\documentclass[t]{beamer}
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\title{Ejercicios de repaso inicial}
\subtitle{Distribuciones continuas}
\date{Curso 2021-22}
\author{Facultad de Ciencias}
\institute{Universidad Oviedo}
\begin{document}
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1}
Se considera una variable aleatoria \(X\) con función de densidad
\[
\f{x}=
\begin{cases}
  a & \text{si }3<x<5\\
  (9-x)a/4 & \text{si }5\leq x<9\\
  0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

\begin{itemize}
\item [a)] Calcula el valor de \(a\)
  para que la anterior función sea de densidad y representa esta
  función.
\item [b)] Calcula y representa la función de distribución de la variable
  anterior.
\item [c)] Calcula la media y la varianza de esta variable.
\item [d)] Calcula la distribución de $X^2$.
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1a}
  Calcula el valor de \(a\)
  para que la anterior función sea de densidad y representa esta
  función.\pause
  \begin{eqnarray*}
   1=\varint f(x)\D{x} &=& \int_3^5 a\D{x}+\int_5^9 (9-x)\frac a4\D{x}\\
\uncover<3->{    &=& 2a+\primeval{\frac{-a}8(9-x)^2}{x=5}{x=9}\\
    &=& 4a\\
    &\Rightarrow& \quad a=\frac14}
  \end{eqnarray*}
  \pgfplotsset{width=10cm,height=3.5cm}
\uncover<4->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=2, xmax=10, ymin=-.05, ymax=.3]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{1/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=10]{(9-x)*1/4/4};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:10,samples=10]{0};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1b}
  Calcula y representa la función de distribución de la variable
  anterior.
\pause
\[
\F{x}=\int_{-\infty}^x \f{t}\D{t}=
  \begin{cases}
    \uncover<3->{0 & \text{si }x\leq3\\[1.5ex]}
    \uncover<4->{\int_3^x \frac14\D{t}=\frac{x-3}4 & \text{si }3<x\leq5\\[1.5ex]}
    \uncover<5->{\int_3^5 \frac14\D{t}+\int_5^x (9-t)\frac1{16}\D{t}={}&\\[1.5ex]}
    \uncover<6->{=\frac12+\primeval{-\frac 1{32}(9-t)^2}{t=5}{t=x} = &\\[1.5ex]}
    \uncover<7->{=\frac12-\frac1{32}(9-x)^2+\frac12 = &\\[1.5ex]}
    \uncover<8->{=1 - \frac{(9-x)^2}{32} & \text{si }5<x\leq 9\\[1.5ex]}
    \uncover<9->{1 & \text{si }x\geq 9}
  \end{cases}
\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio1b}
    \pgfplotsset{width=0.9\textwidth,height=0.9\textheight}
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
      xmin=2, xmax=10,
      ymin=-.1, ymax=1.1]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2.2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{(x-3)/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=100]{1-(9-x)^2/32};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:9.8,samples=10]{1};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio1c}
  Calcula la media y la varianza de esta variable.

  \begin{fleqn}[0pt]
    \begin{alignat*}{2}
    \esperanza{X} &= \uncover<2->{\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot\f{x}\D{x} \\}
                 \uncover<3->{ &= \int_3^5 x\frac14\D{x} + \int_5^9 x(9-x)\frac1{16}\D{x} \\}
                 \only<5->{ &= \text{\texttt{integrate (x/4, x, 3, 5) }}
\text{\texttt{\hspace{2em}/* código Maxima */}} \\
                  &  \text{\texttt{ + integrate (x*(9-x)/16, x, 5, 9);}} \\
                  &= 5+1/6}
                 \only<4>{
                      &= 
\primeval{\text{\texttt{integrate(x/4,x)}}}{x=3}{x=5}
\text{\texttt{\hspace{5em}/* código Maxima */}} \\
                      &+ \primeval{\text{\texttt{integrate(x*(9-x)/16,x)}}}{x=5}{x=9}\\
                      &= \primeval{\frac{x^2}8}{x=3}{x=5} + \primeval{-{{2\,x^3-27\,x^2}\over{96}}}{x=5}{x=9} \\
                      &=\frac{25}8-\frac98\quad+\quad\frac{243}{32}-\frac{425}{96}\\
                      &=2+\frac{19}6=5+\frac16
                      }
    \end{alignat*}
  \end{fleqn}
  \pgfplotsset{width=10cm,height=3.5cm}
\only<6->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=2, xmax=10, ymin=-.05, ymax=.3]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=2:3,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=3:5,samples=10]{1/4};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=5:9,samples=10]{(9-x)*1/4/4};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=9:10,samples=10]{0};
      \addplot[red,thick] coordinates{(31/6,-.05) (31/6,.3)};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Ejercicio1c}
  Calcula la media y la varianza de esta variable.

  \[ \varianza{X} = \esperanza{X^2} - (\esperanza{X})^2 \]
  \pause
  \begin{eqnarray*}
    \esperanza{X^2} &=&\int_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot\f{x}\D{x} \\
    &=& \int_3^5 \frac{x^2}4\D{x}+\int_5^9\frac{x^2(9-x)}{16}\D{x}\\
    &=& \primeval{\frac{x^3}{12}}{x=3}{x=5} +
        \primeval{-{{x^4-12\,x^3}\over{64}}}{x=5}{x=9} \\
    &=& \frac{125}{12}-\frac94\quad+\quad\frac{2187}{64}-\frac{875}{64}\\
    &=& \frac{86}3\implica\varianza{X}=\frac{71}{36}\implica\desvio{X}\approx1.4
  \end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1d}
  Calcula la distribución de $X^2$.

  \[Y = X^2\]
  \pause
  Como el soporte de $X$ es positivo, la transformación por el cuadrado
  es estrictamente creciente y positiva:

  \[\soporte{X}=(3,9)\implica\soporte{Y}=(9,81)\]
  \pause
  \[
  \FY{y} = \pr{Y\leq y} = \pr{X^2\leq y} = \pr{X\leq\sqrt{y}} = \F{\sqrt{y}}
  \]\pause
  \[\fY{y} = \deriv{\FY{y}}{y} = \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \f{\sqrt{y}}\]

\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 1d}
\[\fY{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot \f{\sqrt{y}}=
\begin{cases}
  \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot a = \frac1{8\sqrt{y}} & \text{si }9<y<25\\
  \frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot(9-\sqrt y)\frac a4=
  \frac{9-\sqrt y}{32\sqrt{y}} & \text{si }25\leq y<81\\
  0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

\pgfplotsset{width=1.05\textwidth,height=6cm}
\uncover<2->{
    \begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[xmin=5, xmax=85, ymin=-.01, ymax=.05, scaled ticks=false,
      yticklabel=$\tick$]
      \addplot[blue,<-,thick] expression[domain=5:9,samples=10]{0};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=9:25,samples=10]{1/8/sqrt(x)};
      \addplot[blue,thick]expression[domain=25:81,samples=10]
      {(9-sqrt(x))/32/sqrt(x)};
      \addplot[blue,->,thick]expression[domain=81:85,samples=10]{0};
      \end{axis}
    \end{tikzpicture}}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 2}
  Una fábrica produce pistones cuyos diámetros siguen una distribución
  normal de media $50$ mm y desviacióon típica de $0.01$ mm. Para que
  un pistón sirva, su diámetro debe estar entre $49.98$ y $50.02$
  mm. Si el diámetro es menos de $49.98$ se rechaza; si es mayor que
  $50.02$ se reprocesa una sola vez y el nuevo diámetro sigue una
  distribución normal de media $49.99$ y desviación típica $0.01$.

  Calcula:
  \begin{itemize}
  \item [a)] la probabilidad de que un pistón sea defectuoso;
  \item [b)] la probabilidad de que entre $10$ pistones elegidos al azar
    solamente uno sea reprocesado.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 2a}
Calcula la probabilidad de que un pistón sea defectuoso.
\pause
\[D= \text{``diámetro de las piezas''}\sigue \gausiana{50}{0.01}\]
\pause
\[ND= \text{``nuevo diámetro de piezas procesadas''}
\sigue \gausiana{49.99}{0.01}\]
\pause
\begin{eqnarray*}
[\text{defectuosa}]&=&[D<49.98]\\&\cup&
\Bigl([D>50.02] \cap \bigl([ND<49.98]\cup[ND>50.02]\bigr)\Bigr)
\end{eqnarray*}
\pause
\begin{eqnarray*}
\pr{\text{defectuosa}}&=&\pr{D<49.98}\\&+&
\Bigl(\pr{D>50.02} \times \bigl(\pr{ND<49.98}+\pr{ND>50.02}\bigr)\Bigr)
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 2a}
  \begin{eqnarray*}
    \pr{D<49.98} &=&  \pr{\gausiana{0}{1} < -2}= 0.02275013\\
    \pr{D>50.02} &=&  \pr{\gausiana{0}{1} > \phantom{-}2}= 0.02275013\\
    \pr{ND<49.98} &=& \pr{\gausiana{0}{1} < -1}= 0.1586553\\
    \pr{ND>50.02} &=& \pr{\gausiana{0}{1} > \phantom{-}3}= 0.001349898
  \end{eqnarray*}
\pause
\begin{eqnarray*}
\pr{\text{defectuosa}}&=&\pr{D<49.98}\\&+&
\Bigl(\pr{D>50.02} \times \bigl(\pr{ND<49.98}+\pr{ND>50.02}\bigr)\Bigr)\\
&=&0.02275013 \\&+&  0.02275013 \times (0.1586553 + 0.001349898) \\
&=&0.02639027
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 2b}
Calcula la probabilidad de que entre $10$ pistones elegidos al azar
solamente uno sea reprocesado.

\pause\[[\text{reprocesar}] = [D>50.02]\]
\pause\[\pr{\text{reprocesar}}=0.02275013\]
\pause\[X=\text{``número de piezas reprocesadas entre las 10 elegidas''}\]
\pause\[X\sigue\binomial{10}{0.02275013}\]
\pause\[\pr{X=1}=10 \cdot 0.02275013 \cdot (1 - 0.02275013)^9 =0.1849415\]
\pause\[\text{En R:\quad\texttt{dbinom (1, 10, 0.02275013)}}\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 3}
  La duración en años de los discos duros producidos por una fábrica A
  sigue una distribución exponencial, con promedio de 3 años. Un disco
  duro se considera defectuoso si dura menos de un año.
  \begin{itemize}
  \item [a)] Calcula la probabilidad de que un disco duro elegido al
    azar no sea defectuoso.
  \item [b)] Calcula la probabilidad de que haya que probar 6 discos
    duros hasta para encontrar el primero defectuoso.
  \item [c)] Si el 60 \% de los discos duros que se venden en una
    tienda proceden de la fábrica A y, el 40 \% restante, de una
    segunda fábrica B, donde la duración de los discos duros sigue una
    distribución exponencial de parámetro $\lambda=4$, calcula la
    probabilidad de que un disco duro vendido en la tienda resulte
    defectuoso.
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 3a}
Calcula la probabilidad de que un disco duro elegido al
    azar no sea defectuoso.

\pause
\[ X_i = \text{``duración, en años, de un disco duro de la fábrica $i$''} \]
\pause
\[X_A\sigue\exponencial{\text{media}=3}=\exponencial{\lambda=\frac13}\]
\pause
\[f_A(x)=\frac13 e^{-\frac13x} \cdot \indicatriz{(0,\infty)}{x}\]
\pause
\[\pc{\text{defectuoso}}{\text{A}} = \pr{X_A<1} =
\int_0^1\frac13e^{-\frac13x}\D{x}=1-e^{-\frac13}=0.2835\]
\pause
\[\pc{\text{no defectuoso}}{\text{A}} =1-\pc{\text{defectuoso}}{\text{A}}=1-0.2835=0.7165\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 3b}

\[ \pr{\text{probar 6 discos hasta el primero defectuoso}} = \]
\pause
\[=\pr{\text{5 primeros bien y el sexto, defectuoso}}=\]
\pause
\[=(1-\pc{\text{defectuoso}}{\text A})^5 \times \pc{\text{defectuoso}}{\text A}=\]

\[=(1-0.2834687)^5\times 0.2834687 = 0.05354032\]
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 3c}
 Si el 60 \% de los discos duros que se venden en una
    tienda proceden de la fábrica A y, el 40 \% restante, de una
    segunda fábrica B, donde la duración de los discos duros sigue una
    distribución exponencial de parámetro $\lambda=4$, calcula la
    probabilidad de que un disco duro vendido en la tienda resulte
    defectuoso.
\pause
\[X_B\sigue\exponencial{\lambda=4}\implica\pc{\text{defectuoso}}{\text B}=
  \pr{X_B<1}=\]\pause
\[= \int_0^1 4e^{-4x}\D{x}=\primeval{- e^{-4x}}{x=0}{x=1}=1-e^{-4}=0.98168436\]\pause
\begin{eqnarray*}
  \pr{\text{defectuoso}}&=&\uncover<5->{\pr{\text{defectuoso}\cap \text A}
                            +\pr{\text{defectuoso}\cap\text B}\\}
                  &=&\uncover<6->{\pc{\text{defectuoso}}{\text A}\cdot\pr{\text A}
                            +\pc{\text{defectuoso}}{\text B}\cdot\pr{\text B}\\}
                  &=&\uncover<7->{0.2834687\times0.60+0.9816844\times0.40\\
                        &=&0.562755}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Ejercicio 4}
  Se ha diseñado un sensor para detectar obstáculos que puede servir
  de ayuda a las personas discapacitadas. El tiempo medio de respuesta
  del sensor es de $0.5$ segundos.
  \begin{itemize}
\only<1-4>{\item [a)] Suponiendo que la distribución del tiempo de respuesta es
    exponencial, calcula la probabilidad de que la variable se
    diferencie de la media más de $0.3$ segundos.}
\only<1,5->{
  \item [b)] Calcula cuánto debería valer el tiempo medio de respuesta
    para que la probabilidad $\pr{T>1}$ sea menor o igual a $0.0001$.}
  \end{itemize}
\only<2-4>{ \[T = \text{``tiempo de respuesta del sensor''}\]}
\only<3-4>{  \vspace{-4.5ex}\[T\sigue
  \exponencial{\text{media}=0.5}=\exponencial{\lambda=2}\]}
\only<4>{ \vspace{-4.5ex}
  \begin{eqnarray*}
    \pr{|T-\text{media}|>0.3} &=& \pr{T-0.5<-0.3}+\pr{T-0.5>0.3}\\
    &=&\pr{T<0.2}+\pr{T>0.8}\\
    &=&\int_0^{0.2}2e^{-2t}\D{t}+\int_{0.8}^{\infty}2e^{-2t}\D{t}\\
    &=&1-e^{-2\times0.2}+e^{-2\times0.8}=0.5315765
  \end{eqnarray*}
}
\only<6->{
\[\pr{T>1}=\int_1^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\D{x}= e^{-\lambda}\leq0.0001\]
}
\only<7->{Aplicando logaritmo neperiano se obtiene:}
\only<8->{\[-\lambda\leq\ln 0.0001\]}
\only<9->{\[\lambda\geq-\ln0.0001=9.21034\]}
\end{frame}
\end{document}