\documentclass[serif]{beamer}
\newcommand{\p}[1]{\mathrm{P}\left[#1\right]}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\begin{document}
\begin{frame}
  \frametitle{Enunciado}
  Sea $X\equiv U(0,\theta)$ de la que se extrae una m.a.s. $(X_1,...,X_n)$.
\begin{enumerate}
\item Calcula un estadístico suficiente y minimal.
\item Calcula el EMV.
\item Calcula la distribución exacta del EMV.
\item Demuestra que su esperanza es $\frac{n\theta}{n+1}$.
%\item Demuestra que su varianza es $\theta^2\left(\frac{n}{n+2}-\frac{n^2}{(n+1)^2}\right)$.
\item Calcula la distribución asintótica de $n(\theta-X_{(n)})$.
\end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Calcula un estadístico suficiente y minimal.}\pause
  \[ L(\vec x, \theta) = \prod\frac1{\theta}I(x_i\le\theta)=\left(\frac1{\theta}\right)^n \, I(x_{(n)}\le\theta) \]\pause
  $X_{(n)}$ es suficiente y minimal:\pause
\[
  \frac{L(\vec x,\theta)}{L(\vec y,\theta)} = \frac{I(x_{(n)}\leq \theta)}{I(y_{(n)}\leq \theta)}
  \text{ indep. de }\theta \iff x_{(n)}=y_{(n)}
\]
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Calcula el EMV.}\pause
  \[ \sup_{\theta} \left( \frac1{\theta} \right)^n\cdot I(x_{(n)}\le\theta) \]\pause
  La muestra es compatible sólo con los valores del parámetro que verifican $\theta\ge x_{(n)}$.\pause

  Como $\theta$ aparece en el denominador de la verosimilitud, se elige el menor valor, es decir, \pause
  \[\hat\theta=X_{(n)}\]
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Calcula la distribución exacta del EMV.}
  \[T=X_{(n)}\]\pause
  \[\p{T\le t} = \p{X_{(n)}\le t} = \p{\bigcap X_i\le t} = \big[F(t)\big]^n=\left(\frac t {\theta}\right)^n \]\pause
  \[ f_T(t) = \frac n {\theta^n} \cdot t^{n-1}\qquad 0\le t\le \theta \]
\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Demuestra que su esperanza es $\frac{n\theta}{n+1}$.}\pause

  \[ E(T) = \int_0^{\theta} \frac n {\theta^n} t\cdot t^{n-1}\cdot dt = \]\pause
  \[ = \frac n {\theta^n} \int _0 ^{\theta} t^n dt = \]\pause
  \[ = \frac n {\theta^n}\; \left.\frac {t^{n+1}}{n+1}\right|_{0}^{\theta} = \]\pause
  \[ = \frac n {n+1} \theta\text{  (No es centrado.)} \]
\end{frame}
%\begin{frame}
%  \frametitle{Demuestra que su varianza es $\theta^2\left(\frac{n}{n+2}-\frac{n^2}{(n+1)^2}\right)$.}
%\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Calcula la distribución asintótica de $n(\theta-X_{(n)})$.}\pause
  \[ \lim_{n\to\infty}\p{n(\theta - X_{(n)}) \le y} = \lim_{n\to\infty}\p{\theta-X_{(n)}\le \frac y n}=\]\pause
 \[ = \lim_{n\to\infty}\p{X_{(n)}\ge\theta-\frac y n} = \lim_{n\to\infty} 1 - \left( \frac {\theta-\frac y n}{\theta}\right)^n =\] \pause
 \[ = \lim_{n\to\infty} 1-\left( \frac {\theta-\frac y n}{\theta}\right)^n 
  = 1 - \lim_{n\to\infty} \left( \frac {\theta-\frac y n}{\theta}\right)^n =  \]\pause
 \[ = 1 - \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac {y/\theta}n\right)^n =  \]\pause
\[ = 1-e^{-y/\theta} \]\pause
\[ f(y)=\frac 1 {\theta} e^{-y/\theta} \equiv \text { Exponencial }(1/\theta) \]
\end{frame}
\end{document}
