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\begin{document}

\begin{center}
{\Large Resolución de la parte de teoría}\\[1ex]
Inferencia Estadística --- Segundo parcial --- 6 de mayo de 2026
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}[label=\alph*)]

\item

La \textbf{función de potencia} de un contraste es la función
\[
\beta(\theta)=\mathbb P_\theta(\text{rechazar }\mathcal H_0)
\]
que da, para cada valor del parámetro, la probabilidad de rechazar la hipótesis nula.

El \textbf{tamaño} del contraste es
\[
\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta),
\]
es decir, la máxima probabilidad de rechazar $\mathcal H_0$ cuando $\mathcal H_0$ es cierta.

La \textbf{probabilidad de error de tipo I} es la probabilidad de rechazar $\mathcal H_0$ siendo cierta. Para un valor concreto $\theta\in\Theta_0$,
\[
\mathbb P_\theta(\text{rechazar }\mathcal H_0)=\beta(\theta).
\]

La \textbf{probabilidad de error de tipo II} para un valor $\theta\in\Theta_1$ es
\[
\mathbb P_\theta(\text{no rechazar }\mathcal H_0)=1-\beta(\theta).
\]

En este problema,
\[
\mathcal H_0:\theta=p_0
\qquad\text{frente a}\qquad
\mathcal H_1:\theta=p_1,
\]
con región crítica
\[
\mathrm{RC}=\left\{\vec x\mid \sum_{i=1}^{10}x_i>5\right\}.
\]

Si definimos
\[
S=\sum_{i=1}^{10}X_i,
\]
entonces, bajo $\theta=p$,
\[
S\sim \mathrm{Binomial}(10,p).
\]

Por tanto, la función de potencia es
\[
\beta(p)=\mathbb P_p(S>5)
=\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}.
\]

Como la hipótesis nula es simple, el tamaño coincide con la probabilidad de error de tipo I:
\[
\alpha=\beta(p_0)
=\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}p_0^k(1-p_0)^{10-k}.
\]

La probabilidad de error de tipo II es
\[
\mathbb P_{p_1}(S\le 5)
=1-\beta(p_1)
=\sum_{k=0}^{5}\binom{10}{k}p_1^k(1-p_1)^{10-k}.
\]

\bigskip

\item

Bajo $\mathcal H_0$, las variables $X_i$ tienen función de distribución $F_0$. Si $F_0$ es continua, entonces la transformación integral de probabilidad implica que
\[
U_i=F_0(X_i)
\]
satisface
\[
U_i\sim\mathcal U(0,1).
\]
Además, como los $X_i$ son independientes, también lo son los $U_i$.

Ahora bien, para cualquier $x\in\mathbb R$,
\[
\mathcal I(X_i\le x)
=\mathcal I(F_0(X_i)\le F_0(x)).
\]
En efecto, al ser $F_0$ no decreciente,
\[
X_i\le x
\implies
F_0(X_i)\le F_0(x).
\]
Y, si $F_0$ es continua, se tiene equivalencia salvo en conjuntos de probabilidad nula.

Por tanto,
\[
\mathcal I(X_i\le x)
=\mathcal I(U_i\le F_0(x)).
\]
Sustituyendo en la expresión de $D_n$,
\[
D_n
=\sup_{x\in\mathbb R}
\left|\frac1n\sum_{i=1}^n\mathcal I(U_i\le F_0(x))-F_0(x)\right|.
\]

Como $F_0$ es continua, al recorrer $x\in\mathbb R$, el valor
\[
u=F_0(x)
\]
recorre todo el intervalo $[0,1]$. Por ello puede hacerse el cambio de variable
\[
u=F_0(x),
\]
y obtener
\[
D_n
=\sup_{0\le u\le 1}
\left|\frac1n\sum_{i=1}^n\mathcal I(U_i\le u)-u\right|.
\]

Esta expresión depende únicamente de variables uniformes independientes en $(0,1)$, y no de la distribución concreta $F_0$. Por eso el estadístico de Kolmogórov--Smirnov es de libre distribución bajo $\mathcal H_0$.

\bigskip

\item

Se define
\[
D_i=X_i-Y_i.
\]
El problema consiste en contrastar
\[
\mathcal H_0:\text{la mediana de }D\text{ es }0
\]
frente a
\[
\mathcal H_1:\text{la mediana de }D\text{ es mayor que }0.
\]

Aunque $X$ y $Y$ sean continuas, no puede asegurarse automáticamente que
\[
\mathbb P(D=0)=0,
\]
pues $X$ y $Y$ son dependientes. Por ejemplo, podría ocurrir que
\[
\mathbb P(X=Y)>0.
\]
Esta cuestión es relevante para algunos contrastes basados en los signos.

Un primer procedimiento es el \textbf{contraste de los signos}. Se consideran las variables
\[
S_i=\mathcal I(D_i>0)
\]
y el estadístico
\[
T=\sum_{i=1}^{10}S_i.
\]

Bajo $\mathcal H_0$, si además se cumple
\[
\mathbb P(D=0)=0,
\]
entonces
\[
\mathbb P(D_i>0)=\mathbb P(D_i<0)=\frac12,
\]
y, por independencia muestral,
\[
T\sim\mathrm{Binomial}(10,1/2).
\]

Como la alternativa es unilateral a la derecha, se rechaza para valores grandes de $T$.

Si existen empates ($D_i=0$), la distribución binomial anterior ya no queda garantizada y habría que modificar el procedimiento, por ejemplo eliminando los empates y ajustando el tamaño muestral efectivo.

Otro procedimiento posible es el \textbf{contraste de rangos con signo de Wilcoxon}. Se consideran los valores absolutos
\[
|D_1|,\dots,|D_{10}|,
\]
se ordenan, se asignan rangos y se suman los rangos correspondientes a diferencias positivas. El estadístico puede tomarse como
\[
W^+=\text{suma de los rangos asociados a }D_i>0.
\]

Bajo $\mathcal H_0$, la distribución de $W^+$ es conocida y tabulada, siempre que:
\begin{itemize}
\item la distribución de $D$ sea continua;
\item la distribución de $D$ sea simétrica respecto de $0$.
\end{itemize}

La continuidad evita empates en los rangos, y la simetría garantiza que los signos positivos y negativos sean equiprobables para cada rango.

Para muestras pequeñas, como $n=10$, se emplea la distribución exacta tabulada de $W^+$.

\end{enumerate}

\end{document}