\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\begin{document}
\section{Ejercicios}
\begin{enumerate}
\item Sea $X$ una variable aleatoria con distribución $B(5,p)$, de la
  que se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño $30$ con los
  siguientes resultados:
  
  (3,2,3,4,1,4,3,4,4,3,4,2,1,2,4,1,1,0,3,2,2,4,2,2,4,3,2,3,1,1)
  \begin{enumerate}
  \item Aplica el método de Neyman-Pearson para contrastar las
    hipótesis $H_0:p=0.50$ y $H_1:p=0.70$ al nivel de significación
    $\alpha=0.05$ y calcula el p-valor del contraste.
  \item Contrasta $H_0: p \le 0.50$ y $H_1: p > 0.50$ al nivel de
    significación $\alpha=0.05$. Calcula el p-valor del contraste y
    representa la función potencia.
\end{enumerate}

\item Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
  geométrica, $G(p)$, que contabiliza el número de pruebas hasta que
  aparece el primer éxito y de la que se extrajo una muestra de tamaño
  $40$ con los siguientes resultados:

  1  2  4  5  6  7  8 10 12 13 14 16 17 19 24 29 30 31 39 

  7  5  4  1  1  1  3  3  4  1  1  1  1  2  1  1  1  1  1

\begin{enumerate}
\item Aplica el método de Neyman-Pearson para contrastar las hipótesis
  $H_0:p=0.50$ y $H_1:p=0.30$ al nivel de significación $\alpha=0.05$
  y calcula el p-valor del contraste.
\item Contrasta $H_0:p \ge 0.50$ y $H_1:p < 0.35$ al nivel de
  significación $\alpha=0.05$. Calcula el p-valor del contraste y
  representa la función potencia.
\end{enumerate}

\item Sea $X$ una variable aleatoria con distribución
  beta, $\beta(a,1)$, y de la que se extrajo una muestra de tamaño $20$
  con los siguientes resultados:

  (0.96,0.83,0.49,0.35,0.76,0.76,0.92,0.98,0.43,0.91,

  0.77,0.97,0.51,0.53,0.59, 0.66,0.96,0.94,0.78,0.97)
\begin{enumerate}
\item Contrasta las hipotesis $H_0:a=2$ y $H_1:a=2.3$ al nivel de
  significación $\alpha=0.01$ y calcula el p-valor del contraste
\item Contrasta $H_0:a \ge 2$ y $H_1: a <2$ al nivel de significación
  $\alpha=0.01$. Calcula el p-valor del contraste y representa la
  función potencia.
\end{enumerate}
\item Considera una población $X\equiv N(\mu,\sigma)$ con
  $\mu$ y $\sigma$ desconocidas.
  Usa el test de la razón de verosimilitudes para contrastar:
  \begin{enumerate}
  \item $H_0: \mu\le\mu_0$ frente a $H_1:\mu>\mu_0$.
  \item $H_0: \sigma\le\sigma_0$ frente a $H_1:\sigma>\sigma_0$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
