\documentclass[t]{beamer}
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% frenchstyle hace que la \D sea recta (y las mayúsculas y las griegas)
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\usepackage{nccmath}  % para fleqn
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\newenvironment{solucion}{\begin{quote}}{\end{quote}}
\newcommand{\f}[1]{f_X\left(#1\right)}
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\newcommand{\FY}[1]{F_Y\left(#1\right)}
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\title{Ejercicios de repaso inicial}
\subtitle{Distribuciones continuas}
\date{Curso 2024-25}
\author{Facultad de Ciencias}
\institute{Universidad Oviedo}
\begin{document}
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1}
Se considera una variable aleatoria \(X\) con función de densidad
\[
\f{x}=
\begin{cases}
  a & \text{si }3<x<5\\
  (9-x)\,a/4 & \text{si }5\leq x<9\\
  0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

\begin{itemize}
\item [a)] Calcula el valor de \(a\)
  para que la anterior función sea de densidad y representa esta
  función.
\item [b)] Calcula y representa la función de distribución de la variable
  anterior.
\item [c)] Calcula la media y la varianza de esta variable.
\item [d)] Calcula la distribución de $X^2$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1a}
  Calcula el valor de \(a\)
  para que la anterior función sea de densidad y representa esta
  función.\pause
  \begin{eqnarray*}
   1=\varint f(x)\D{x} &=& \int_3^5 a\D{x}+\int_5^9 (9-x)\frac a4\D{x}\\
\uncover<3->{    &=& 2a+\primeval{\frac{-a}8(9-x)^2}{x=5}{x=9}\\
    &=& 4a\\
    &\Rightarrow& \quad a=\frac14}
  \end{eqnarray*}
  \pgfplotsset{width=10cm,height=3.5cm}
\uncover<4->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=2, xmax=10, ymin=-.05, ymax=.3]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{1/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=10]{(9-x)*1/4/4};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:10,samples=10]{0};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1b}
  Calcula y representa la función de distribución de la variable
  anterior.
\pause
\[
\F{x}=\int_{-\infty}^x \f{t}\D{t}=
  \begin{cases}
    \uncover<3->{0 & \text{si }x\leq3\\[1.5ex]}
    \uncover<4->{\int_3^x \frac14\D{t}=\frac{x-3}4 & \text{si }3<x\leq5\\[1.5ex]}
    \uncover<5->{\int_3^5 \frac14\D{t}+\int_5^x (9-t)\frac1{16}\D{t}={}&\\[1.5ex]}
    \uncover<6->{=\frac12+\primeval{-\frac 1{32}(9-t)^2}{t=5}{t=x} = &\\[1.5ex]}
    \uncover<7->{=\frac12-\frac1{32}(9-x)^2+\frac12 = &\\[1.5ex]}
    \uncover<8->{=1 - \frac{(9-x)^2}{32} & \text{si }5<x\leq 9\\[1.5ex]}
    \uncover<9->{1 & \text{si }x\geq 9}
  \end{cases}
\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio1b}
    \pgfplotsset{width=0.9\textwidth,height=0.9\textheight}
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
      xmin=2, xmax=10,
      ymin=-.1, ymax=1.1]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2.2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{(x-3)/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=100]{1-(9-x)^2/32};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:9.8,samples=10]{1};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio1c}
  Calcula la media y la varianza de esta variable.

  \begin{fleqn}[0pt]
    \begin{alignat*}{2}
    \esperanza{X} &= \uncover<2->{\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot\f{x}\D{x} \\}
                 \uncover<3->{ &= \int_3^5 x\frac14\D{x} + \int_5^9 x(9-x)\frac1{16}\D{x} \\}
                 \only<5->{ &= \text{\texttt{integrate (x/4, x, 3, 5) }}
\text{\texttt{\hspace{2em}/* código Maxima */}} \\
                  &  \text{\texttt{ + integrate (x*(9-x)/16, x, 5, 9);}} \\
                  &= 5+1/6}
                 \only<4>{
                      &= 
\primeval{\text{\texttt{integrate(x/4,x)}}}{x=3}{x=5}
\text{\texttt{\hspace{5em}/* código Maxima */}} \\
                      &+ \primeval{\text{\texttt{integrate(x*(9-x)/16,x)}}}{x=5}{x=9}\\
                      &= \primeval{\frac{x^2}8}{x=3}{x=5} + \primeval{-{{2\,x^3-27\,x^2}\over{96}}}{x=5}{x=9} \\
                      &=\frac{25}8-\frac98\quad+\quad\frac{243}{32}-\frac{425}{96}\\
                      &=2+\frac{19}6=5+\frac16
                      }
    \end{alignat*}
  \end{fleqn}
  \pgfplotsset{width=10cm,height=3.5cm}
\only<6->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=2, xmax=10, ymin=-.05, ymax=.3]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{1/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=10]{(9-x)*1/4/4};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:10,samples=10]{0};
      \addplot[red,thick] coordinates{(31/6,-.05) (31/6,.3)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Ejercicio1c}
  Calcula la media y la varianza de esta variable.

  \[ \varianza{X} = \esperanza{X^2} - (\esperanza{X})^2 \]
  \pause
  \begin{eqnarray*}
    \esperanza{X^2} &=&\int_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot\f{x}\D{x} \\
    &=& \int_3^5 \frac{x^2}4\D{x}+\int_5^9\frac{x^2(9-x)}{16}\D{x}\\
    &=& \primeval{\frac{x^3}{12}}{x=3}{x=5} +
        \primeval{-{{x^4-12\,x^3}\over{64}}}{x=5}{x=9} \\
    &=& \frac{125}{12}-\frac94\quad+\quad\frac{2187}{64}-\frac{875}{64}\\
    &=& \frac{86}3\implica\varianza{X}=\frac{71}{36}\implica\desvio{X}\approx1.4
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1d}
  Calcula la distribución de $X^2$.

  \[Y = X^2\]
  \pause
  Como el soporte de $X$ es positivo, la transformación por el cuadrado
  es estrictamente creciente y positiva:

  \[\soporte{X}=(3,9)\implica\soporte{Y}=(9,81)\]
  \pause
  \[
  \FY{y} = \pr{Y\leq y} = \pr{X^2\leq y} = \pr{X\leq\sqrt{y}} = \F{\sqrt{y}}
  \]\pause
  \[\fY{y} = \deriv{\FY{y}}{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \f{\sqrt{y}}\]

\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1d}
\[\fY{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \f{\sqrt{y}}=
\begin{cases}
  \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot a = \frac1{8\sqrt{y}} & \text{si }9<y<25\\
  \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot(9-\sqrt y)\frac a4=
  \frac{9-\sqrt y}{32\sqrt{y}} & \text{si }25\leq y<81\\
  0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

\pgfplotsset{width=1.05\textwidth,height=6cm}
\uncover<2->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=5, xmax=85, ymin=-.01, ymax=.05, scaled ticks=false,
      yticklabel=$\tick$]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=5:9,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=9:25,samples=10]{1/8/sqrt(x)};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=25:81,samples=10]
      {(9-sqrt(x))/32/sqrt(x)};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=81:85,samples=10]{0};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Ejercicio 2}
  
  El tiempo que tarda en producirse la primera avería en cierta marca
  de teléfonos sigue una distribución normal con un promedio de $500$
  horas y una desviación estándar de $20$ horas.
  \begin{itemize}
\item[a)] ¿Qué fracción de esos teléfonos fallarán antes de $530$ horas?
\item[b)] ¿Qué fracción de esas teléfonos tendrán la primera avería
  entre $400$ y $600$ horas?
\item[c)] ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía para estos teléfonos
  si el fabricante desea que sólo presente averías el 5 \% de los
  teléfonos dentro del tiempo de garantía?
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 2}
  
  El tiempo que tarda en producirse la primera avería en cierta marca
  de teléfonos sigue una distribución normal con un promedio de $500$
  horas y una desviación estándar de $20$ horas.
  \begin{itemize}
  \item[a)] 
\begin{verbatim}
> pnorm (530, 500, 20)
[1] 0.9331928
\end{verbatim}
\item[b)] 
\begin{verbatim}
> diff (pnorm (c(400,600), 500, 20))
[1] 0.9999994
\end{verbatim}
\item[c)] 
\begin{verbatim}
> qnorm (.05, 500, 20)
[1] 467.1029
\end{verbatim}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Ejercicio 3}

  La longitud de cierto tipo de piezas producidas por dos fábricas $A$
  y $B$, se distribuye normalmente con parámetros
  $A \sigue \gausiana{4}{0.5}$, $B \sigue
  \gausiana{3.9}{0.4}$. Sabiendo que una pieza se considera defectuosa
  cuando su longitud es inferior a $3$ ó superior a $5$ y que el $60$
  \% de las piezas son producidas por $A$ y el restante $40$ \% por
  $B$, calcula:
\begin{itemize}
\item[a)] La función de densidad de la variable longitud.
\item[b)] La probabilidad de que una pieza elegida al azar no sea
  defectuosa.
\item[c)] La probabilidad de que al elegir tres piezas ninguna sea
  defectuosa.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 3}

  La longitud de cierto tipo de piezas producidas por dos fábricas $A$
  y $B$, se distribuye normalmente con parámetros
  $A \sigue \gausiana{4}{0.5}$, $B \sigue
  \gausiana{3.9}{0.4}$. Sabiendo que una pieza se considera defectuosa
  cuando su longitud es inferior a $3$ ó superior a $5$ y que el $60$
  \% de las piezas son producidas por $A$ y el restante $40$ \% por
  $B$, calcula:
\begin{itemize}
\item[a)]
\begin{verbatim}
function (x)
  .6 * dnorm(x, 4, .5) + .4 * dnorm(x, 3.9, .4)
\end{verbatim}
\item[b)]
\begin{verbatim}
F <- function (x)
  .6 * pnorm(x, 4, .5) + .4 * pnorm(x, 3.9, .4)
p <- diff (F (c(3,5))) # 0.9666181
\end{verbatim}
\item[c)]
\begin{verbatim}
p^3 # 0.9031603
\end{verbatim}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 4}
  Una fábrica produce pistones cuyos diámetros siguen una distribución
  normal de media $50$ mm y desviación típica de $0.01$ mm. Para que
  un pistón sirva, su diámetro debe estar entre $49.98$ y $50.02$
  mm. Si el diámetro es menos de $49.98$ se rechaza; si es mayor que
  $50.02$ se reprocesa una sola vez y el nuevo diámetro sigue una
  distribución normal de media $49.99$ y desviación típica $0.01$.

  Calcula:
  \begin{itemize}
  \item [a)] la probabilidad de que un pistón sea defectuoso;
  \item [b)] la probabilidad de que entre $10$ pistones elegidos al azar
    solamente uno sea reprocesado.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 4a}
Calcula la probabilidad de que un pistón sea defectuoso.
\pause
\[D= \text{``diámetro de las piezas''}\sigue \gausiana{50}{0.01}\]
\pause
\[ND= \text{``nuevo diámetro de piezas procesadas''}
\sigue \gausiana{49.99}{0.01}\]
\pause
\begin{eqnarray*}
[\text{defectuosa}]&=&[D<49.98]\\&\cup&
\Bigl([D>50.02] \cap \bigl([ND<49.98]\cup[ND>50.02]\bigr)\Bigr)
\end{eqnarray*}
\pause
\begin{eqnarray*}
\pr{\text{defectuosa}}&=&\pr{D<49.98}\\&+&
\Bigl(\pr{D>50.02} \times \bigl(\pr{ND<49.98}+\pr{ND>50.02}\bigr)\Bigr)
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 4a}
  \begin{eqnarray*}
    \pr{D<49.98} &=&  \pr{\gausiana{0}{1} < -2}= 0.02275013\\
    \pr{D>50.02} &=&  \pr{\gausiana{0}{1} > \phantom{-}2}= 0.02275013\\
    \pr{ND<49.98} &=& \pr{\gausiana{0}{1} < -1}= 0.1586553\\
    \pr{ND>50.02} &=& \pr{\gausiana{0}{1} > \phantom{-}3}= 0.001349898
  \end{eqnarray*}
\pause
\begin{eqnarray*}
\pr{\text{defectuosa}}&=&\pr{D<49.98}\\&+&
\Bigl(\pr{D>50.02} \times \bigl(\pr{ND<49.98}+\pr{ND>50.02}\bigr)\Bigr)\\
&=&0.02275013 \\&+&  0.02275013 \times (0.1586553 + 0.001349898) \\
&=&0.02639027
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 4b}
Calcula la probabilidad de que entre $10$ pistones elegidos al azar
solamente uno sea reprocesado.

\pause\[[\text{reprocesar}] = [D>50.02]\]
\pause\[\pr{\text{reprocesar}}=0.02275013\]
\pause\[X=\text{``número de piezas reprocesadas entre las 10 elegidas''}\]
\pause\[X\sigue\binomial{10}{0.02275013}\]
\pause\[\pr{X=1}=10 \cdot 0.02275013 \cdot (1 - 0.02275013)^9 =0.1849415\]
\pause\[\text{En R:\quad\texttt{dbinom (1, 10, 0.02275013)}}\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 5}
  La duración en años de los discos duros producidos por una fábrica A
  sigue una distribución exponencial, con promedio de 3 años. Un disco
  duro se considera defectuoso si dura menos de un año.
  \begin{itemize}
  \item [a)] Calcula la probabilidad de que un disco duro elegido al
    azar no sea defectuoso.
  \item [b)] Calcula la probabilidad de que haya que probar 6 discos
    duros hasta para encontrar el primero defectuoso.
  \item [c)] Si el 60 \% de los discos duros que se venden en una
    tienda proceden de la fábrica A y, el 40 \% restante, de una
    segunda fábrica B, donde la duración de los discos duros sigue una
    distribución exponencial de parámetro $\lambda=4$, calcula la
    probabilidad de que un disco duro vendido en la tienda resulte
    defectuoso.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 5a}
Calcula la probabilidad de que un disco duro elegido al
    azar no sea defectuoso.

\pause
\[ X_i = \text{``duración, en años, de un disco duro de la fábrica $i$''} \]
\pause
\[X_A\sigue\exponencial{\text{media}=3}=\exponencial{\lambda=\frac13}\]
\pause
\[f_A(x)=\frac13 e^{-\frac13x} \cdot \indicatriz{(0,\infty)}{x}\]
\pause
\[\pc{\text{defectuoso}}{\text{A}} = \pr{X_A<1} =
\int_0^1\frac13e^{-\frac13x}\D{x}=1-e^{-\frac13}=0.2835\]
\pause
\[\pc{\text{no defectuoso}}{\text{A}} =1-\pc{\text{defectuoso}}{\text{A}}=1-0.2835=0.7165\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 5b}

\[ \pr{\text{probar 6 discos hasta el primero defectuoso}} = \]
\pause
\[=\pr{\text{5 primeros bien y el sexto, defectuoso}}=\]
\pause
\[=(1-\pc{\text{defectuoso}}{\text A})^5 \times \pc{\text{defectuoso}}{\text A}=\]

\[=(1-0.2834687)^5\times 0.2834687 = 0.05354032\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 5c}
 Si el 60 \% de los discos duros que se venden en una
    tienda proceden de la fábrica A y, el 40 \% restante, de una
    segunda fábrica B, donde la duración de los discos duros sigue una
    distribución exponencial de parámetro $\lambda=4$, calcula la
    probabilidad de que un disco duro vendido en la tienda resulte
    defectuoso.
\pause
\[X_B\sigue\exponencial{\lambda=4}\implica\pc{\text{defectuoso}}{\text B}=
  \pr{X_B<1}=\]\pause
\[= \int_0^1 4e^{-4x}\D{x}=\primeval{- e^{-4x}}{x=0}{x=1}=1-e^{-4}=0.98168436\]\pause
\begin{eqnarray*}
  \pr{\text{defectuoso}}&=&\uncover<5->{\pr{\text{defectuoso}\cap \text A}
                            +\pr{\text{defectuoso}\cap\text B}\\}
                  &=&\uncover<6->{\pc{\text{defectuoso}}{\text A}\cdot\pr{\text A}
                            +\pc{\text{defectuoso}}{\text B}\cdot\pr{\text B}\\}
                  &=&\uncover<7->{0.2834687\times0.60+0.9816844\times0.40\\
                        &=&0.562755}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 6}
  La duración en horas de cierto componente eléctrico viene
  determinada por una variable aleatoria con distribución exponencial
  de media $100$. Un equipo electrónico utiliza tres de estos
  componentes, que trabajan de forma independiente. Sabiendo que el
  equipo deja de funcionar si fallan al menos dos de los componentes,
  calcula las probabilidad siguientes:
  \begin{itemize}
  \item[a)] El equipo trabaje por lo menos $200$ horas sin avería.
  \item[b)] El equipo trabaje sin avería más de $200$ horas y menos de
    $500$ horas.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]\frametitle{Ejercicio 6}
  La duración en horas de cierto componente eléctrico viene
  determinada por una variable aleatoria con distribución exponencial
  de media $100$. Un equipo electrónico utiliza tres de estos
  componentes, que trabajan de forma independiente. Sabiendo que el
  equipo deja de funcionar si fallan al menos dos de los componentes,
  calcula las probabilidad siguientes:
  \begin{itemize}
  \item[a)] 
\begin{verbatim}
p <- 1 - pexp(200, 1/100)        # 0.1353353 
p1 <- sum(dbinom(2:3, 3, p))     # 0.04998941
\end{verbatim}
  \item[b)] 
\begin{verbatim}
p500 <- 1 - pexp(500, 1/100)     # 0.006737947
p2 <- sum(dbinom(2:3, 3, p500))  # 0.000135588
p1 - p2                          # 0.04985382
## simulando
expos  <- matrix (rexp (3e5, .01), 3)
distro <- apply (expos, 2, function (x) sort(x)[2])
mean(distro > 200) - mean(distro > 500)
## 0.05011 0.04947 0.04955 0.04966 etc
\end{verbatim}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]\frametitle{Ejercicio 7}
  Una empresa telefónica está estudiando las características que debe
  cumplir una central telefónica para atender una zona en la que se
  espera recibir una media de $300$ llamadas por minuto. Además
  pretende que en el $99.9$ \% de los casos los usuarios no sufran
  ningún tipo de demora. ¿Cuál debe ser la capacidad de la central
  para cumplir esas especificaciones?
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]\frametitle{Ejercicio 7}
  Una empresa telefónica está estudiando las características que debe
  cumplir una central telefónica para atender una zona en la que se
  espera recibir una media de $300$ llamadas por minuto. Además
  pretende que en el $99.9$ \% de los casos los usuarios no sufran
  ningún tipo de demora. ¿Cuál debe ser la capacidad de la central
  para cumplir esas especificaciones?

\begin{verbatim}
qpois(.999, 300) # 355
\end{verbatim}
  Con $355$ puestos de atención las cumpliría.
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 8}
  Se ha diseñado un sensor para detectar obstáculos que puede servir
  de ayuda a las personas discapacitadas. El tiempo medio de respuesta
  del sensor es de $0.5$ segundos.
  \begin{itemize}
\only<1-4>{\item [a)] Suponiendo que la distribución del tiempo de respuesta es
    exponencial, calcula la probabilidad de que la variable se
    diferencie de la media más de $0.3$ segundos.}
\only<1,5->{
  \item [b)] Calcula cuánto debería valer el tiempo medio de respuesta
    para que la probabilidad $\pr{T>1}$ sea menor o igual a $0.0001$.}
  \end{itemize}
\only<2-4>{ \[T = \text{``tiempo de respuesta del sensor''}\]}
\only<3-4>{  \vspace{-4.5ex}\[T\sigue
  \exponencial{\text{media}=0.5}=\exponencial{\lambda=2}\]}
\only<4>{ \vspace{-4.5ex}
  \begin{eqnarray*}
    \pr{|T-\text{media}|>0.3} &=& \pr{T-0.5<-0.3}+\pr{T-0.5>0.3}\\
    &=&\pr{T<0.2}+\pr{T>0.8}\\
    &=&\int_0^{0.2}2e^{-2t}\D{t}+\int_{0.8}^{\infty}2e^{-2t}\D{t}\\
    &=&1-e^{-2\times0.2}+e^{-2\times0.8}=0.5315765
  \end{eqnarray*}
}
\only<6->{
\[\pr{T>1}=\int_1^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\D{x}= e^{-\lambda}\leq0.0001\]
}
\only<7->{Aplicando logaritmo neperiano se obtiene:}
\only<8->{\[-\lambda\leq\ln 0.0001\]}
\only<9->{\[\lambda\geq-\ln0.0001=9.21034\]}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 9}
  El ordenador central de una empresa recibe, según
  una distribución de Poisson, un promedio de
  $25$ mensajes por minuto.
  \begin{itemize}
  \item[a)] Calcula la probabilidad de que entre dos mensajes
    consecutivos transcurran al menos, 2 minutos.
  \item[b)] Calcula el tiempo medio que transcurre entre dos mensajes
    consecutivos.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 9}
  El ordenador central de una empresa recibe, según
  una distribución de Poisson, un promedio de
  $25$ mensajes por minuto.
  \begin{itemize}
  \item[a)] Calcula la probabilidad de que entre dos mensajes
    consecutivos transcurran al menos, 2 minutos.
\begin{verbatim}
dpois(0, 25*2) # 1.92875e-22
\end{verbatim}
  \item[b)] Calcula el tiempo medio que transcurre entre dos mensajes
    consecutivos.
\begin{verbatim}
1/25 * 60 # 2.4 segundos
\end{verbatim}
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 10}
  Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
  $\uniforme{-\pi}{\pi}$, que representa el voltaje producido al
  transformar la voz en una señal eléctrica.
  Para analizarla de manera más adecuada se define una
  nueva variable aleatoria $Y \coloneqq \cos X$.
  \begin{itemize}
\item[a)] Calcula la distribución de $Y$.
\item[b)] ¿Cuál es su valor esperado?
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 10}
  Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
  $\uniforme{-\pi}{\pi}$, que representa el voltaje producido al
  transformar la voz en una señal eléctrica.
  Para analizarla de manera más adecuada se define una
  nueva variable aleatoria $Y \coloneqq \cos X$.
  \begin{itemize}
\item[a)] Calcula la distribución de $Y$.

  \begin{eqnarray*}
    -1\le x\le1\implies F_Y(x)
    &=&\pr{Y\le x} =\pr{\cos X\le x}\\
    &=&\pr{X\le-\arccos x}+\pr{X\ge\arccos x}\\
    &=&F_X(-\arccos x)+1-F_X(\arccos x)\\
    &=&\frac{-\arccos x-(-\pi)}{2\pi}+\frac{\pi-\arccos x}{2\pi}\\
    &=&1-\frac{1}{\pi}\arccos x\\
    f_Y(x)&=&\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}}\sigue2\cdot\disbeta{\frac12}{\frac12}-1
  \end{eqnarray*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Ejercicio 10}
  Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
  $\uniforme{-\pi}{\pi}$, que representa el voltaje producido al
  transformar la voz en una señal eléctrica.
  Para analizarla de manera más adecuada se define una
  nueva variable aleatoria $Y \coloneqq \cos X$.
  \begin{itemize}
  \item[b)] ¿Cuál es su valor esperado?

    \[\esperanza Y=0\] pues $f_Y$ es simétrica respecto al cero. Además,

    \[\esperanza Y=2\cdot\esperanza{\disbeta{\frac12}{\frac12}}-1=0\]
    \end{itemize}
  \end{frame}

  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 11}
    Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
    $\uniforme0{2\pi}$ que representa el voltaje producido al
    transformar la voz en una señal elécctrica.
    Para analizarla de manera más adecuada se define una
    nueva variable aleatoria $Y \coloneqq \sen X$.
    \begin{itemize}
    \item [a)] Calcula la distribución de $Y$.
    \item [b)] ¿Cuál es su valor esperado?
    \end{itemize}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 11}
    \begin{itemize}
    \item [a)] Calcula la distribución de $Y$.
      \begin{eqnarray*}
    -1\le x\le0&\implies&\\ F_Y(x)
    &=&\pr{Y\le x} =\pr{\sen X\le x}\\
    &=&\pr{X\le\arcsen x+2\pi}-\pr{X\le\pi-\arcsen x}\\
    &=&F_X(\arcsen x+2\pi)-F_X(\pi-\arcsen x)\\
    &=&\frac{\arcsen x+2\pi}{2\pi}-\frac{\pi-\arcsen x}{2\pi}\\
    &=&\frac{\arcsen x}{\pi} + \frac12\\
    f_Y(x)&=&\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}}
  \end{eqnarray*}
      \end{itemize}
  \end{frame}
  
  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 11}
    \begin{itemize}
    \item [a)] Calcula la distribución de $Y$.
      \begin{eqnarray*}
    0\le x\le1&\implies&\\ F_Y(x)
    &=&\pr{Y\le x} =\pr{\sen X\le x}\\
    &=&\pr{X\le\arcsen x}+\pr{X\ge\pi-\arcsen x}\\
    &=&F_X(\arcsen x)+1-F_X(\pi-\arcsen x)\\
    &=&\frac{\arcsen x}{2\pi}+1-\frac{\pi-\arcsen x}{2\pi}\\
    &=&\frac{\arcsen x}{\pi} + \frac12\\
    f_Y(x)&=&\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}}
  \end{eqnarray*}
      \end{itemize}
  \end{frame}

  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 11}
    Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
    $\uniforme0{2\pi}$ que representa el voltaje producido al
    transformar la voz en una señal elécctrica.
    Para analizarla de manera más adecuada se define una
    nueva variable aleatoria $Y \coloneqq \sen X$.
    \begin{itemize}
    \item [a)] Calcula la distribución de $Y$.
      \begin{eqnarray*}
    -1\le x\le1&\implies&\\
    f_Y(x)&=&\frac1{\pi\sqrt{1-x^2}}\sigue2\cdot\disbeta{\frac12}{\frac12}-1
  \end{eqnarray*}
\item [b)] ¿Cuál es su valor esperado?

  \[
    \esperanza{Y}=2\cdot\esperanza{\disbeta{\frac12}{\frac12}}-1 = 0
  \]
    \end{itemize}
  \end{frame}

  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 12}
    Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
    $\disbeta 3 1$. Calcula la distribución de $Y \coloneqq 1 - X$,
    $Z \coloneqq -\log X$, $T \coloneqq -\log(1 - X)$.
  \end{frame}
  
  \begin{frame}\frametitle{Ejercicio 12}
    Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
    $\disbeta 3 1$. Calcula la distribución de $Y \coloneqq 1 - X$,
    $Z \coloneqq -\log X$, $T \coloneqq -\log(1 - X)$.

    \begin{itemize}
    \item $f_x(x)\propto x^2\implies F_x(x)=x^3$
    \item $Y\sigue\disbeta13$
    \item $Z\sigue\exponencial3$ ; $x>0$ :
      \[F_Z(x)=\pr{Z\le x}=\pr{-\log X\le x}=\pr{X\ge e^{-x}}=1-e^{-3x}\]
    \item $x>0$ :
      \[F_T(x)=\pr{T\le x}=\pr{-\log (1-X)\le x}=\pr{1-X\ge e^{-x}}={}\]
      \[=\pr{X\le 1-e^{-x}}=F_X(1-e^{-x})=\left(1-e^{-x}\right)^3\]
    \end{itemize}
  \end{frame}
  
\end{document}