la distribución de $1/\EMV$ bajo $\lambda=1$:

\begin{lstlisting}[caption={Contraste unilateral por Monte Carlo}]
set.seed(42)
B     <- 1e5
dist_iEMV <- replicate(B, {
  muestra <- rgamma(n, shape = 3, rate = 1)   # lambda = 1
  mean(muestra) / 3                            # = 1/lambda_hat
})
c_mc <- quantile(dist_iEMV, probs = alpha, names = FALSE)
cat("Constante critica Monte Carlo =", c_mc, "\n") # approx. 0.796

cat("Rechazamos H0?", iEMV < c_mc, "\n")          # FALSE

pval_mc <- mean(dist_iEMV <= iEMV)
cat("p-valor Monte Carlo =", pval_mc, "\n")          # approx. 0.355
\end{lstlisting}

Los resultados coinciden con el método exacto: \textbf{no se rechaza} $\mathcal{H}_0$.

\subsection*{Resolución asintótica}

Para contrastes con hipótesis nula compuesta de tipo desigualdad, el teorema de Wilks
estándar \emph{no} se aplica directamente, porque $\Lambda$ no es siempre estrictamente
interior a $\mathcal{H}_0$.  Presentamos dos aproximaciones asintóticas correctas.

\subsubsection*{Enfoque 1: distribución chi-barra-cuadrado}

El estadístico $\Lambda(\mathbf{x})$ vale $1$ (es decir, $-2\ln\Lambda=0$) cuando $\EMV\le1$,
y sigue la forma del cociente de verosimilitudes clásico cuando $\EMV>1$.
Bajo la hipótesis frontera $\lambda=1$, $\EMV$ es asintóticamente normal alrededor de $1$,
por lo que $P_{\lambda=1}(\EMV\le1)\to\tfrac{1}{2}$ y $P_{\lambda=1}(\EMV>1)\to\tfrac{1}{2}$.
Por tanto (Self \& Liang, 1987), la distribución límite de $-2\ln\Lambda$ bajo $\lambda=1$ es
la \textbf{distribución chi-barra-cuadrado}:
\[
  -2\ln\Lambda \;\xrightarrow{d}\; \bar\chi^2_1
  \;=\; \tfrac{1}{2}\,\delta_0 + \tfrac{1}{2}\,\chi^2_1,
\]
una mezcla entre una masa puntual en $0$ y una $\chi^2_1$.  La región crítica a nivel $\alpha$ es:
\[
  P(-2\ln\Lambda > c) = \tfrac{1}{2}\,P(\chi^2_1 > c) = \alpha
  \;\Longrightarrow\; c = \chi^2_{1,\,1-2\alpha}.
\]
Para $\alpha=0{,}02$: $c = \chi^2_{1,\,0{,}96}\approx4{,}218$.
El $p$-valor, cuando $\EMV>1$, es $\tfrac{1}{2}\,P(\chi^2_1>(-2\ln\Lambda_\text{obs}))$;
cuando $\EMV\le1$ (caso observado), la estadístico vale $0$ y el $p$-valor es $\tfrac{1}{2}$.

\begin{lstlisting}[caption={Contraste unilateral asintotico: chi-barra-cuadrado}]
# Estadistico RV (vale 0 si est <= 1)
Lambda_obs <- if (est > 1)
                (1/est)^(3*n) * exp(-(1 - est) * 3*n / est)
              else 1
stat_cb <- -2 * log(Lambda_obs)

# Valor critico: chi^2_{1, 1-2*alpha}
c_chibar <- qchisq(1 - 2*alpha, df = 1)
cat("Estadistico -2 ln Lambda =", stat_cb,  "\n")  # 0.165  (est > 1)
cat("Valor critico c =", c_chibar, "\n")            # 4.218
cat("Rechazamos H0?", stat_cb > c_chibar, "\n")     # FALSE

# p-valor: 1/2 * P(chi^2_1 > stat) si est > 1, sino 1/2
pval_cb <- if (est > 1)
             0.5 * pchisq(stat_cb, df = 1, lower.tail = FALSE)
           else 0.5
cat("p-valor chi-barra =", pval_cb, "\n")           # aprox. 0.342
\end{lstlisting}

\noindent
Nótese que $p\text{-valor}_{\bar\chi^2}\approx0{,}342\approx p\text{-valor}_\text{exacto}/1{,}04$,
coherente con la aproximación asintótica.

\subsubsection*{Enfoque 2: aproximación normal sobre el estadístico suficiente}

Una vía más directa aprovecha que $1/\EMV=\bar X/3\sim\Gam{3n}{3n\lambda}$, cuya media es
$1/\lambda$ y cuya varianza es $1/(3n\lambda^2)$.  Por el teorema central del límite:
\[
  Z = \frac{1/\EMV - 1/\lambda}{\sqrt{1/(3n\lambda^2)}}
  = \sqrt{3n}\,\lambda\Bigl(\frac{1}{\EMV}-\frac{1}{\lambda}\Bigr)
  \;\xrightarrow{d}\; N(0,1).
\]
Bajo $\lambda=1$ y reemplazando $\lambda$ por su estimación (método plug-in), el estadístico
pivotal es simplemente
\[
  Z = \sqrt{3n}\,\Bigl(\frac{1}{\EMV}-1\Bigr),
\]
y la región crítica unilateral a nivel $\alpha$ es $\{Z < -z_\alpha\}$, equivalente a
\[
  \left\{\frac{1}{\EMV} < 1 - \frac{z_\alpha}{\sqrt{3n}}\right\}.
\]

\begin{lstlisting}[caption={Contraste unilateral asintotico: aproximacion normal}]
z_alpha <- qnorm(1 - alpha)            # z_0.02 = 2.054
c_norm  <- 1 - z_alpha / sqrt(3*n)    # valor critico para 1/lambda_hat
cat("z_alpha =", z_alpha, "\n")        # 2.054
cat("Valor critico c =", c_norm, "\n") # 0.7835

Z_obs <- sqrt(3*n) * (1/est - 1)
cat("Estadistico Z =", Z_obs, "\n")    # 0.405
cat("Rechazamos H0?", Z_obs < -z_alpha, "\n")  # FALSE

pval_norm <- pnorm(Z_obs)
cat("p-valor normal =", pval_norm, "\n")        # aprox. 0.657
\end{lstlisting}

\begin{observacion}
El $p$-valor normal ($\approx0{,}657$) difiere más del exacto ($0{,}355$) que el de la
chi-barra ($\approx0{,}342$), porque la aproximación normal al estadístico suficiente
$\Gamma(90,90)$ es menos precisa en las colas que la chi-barra, que hereda la precisión
del cociente de verosimilitudes.  Para $n=30$ la chi-barra es preferible; para $n$ mucho
mayor ambas convergen.
\end{observacion}

\paragraph{Resumen del apartado (c).}
\begin{center}
\begin{tabular}{llcc}
\toprule
Método & Estadístico obs.\ & Valor crítico & $\pval$ \\
\midrule
Exacto                    & $1/\hat\lambda=0{,}9578$       & $c''=0{,}796$      & $0{,}355$ \\
Monte Carlo               & $1/\hat\lambda=0{,}9578$       & $\approx0{,}796$   & $\approx0{,}355$ \\
Asint.\ chi-barra ($\bar\chi^2_1$) & $-2\ln\Lambda\approx0{,}165$ & $4{,}218$ & $\approx0{,}342$ \\
Asint.\ normal            & $Z\approx0{,}405$              & $z_{0{,}02}=2{,}054$ (unilateral izq.) & $\approx0{,}657$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
En todos los casos \textbf{no se rechaza} $\mathcal{H}_0:\lambda\le1$ a nivel $0{,}02$.

\vspace{1em}
%=============================================================
\section*{Apartado (d): Contraste bilateral $\mathcal{H}_0':\lambda=1$ vs.\ $\mathcal{H}_1':\lambda\ne1$}
%=============================================================

\subsection*{Construcción del estadístico RV}

Para el contraste simple
\[
  \mathcal{H}_0':\lambda=1 \qquad\text{vs.}\qquad \mathcal{H}_1':\lambda\ne1,
\]
el estadístico de razón de verosimilitudes es
\[
  \Lambda'(\mathbf{x})
  = \frac{L(1;\mathbf{x})}{L(\EMV;\mathbf{x})}
  = \left(\frac{1}{\EMV}\right)^{3n}
    \exp\!\left[-(1-\EMV)\,\frac{3n}{\EMV}\right].
\]
Sea $t = 1/\EMV = \bar{x}/3$; entonces
\[
  \Lambda'(\mathbf{x}) = t^{3n}\,e^{-3n(1-1/t)}.
\]
Esta función \emph{no es simétrica} en torno a $t=1$ (en $\hat\lambda$), de modo que la
región crítica bilateral $\{\Lambda'<c\}$ es de la forma
\[
  \RC' = \left\{\frac{1}{\EMV} < k_1\right\}\cup\left\{\frac{1}{\EMV} > k_2\right\},
  \quad k_1 < 1 < k_2,
\]
donde las constantes $k_1$ y $k_2$ satisfacen simultáneamente:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
  \item $\Lambda'(k_1) = \Lambda'(k_2)$ (misma altura de la función RV),
  \item $P_{\lambda=1}(1/\EMV < k_1) + P_{\lambda=1}(1/\EMV > k_2) = \alpha = 0{,}02$.
\end{enumerate}
Recordemos que bajo $\lambda=1$: $1/\EMV\sim\Gam{90}{90}$.

%--------------------------------------------------------------
\subsection*{Resolución exacta}

\begin{lstlisting}[caption={Cálculo exacto de la región crítica bilateral}]
# Funcion Lambda'(t)
Lambdap <- function(t) t^(3*n) * exp(-3*n*(1 - 1/t))

# Dado k1 < 1, encontrar k2 > 1 tal que Lambda'(k1) = Lambda'(k2)
Calcular_k2 <- function(k1) {
  f <- function(t) Lambdap(t) - Lambdap(k1)
  uniroot(f, c(1 + 1e-8, 3), tol = 1e-10)$root
}

# Probabilidad de la RC como funcion de k1
PRC <- function(k1) {
  k2 <- Calcular_k2(k1)
  pgamma(k1, 3*n, 3*n) + pgamma(k2, 3*n, 3*n, lower.tail = FALSE)
}

# Encontrar k1 tal que PRC(k1) = alpha = 0.02
sol  <- uniroot(function(k1) PRC(k1) - alpha, c(0.5, 0.999), tol = 1e-10)
k1   <- sol$root
k2   <- Calcular_k2(k1)
cat("k1 =", k1, "\n")  # 0.7866009
cat("k2 =", k2, "\n")  # 1.298101

# Decision
iEMV <- 1 / est         # 0.9577778
cat("1/lambda_hat =", iEMV, "\n")
cat("En RC?", (iEMV < k1) || (iEMV > k2), "\n")   # FALSE

# p-valor exacto bilateral: PRC evaluada en el iEMV observado
pval_ex_d <- PRC(iEMV)
cat("p-valor exacto =", pval_ex_d, "\n")  # approx. 0.680
\end{lstlisting}

La región crítica exacta es $\RC'=\{1/\hat\lambda < 0{,}787\}\cup\{1/\hat\lambda > 1{,}298\}$.
Como $1/\hat\lambda\approx0{,}958\in(0{,}787,\,1{,}298)$, \textbf{no rechazamos} $\mathcal{H}_0'$.
El $p$-valor exacto es $\approx0{,}680$.

%--------------------------------------------------------------
\subsection*{Resolución por simulación (Monte Carlo)}

Simulamos la distribución de $\Lambda'$ bajo $\lambda=1$:

\begin{lstlisting}[caption={Contraste bilateral por Monte Carlo}]
set.seed(1234)
B <- 1e5
dist_Lambda <- replicate(B, {
  muestra <- rgamma(n, shape = 3, rate = 1)
  t_sim   <- mean(muestra) / 3          # = 1/lambda_hat_sim
  Lambdap(t_sim)
})

c_mc_d     <- quantile(dist_Lambda, probs = alpha, names = FALSE)
Lambda_obs <- Lambdap(1 / est)
cat("Constante critica c =", c_mc_d, "\n")     # approx. 0.067
cat("Lambda'_obs =", Lambda_obs, "\n")          # approx. 0.921
cat("Rechazamos H0'?", Lambda_obs < c_mc_d, "\n")  # FALSE

pval_mc_d <- mean(dist_Lambda <= Lambda_obs)
cat("p-valor Monte Carlo =", pval_mc_d, "\n")  # approx. 0.68
\end{lstlisting}

De nuevo \textbf{no se rechaza} $\mathcal{H}_0'$.  La RC simulada es $\{\Lambda'<0{,}067\}$;
el valor observado $\Lambda'\approx0{,}921$ está muy lejos del límite.

%--------------------------------------------------------------
\subsection*{Resolución asintótica (teorema de Wilks)}

Por el teorema de Wilks (contraste simple, $1$ grado de libertad):
\[
  -2\ln\Lambda'(\mathbf{X}) \xrightarrow{d} \chi^2_1 \quad\text{bajo }\mathcal{H}_0'.
\]
La región crítica asintótica es
\[
  \RC'_{\text{asint}} = \{-2\ln\Lambda' > \chi^2_{1,\,1-\alpha}\}.
\]

\begin{lstlisting}[caption={Contraste bilateral asintótico (Wilks)}]
stat_wilks_d <- -2 * log(Lambda_obs)
c_wilks_d    <- qchisq(1 - alpha, df = 1)
cat("Estadistico -2 ln Lambda' =", stat_wilks_d, "\n") # approx. 0.165
cat("Valor critico chi^2(1, 0.98) =", c_wilks_d, "\n") # 5.412
cat("Rechazamos H0'?", stat_wilks_d > c_wilks_d, "\n")# FALSE

pval_wilks_d <- pchisq(stat_wilks_d, df = 1, lower.tail = FALSE)
cat("p-valor asintotico =", pval_wilks_d, "\n")         # approx. 0.684
\end{lstlisting}

El estadístico $-2\ln\Lambda'\approx0{,}165$ es muy inferior al valor crítico $5{,}41$;
el $p$-valor asintótico es $\approx0{,}684$.

%--------------------------------------------------------------
\paragraph{Resumen del apartado (d).}
\begin{center}
\begin{tabular}{lccc}
\toprule
Método & Estadístico obs.\ & Valor crítico & $\pval$ \\
\midrule
Exacto (RV)       & $1/\hat\lambda=0{,}958$; $\Lambda'\approx0{,}921$ & $k_1=0{,}787,\,k_2=1{,}298$ & $0{,}680$ \\
Monte Carlo       & $\Lambda'\approx0{,}921$ & $c\approx0{,}067$ & $\approx0{,}680$ \\
Asintótico (Wilks)& $-2\ln\Lambda'\approx0{,}165$ & $5{,}412$ & $0{,}684$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
En los tres casos \textbf{no se rechaza} $\mathcal{H}_0':\lambda=1$ a nivel $0{,}02$.

\vspace{1.5em}
\hrule
\vspace{0.5em}
\noindent\textbf{Conclusión global.}  Los datos son coherentes con el modelo
$\Gam{3}{\lambda}$: tanto el ajuste descriptivo (histograma, Q-Q) como los contrastes
formales de bondad de ajuste (Lilliefors y $\chi^2$) no rechazan dicho modelo.  Además,
los contrastes sobre el valor del parámetro de escala $\lambda$
---tanto el unilateral $(H_0:\lambda\le1)$ como el bilateral $(H_0':\lambda=1)$---
no presentan evidencia suficiente para rechazar $\lambda=1$, con $p$-valores en torno a
$0{,}35$ y $0{,}68$ respectivamente, muy por encima del nivel de significación $0{,}02$.

\end{document}
