\documentclass[t]{beamer}
\usepackage[frenchstyle]{kpfonts} % contiene \coloneqq;
% frenchstyle hace que la \D sea recta (y las mayúsculas y las griegas)
\usefonttheme{serif} % con default no se usa kpfont en \ln por ejemplo
\usepackage{dsfont} % para \mathds{1}
\usepackage[spanish]{babel}
\spanishdecimal{\text{\raisebox{1.25ex}{,}}}
\usepackage[utf8]{inputenc} % necesario para beamer viejo
\usepackage{pgfplots} % para tikzpicture
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\newcommand{\sigue}{\sim}%{\stackrel{\mathcal L}{=}}%{\leadsto}
\newcommand{\implica}{\Longrightarrow}
\newcommand{\binomial}[2]{\mathcal{B}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\gausiana}[2]{\mathcal{N}\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\exponencial}[1]{\text{Exp}\left(#1\right)}
\newcommand{\disbeta}[2]{\beta\left(#1,#2\right)}
\newcommand{\poisson}[1]{\text{Poisson}\left(#1\right)}
\newenvironment{solucion}{\begin{quote}}{\end{quote}}
\newcommand{\f}[1]{f_X\left(#1\right)}
\newcommand{\F}[1]{F_X\left(#1\right)}
\newcommand{\fY}[1]{f_Y\left(#1\right)}
\newcommand{\FY}[1]{F_Y\left(#1\right)}
\newcommand{\fGamma}[1]{\Gamma\left(#1\right)}
\newcommand{\indicatriz}[2]{\mathds{1}_{#1}\left(#2\right)}
\newcommand{\Rmas}{(0,\infty)}
\newcommand{\pr}[1]{P\left[#1\right]}
\newcommand{\pc}[2]{P\left[#1\;\middle|\;#2\right]}
\newcommand{\esperanza}[1]{\mathcal{E}\left[#1\right]}
\newcommand{\varianza}[1]{\text{Var}\left[#1\right]}
\newcommand{\covarianza}[2]{\text{Cov}\left[#1,#2\right]}
\newcommand{\primeval}[3]{\left|#1\right|_{#2}^{#3}} % primitiva evaluada
\title{Ejercicios de repaso inicial}
\subtitle{Distribuciones discretas}
\date{Curso 2021-22}
\author{Facultad de Ciencias}
\institute{Universidad Oviedo}
\begin{document}
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{1. Código Morse}
  Un sistema de comunicación que transmite en código Morse cambia el
  10 \% de los puntos en rayas y el 8 \% de las rayas en
  puntos. Además se sabe que el 40 \% de las señales enviadas son
  puntos.
  \begin{enumerate}
  \item [a)] Calcula la probabilidad de recibir un símbolo erróneo.
  \item [b)] Si un mensaje está formado por cien caracteres, ¿cuál es la
    probabilidad de que contenga al menos tres errores?
  \end{enumerate}
  \pause
  \rule{\textwidth}{1pt}
  
  \[ \pc{\text{raya}}{\text{punto}} = \pc{-}{\cdot}=0.1 \]
  \[ \pc{\text{punto}}{\text{raya}} = \pc{\cdot}{-}=0.08 \]
  \[ \pr{\text{punto}}=\pr{\cdot}=0.4 \]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{1a. Código Morse: probabilidad de error}

  \[ \pc{\text{raya}}{\text{punto}} = \pc{-}{\cdot}=0.1 \]
  \[ \pc{\text{punto}}{\text{raya}} = \pc{\cdot}{-}=0.08 \]
  \[ \pr{\text{punto}}=\pr{\cdot}=0.4 \]

    a)
    
  \begin{eqnarray*}
    \pr{\text{error}} &=& 
    \uncover<2->{ \pr{\text{enviar punto y recibir raya}}\\
                      &+& \pr{\text{enviar raya y recibir punto}}\\
    \uncover<3->{     &=& \pc{-}{\cdot}\pr{\cdot}+\pc{\cdot}{-}\pr{-}\\
    \uncover<4->{     &=& 0.1\times0.4+0.08\times0.6 = 0.088}}}
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{1b. Código Morse: al menos 3 errores en 100 caracteres}
  Sea $X$ el número de errores al enviar cien caracteres.

  \[ \left.
    \begin{array}{r}
      \text{Cada envío: error o acierto} \\
      \text{Condiciones experimentales constantes}
    \end{array}\right\} \implica X\sigue\uncover<2->{\binomial{100}{0.088}}
\]
\uncover<3->{
\begin{eqnarray*}
  \pr{X\geq3} &=& \sum_{i=3}^{100}\pr{X=i} \\
              &=& \text{\texttt{sum (dbinom (3:100, 100, 0.088))}} \\
  \text{(otra forma)} &=& 1-\pr{X\leq2} \\
              &=& \text{\texttt{1 - pbinom (2, 100, 0.088)}} \\
              &=& 1 - 0.005666899 = 0.9943331 
\end{eqnarray*}}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{2. Control de calidad}
  La política del Departamento de Control de Calidad de una empresa
  consiste en revisar el proceso de fabricación si al menos el $5$ \% de
  los $15$ componentes revisados semanalmente son defectuosos.
\begin{enumerate}
\item [a)] Sabiendo que en condiciones normales un componente es
  defectuoso con probabilidad $0.01$, calcula la probabilidad de revisar
  por error el proceso de fabricación.
\item [b)] Si en un determinado momento la probabilidad de defectuoso
  es $p = 0.03$, calcula la probabilidad de que el proceso no sea
  revisado.
\end{enumerate}
\pause
  \rule{\textwidth}{1pt}

\[ \pr{\text{defectuoso en condiciones normales}} = 0.01 \]
\pause
\[ X=\text{``número de defectuosos entre los 15 que se revisan''} \]
\[ X \sigue \uncover<4->{\binomial {15} {0.01}} \]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{2a. Control de calidad: prob. revisar por error}
  \[\text{``por error''}\implica\text{revisar estando bien el proceso}\]
  \[\implica\pr{\text{defectuoso}}=0.01\text{ (lo normal)}\]
  \begin{eqnarray*}
  [\text{revisar}] &=& [\text{al menos el 5\% de los 15 son defectuosos}] \\
  \uncover<2->{
                 &=& [X\geq0.05\times15] \\
                 &=& [X\geq0.75] \\}
  \uncover<3->{                &=& [X\geq1] \\
                 && \\
  \pr{\text{revisar}}&=&\pr{X\geq1} \\}
  \uncover<4->{
              &=&1-\pr{X=0} \\}
  \uncover<5->{            &=&1-0.99^{15} \\
              &=&1-0.8600584 \\
              &=&0.1399416}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

% \begin{frame}\frametitle{2a. Control de calidad: prob. no revisar si $p=0.03$}
% \[ X=\text{``número de defectuosos entre los 15 que se revisan''} \]
% \[ X \sigue \uncover<2->{\binomial {15} {0.03}} \]
%   \pause
%   \begin{eqnarray*}
%     \pc{\text{no revisar}}{p=0.03} \uncover<3->{&=& \pr{X=0} \\}
%                                    \uncover<4->{&=& 0.97^{15}\\
%                                    &=& 0.6332512}
%   \end{eqnarray*}
% \end{frame}

% \begin{frame}\frametitle{3. Móviles}
%   El número de teléfonos móviles por familia se puede considerar como
%   una variable aleatoria \(X\) con la siguiente distribución:
%   \[\pr{X=k}=\begin{cases}
%       \frac13 & k=0 \\ c\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} & k=1,2,3,\dots
%     \end{cases}\]
%   donde \(\lambda=\ln2\).
%   \begin{enumerate}
%   \item Calcula el valor de la constante \(c\).
%   \item Calcula la probabilidad de que en una familia haya un número
%     par de teléfonos.
%   \item Calcula el número medio de teléfonos móviles por familia.
%   \end{enumerate}

\begin{frame}
  \frametitle{3. Test}
  
  Un test consta de $5$ preguntas, con dos respuestas cada una, que se
  puntúan de la siguiente manera: si se acierta una pregunta se otorga
  $1$ punto y, si se falla, se quitan $0.25$ puntos. Suponiendo que
  una persona responda al azar y que $X$ represente la puntuación final
  obtenida, calcula:
  \begin{itemize}
  \item[a)] Los valores que puede tomar $X$ y su función de
    probabilidad asociada.
  \item[b)] La probabilidad de que $X$ sea positiva.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{3. Test} 
  
  Un test consta de $5$ preguntas, con dos respuestas cada una, que se
  puntúan de la siguiente manera: si se acierta una pregunta se otorga
  $1$ punto y, si se falla, se quitan $0.25$ puntos. Suponiendo que
  una persona responda al azar y que $X$ represente la puntuación final
  obtenida, calcula:
  \begin{itemize}
  \item[a)] Los valores que puede tomar $X$ y su función de
    probabilidad asociada.
  \end{itemize}
  
  \bigskip$X=Y-0.25(5-Y)$ con $Y\sigue\binomial{5}{0.5}$

  {\footnotesize
\begin{verbatim}
> soporteY <- 0:5
> soporteX <- soporteY-0.25*(5-soporteY)
> rbind (soporteX, prob = prob <- dbinom(soporteY,5,.5))
             [,1]    [,2]   [,3]   [,4]    [,5]    [,6]
soporteX -1.25000 0.00000 1.2500 2.5000 3.75000 5.00000
prob      0.03125 0.15625 0.3125 0.3125 0.15625 0.03125
\end{verbatim}
    }
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{3. Test} 
  
  Un test consta de $5$ preguntas, con dos respuestas cada una, que se
  puntúan de la siguiente manera: si se acierta una pregunta se otorga
  $1$ punto y, si se falla, se quitan $0.25$ puntos. Suponiendo que
  una persona responda al azar y que $X$ represente la puntuación final
  obtenida, calcula:
  \begin{itemize}
  \item[a)] Los valores que puede tomar $X$ y su función de
    probabilidad asociada.
    
{\footnotesize
\begin{verbatim}
soporteX -1.25000 0.00000 1.2500 2.5000 3.75000 5.00000
prob      0.03125 0.15625 0.3125 0.3125 0.15625 0.03125
\end{verbatim}
}
\item[b)] La probabilidad de que $X$ sea positiva.

{  \footnotesize
\begin{verbatim}
> sum (prob [soporteX > 0])
[1] 0.8125
\end{verbatim}
  }
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{4. Móviles}
   El número de teléfonos móviles por familia se puede considerar como
   una variable aleatoria \(X\) con la siguiente distribución:
   \[\pr{X=k}=\begin{cases}
       \frac13 & k=0 \\ c\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} & k=1,2,3,\dots
     \end{cases}\]
   donde \(\lambda=\ln2\).
   \begin{enumerate}
   \item Calcula el valor de la constante \(c\).
%   \item Calcula la probabilidad de que en una familia haya un número
%     par de teléfonos.
   \item Calcula el número medio de teléfonos móviles por familia.
   \end{enumerate}  
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{4. Móviles}
   El número de teléfonos móviles por familia se puede considerar como
   una variable aleatoria \(X\) con la siguiente distribución:
   \[\pr{X=k}=\begin{cases}
       \frac13 & k=0 \\ c\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} & k=1,2,3,\dots
     \end{cases}\]
   donde \(\lambda=\ln2\).
   \begin{enumerate}
   \item Calcula el valor de la constante \(c\).
     \[
       1=\frac13+\sum_{k=1}^\infty c\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}
       =\frac13+c\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^{k}}{k!}
       =\frac13+c e^\lambda=\frac13+2c\Rightarrow c=\frac13
     \]
     
   \item Calcula el número medio de teléfonos móviles por familia.
   \end{enumerate}  
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{4. Móviles}
   El número de teléfonos móviles por familia se puede considerar como
   una variable aleatoria \(X\) con la siguiente distribución:
   \[\pr{X=k}=\begin{cases}
       \frac13 & k=0 \\ c\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} & k=1,2,3,\dots
     \end{cases}\]
   donde \(\lambda=\ln2\).
   \begin{enumerate}
   \item Calcula el valor de la constante \(c\).
     \(
       c=1/3
     \)
   \item Calcula el número medio de teléfonos móviles por familia.
     \begin{eqnarray*}
       \esperanza X
       &=& \frac13\esperanza{X\mid X=0} + \frac23\esperanza{X\mid X>0}\\
       &=& 0 + \frac23\esperanza{X\mid X>0}=
       \frac23 (1+\ln2)
     \end{eqnarray*}
     pues \(\bigl((X-1)\mid X>0\bigr)\sigue\poisson{\lambda}\).
     
   \end{enumerate}  
\end{frame}

  \begin{frame}\frametitle{5. Quiosco}
  La demanda semanal de una revista, en un quiosco, está representada
  por \(D = 4 + X\), donde \(X\) es una binomial con parámetros
  \(n = 4\) y \(p = 0.5\). El precio de venta de cada ejemplar es de
  5~€ y el costo para el vendedor es de 4~€. Además los ejemplares
  pedidos y no vendidos no pueden ser devueltos.
  \begin{enumerate}
  \item[a)] ¿Qué significado tienen los términos \(4\) y \(X\) en la
    expresión de la demanda?  
  \item[b)] Calcula la distribución de probabilidad de \(D\), su media y
    su varianza.  
  \item[c)] Cierta semana el propietario del quiosco encargó seis
    ejemplares. Calcula la distribución de probabilidad de la variable
    \emph{beneficio neto}, su media y su varianza.
  \item[d)] Determina qué número de ejemplares debe encargar el
    propietario para maximizar el beneficio esperado.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{5a. Quiosco: significado de los términos}
  \begin{itemize}\pause
  \item \(4\): demanda fija (clientes habituales).\pause
  \item \(X\): demanda aleatoria, de \(0\) a \(4\) ejemplares.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{5b. Quiosco: distro de \(D\),
  \(\esperanza{D}\), \(\varianza{D}\)}
  \begin{itemize}
  \item \(D\) toma valores \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\).
    \pause
  \item \(\pr{D=k}=\pr{X=k-4}=\pr{\binomial{4}{0.5}=k-4}=
    {4\choose k-4}0.5^4\)
    \pause
  \item \(\esperanza{D}=\esperanza{4+X}=4+\esperanza{X}=4+
    \esperanza{\binomial{4}{0.5}}=4+4\times0.5=6\)
    \pause
  \item \(\varianza{D}=\varianza{4+X}=\varianza{X}=
    \varianza{\binomial{4}{0.5}}=4\times0.5\times0.5=1\)
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{5c. Quiosco: beneficio neto}
  \begin{itemize}
  \item sea \(V\) el número de ejemplares vendidos
    \pause
  \item \(6\) disponibles \(\implies\) \(V\) toma valores
    \(4\), \(5\) y \(6\).
    \pause
  \item \(\pr{V=4}=\pr{D=4}=\pr{X=0}=0.5^4\) \pause
  \item \(\pr{V=5}=\pr{D=5}=\pr{X=1}=4\cdot0.5^4\) \pause
  \item \(\pr{V=6}=\pr{D\in\{6,7,8\}}=\pr{X>1}=11\cdot0.5^4\) \pause
  \item sea \(B=5\cdot V-4\cdot6\) el beneficio neto\pause
  \item \(B\) toma valores \(-4\), \(1\) y \(6\) con 
    probabilidades respectivas a las de \(V\)\pause
  \item \(\esperanza{B}=-4\cdot0.5^4+1\cdot4\cdot0.5^4+
    6\cdot11\cdot0.5^4=\frac{66}{16}\approx4.12\)
    \pause
  \item \(\varianza{D}=(-4)^2\cdot0.5^4+1^2\cdot4\cdot0.5^4+
    6^2\cdot11\cdot0.5^4-\esperanza{B}^2\approx9.03\)
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{5d. Quiosco: maximizar beneficio}
  \begin{itemize}
  \item sea \(n\in\{4,5,6,7,8\}\)
    el número de ejemplares encargados\pause
  \item sea \(V\) el número de ejemplares vendidos
    \pause
  \item \(n\) disponibles \(\implies\) \(V\) toma valores desde
    \(4\) hasta \(\min\{D,n\}\).
    \pause
  \item sea \(B_n=5\cdot V-4\cdot n\) el beneficio neto\pause
  \item \(n=4\implies \esperanza{B_n}=5\cdot4-4\cdot4=4\) (se venden
    los \(4\) ejemplares)\pause
  \item \(n=5\implies \esperanza{B_n}=5\cdot(4\cdot0.5^4+
    5\cdot15\cdot0.5^4)
    -4\cdot5=\frac{75}{16}
    \approx 4.69\)\pause
  \item \(n=6\implies \esperanza{B_n}\approx4.12\) (apartado anterior)
    \pause
  \item \(n=7\implies \esperanza{B_n}=5\cdot(4\cdot0.5^4+
    5\cdot4\cdot0.5^4+
    6\cdot6\cdot0.5^4+
    7\cdot5\cdot0.5^4)
    -4\cdot7=\frac{27}{16}
    \approx 1.69\)\pause
  \item \(n=8\implies \esperanza{B_n}=5\cdot(4\cdot0.5^4+
    5\cdot4\cdot0.5^4+
    6\cdot6\cdot0.5^4+
    7\cdot4\cdot0.5^4+
    8\cdot1\cdot0.5^4)
    -4\cdot8=-2\)\pause
  \item \(n=5\) da el resultado óptimo
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{6. Vidrio}
  Una fábrica de vidrio ha instalado un
  sistema automático de visión artificial para detectar la presencia
  de impurezas en las planchas de vidrio que produce. Se sabe que los
  defectos del vidrio aparecen de manera independiente y por causas
  atribuidas al azar. El número medio de impurezas por cada plancha
  es 1.
  \begin{itemize}
    \item[a)] Determina el modelo de distribución que representa el
      número de defectos por plancha.
    \item[b)] Si una plancha se rechaza cuando presenta 4 ó más
      defectos, ¿cuál es la probabilidad de que una plancha elegida al
      azar sea rechazada?
    \item[c)] Calcula la probabilidad de que sea necesario revisar
      diez planchas para encontrar la primera que se rechace.
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{6. Vidrio}
  Una fábrica de vidrio ha instalado un
  sistema automático de visión artificial para detectar la presencia
  de impurezas en las planchas de vidrio que produce. Se sabe que los
  defectos del vidrio aparecen de manera independiente y por causas
  atribuidas al azar. El número medio de impurezas por cada plancha
  es 1.
  \begin{itemize}
    \item[a)] Determina el modelo de distribución que representa el
      número de defectos por plancha (\(X\)).

      \[\mbox{independencia}\implies X \sigue \poisson{1}\]
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{6. Vidrio}
  Una fábrica de vidrio ha instalado un
  sistema automático de visión artificial para detectar la presencia
  de impurezas en las planchas de vidrio que produce. Se sabe que los
  defectos del vidrio aparecen de manera independiente y por causas
  atribuidas al azar. El número medio de impurezas por cada plancha
  es 1.
  \begin{itemize}
    \item[b)] Si una plancha se rechaza cuando presenta 4 ó más
      defectos, ¿cuál es la probabilidad de que una plancha elegida al
      azar sea rechazada?

      \[\pr{X\ge4} = \mbox{\tt 1-ppois(3,1)}\approx0.019\]
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{6. Vidrio}
  Una fábrica de vidrio ha instalado un
  sistema automático de visión artificial para detectar la presencia
  de impurezas en las planchas de vidrio que produce. Se sabe que los
  defectos del vidrio aparecen de manera independiente y por causas
  atribuidas al azar. El número medio de impurezas por cada plancha
  es 1.
  \begin{itemize}
    \item[c)] Calcula la probabilidad de que sea necesario revisar
      diez planchas para encontrar la primera que se rechace.
\begin{verbatim}
> dgeom(9, p) # exactamente diez planchas
[1] 0.01597905
> 1-pgeom(8, p) # al menos diez planchas
[1] 0.8415274
\end{verbatim}
    \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{7. Neutrinos}
  En un experimento diseñado para conocer las propiedades de los
  neutrinos, se ha construido un depósito rodeado de
  fotomultiplicadores, capaces de detectar la colisión entre un
  neutrino y un electrón. Además por las predicciones teóricas se
  supone que el número medio diario de colisiones es $0.5$.
  \begin{enumerate}
  \item [a)] ¿Qué tipo de variable puede describir este experimento?
  \only<1>{
  \item [b)] Calcula la probabilidad de que en un día cualquiera se
    puedan obtener tres o más colisiones.
  \item [c)] Calcula la distribución del número de colisiones que
    aparecen en una semana.
  \item [d)] Tras un año de trabajo se han obtenido las siguientes
    frecuencias de colisiones:
    \begin{center}
      \begin{tabular}{lccccc}
        $x_i$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$ \\
        $n_i$&$214$&$113$&$33$&$4$&$1$
      \end{tabular}
    \end{center}
    Compara los resultados teóricos con los observados
    experimentalmente.}
\end{enumerate}
\only<2->{
  \[X = \text{``número de colisiones en un día''}\]
  }
\only<3->{
  \[ \left.
    \begin{array}{r}
      \text{\parbox{15em}{\flushright Condiciones experimentales\\constantes}}\\
      \text{\parbox{15em}{\flushright Colisiones producidas\\de forma independiente}} \\
      \text{\parbox{15em}{\flushright Probabilidad de colisión\\constante}}
    \end{array}\right\} \implica X\sigue\uncover<4->{\poisson{\lambda=0.5}}
\]
  }
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{7b. Neutrinos: prob. 3 o más colisiones}
  \begin{eqnarray*}
    \pr{X\geq3} &=& \uncover<2>{1-\pr{X\leq2}\\
                &=& \text{\texttt{1 - ppois(2,0.5)}}\\
    \text{(otra forma)} &=& 1-\pr{X=0}-\pr{X=1}-\pr{X=2}\\
                &=&1-e^{-\lambda}\frac{\lambda^0}{0!}
                    -e^{-\lambda}\frac{\lambda^1}{1!}
                    -e^{-\lambda}\frac{\lambda^2}{2!}\\
                &=&1-e^{-0.5}\left(1+0.5+0.125\right)\\
                &=& 1 - 0.9856123 \\
                &=& 0.01438768 }
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{7c. Neutrinos: distribución por semana}
  Las colisiones de días distintos
  \begin{itemize}
  \item son independientes y
  \item siguen la misma distribución $\poisson{0.5}$.
  \end{itemize}
  Por tanto, \pause se puede aplicar la propiedad de reproductividad
  para conocer la distribución de
  \begin{eqnarray*}
    S &=& \text{``número de colisiones en una semana''}\\
      &=& X_1 + \cdots + X_7\\
      &\sigue& \uncover<3->{\poisson{7 \times 0.5} \\
      &=& \poisson{3.5}}
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{7d. Neutrinos: comparar muestra con teoría}
  Para hacer la comparación se va a calcular el número esperado de días, en el año,
  con $k$ colisiones, es decir,
  \[ 365\times\pr{X=k}=365\times e^{-0.5}\frac{0.5^k}{k!} \]
  Por ejemplo, con R:
  \begin{itemize}
  \item \texttt{365 * dpois (0:4, 0.5)}
  \item \texttt{365 * (1 - ppois (4, 0.5))}
  \end{itemize}

      \begin{center}
      \begin{tabular}{ccccccc}
        $x_i$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$>4$ \\
        obs.&$214$&$113$&$33$&$4$&$1$&$0$ \\
        esp.&$221.3836$&$110.6918$&$27.6729$&$4.6121$&$0.5765$&$0.0628$
      \end{tabular}
    \end{center}
    Las frecuencias observadas en el experimento se parecen mucho a
    las esperadas según el modelo teórico formulado.
\end{frame}
\end{document}