\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\title{Tamaño de muestra e intervalos de confianza}
%\author{Inferencia Estadística}
\maketitle
\section{$ X\equiv N(\mu, \sigma$) }
Sea $X$ una variable aleatoria de la que se quiere extraer una muestra
aleatoria simple para calcular un intervalo de confianza de $\mu$ con
coeficiente de confianza $1-\alpha=0.95$ y error máximo de estimación
de $e=0.5$. Calcula el tamaño de muestra que se necesita en las
siguientes condiciones:
\begin{enumerate}
  \item $X \equiv N(\mu, \sigma)$ y la desviación típica es $\sigma=2$.
  \item $X \equiv N(\mu, \sigma)$ y la desviación típica está acotada superiormente por 6.
  \item $X \equiv N(\mu, \sigma)$, no se conoce la desviación típica
    pero por un estudio previo se dispone de una muestra de tamaño 10
    con los siguientes resultados:
    \begin{enumerate}
    \item $\vec x_1 = \text{\tt c(7.37, 2.88, 4.39, 5.19, 6.91, 6.42, 1.85, 2.41, 7.44, 4.09)}$
    \item $\vec x_2 = \text{\tt c(3.56, 4.28, 6.07, 5.27, 4.40, 4.10, 5.82, 5.32, 2.80, 7.73)}$ 
    \item $\vec x_3 = \text{\tt c(8.23, 6.34, 8.85, 2.54, 6.15, 3.30, 6.48, 4.76, 0.88, 6.59)}$
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  
\subsection*{Solución.}
 
 \begin{enumerate}
  \item $X \equiv N(\mu, \sigma)$ y la desviación típica es $\sigma=2$.
  
  El intervalo de confianza de $\mu$ es de la forma:
  $$ \left(\bar{X} - z \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar{X} + z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $$
  Por tanto el error de estimación debe verificar que
  $ e \le z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ y el valor de $n$ viene dado por:
  $$ n \ge \left(\frac{ z \; \sigma}{e} \right)^2$$
  En las condiciones del problema se obtiene $n \ge 61.46334$, es
  decir, se necesitan al menos 62 observaciones en la muestra.
\begin{verbatim}
## Mínimo tamaño de muestra 
alfa <- 0.05
e <- 0.5   
## X = N(mu, sigma=2)
sigma <- 2
z <- qnorm(1-alfa/2, 0, 1)
n_minimo <- ceiling((z*sigma/e)^2)
\end{verbatim}
\item $X \equiv N(\mu, \sigma)$ y la desviación típica está acotada superiormente por 6.
  
  Para garantizar las condiciones del problema se toma $n$ que verifique :
  $$
  n \ge \left(\frac{ z \; \text{cota}(\sigma)}{e} \right)^2 
  \ge \left(\frac{ z \; \sigma}{e} \right)^2
  $$
  La solución es
  $553.1701$ y por tanto $n= 554$, un incremento muy importante
  debido a una aproximación poco precisa de $\sigma $.
\begin{verbatim}   
## X = N(mu, sigma) ; sigma <= 6
cota_sigma <- 6
z <- qnorm(1-alfa/2, 0, 1)
n_minimo <- ceiling((z*cota_sigma/e)^2)
\end{verbatim}
\item $X \equiv N(\mu, \sigma)$, no se conoce la desviación típica
  pero por un estudio previo se dispone de una muestra de tamaño 10
  con los siguientes resultados.
  \begin{itemize}
  \item $\vec x_1 = (7.37, 2.88, 4.39, 5.19, 6.91, 6.42, 1.85, 2.41, 7.44, 4.09)$\\
    La estimación de $\sigma$ es $S=2.0946 $, muy parecida al valor
    real y por tanto el tamaño estimado de la muestra sale 68, muy
    parecido al real.
  \item $\vec x_2 = (3.56, 4.28, 6.07, 5.27, 4.40, 4.10, 5.82, 5.32, 2.80, 7.73)$ \\
    El valor de $S= 1.4144 $ infraestima $\sigma$ y el valor de n= 31
    es la mitad del que debería ser.
  \item
    $\vec x_3= (8.23, 6.34, 8.85, 2.54, 6.15, 3.30, 6.48, 4.76, 0.88, 6.59)$ \\
    El valor de $S= 2.524726$ sobrestima la dispersión y el
    tamaño estimado de muestra, $n= 98$, es mayor al necesario.
  \end{itemize}
\begin{verbatim}
## X=N(mu, sigma) ; muestra piloto de tamaño 10
x <- round(rnorm(10, 5, 2), 2)
S <- sd(x)
z <- qnorm(1-alfa/2, 0, 1)
n_minimo <- ceiling((z*S/e)^2)
\end{verbatim}
  \end{enumerate}
  
\section{$ X \not\equiv N(\mu, \sigma$) }
  Se desconoce la distribución de $X$ y por tanto no se puede usar
  directamente la distribución normal para calcular los límites de la
  región que permite obtener el intervalo.
  
  En este caso se podría usar la aproximación por el teorema central
  del límite, o utilizar la cota de Chebishof.
  $$ P \left( |\bar{X} - \mu| \le e \right) 
  = P\left(\bar{X}-e  \le \mu \le \bar{X}-e \right) \ge  1- \frac{\sigma^2/n}{e^2}  $$ 
  
  Para que el intervalo tenga el coeficiente de confianza $1-\alpha$ se debe cumplir:
  $$  1- \frac{\sigma^2/n}{e^2} \ge 1-\alpha \Longleftrightarrow
  \frac{\sigma^2/n}{e^2} \le \alpha$$ 
  y por tanto la cota inferior para el tamaño de la muestra vale:
  $$ n \ge \frac{\sigma^2}{\alpha \, e^2}$$
  
  Aplicando este criterio a los apartados anteriores se obtienen los siguientes tamaños de muestra:
  \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 & $\sigma=2$ & $\sigma \le 6$ & $S= 2.0873$\\ \hline
$n$ & 320 & 2880 & 349
  \end{tabular}
  \end{center}
  
\begin{verbatim}
## Chebishof ; n >= sigma^2/(alfa * e^2) 
n3 <- ceiling(S^2/(alfa*e^2))
\end{verbatim}

\section{Teorema central del límite }
  Sea $X$ una variable aleatoria con distribución de Bernoulli$(p)$ de
  la que se quiere extraer una muestra aleatoria simple para calcular
  un intervalo de confianza de $p$ con coeficiente de confianza
  $1-\alpha=0.95$ y error máximo de estimación de $e=0.10$. %Calcula el
  %tamaño de muestra que se necesita en las siguientes condiciones:

  Teniendo en cuenta que el estimador máximo-verosímil de $p$ es
  $\bar{X}$ y el teorema central del límite, se puede aproximar el
  intervalo de confianza mediante la expresión:
$$ (\bar{X} - z \frac{\sqrt{p \, (1-p)}}{n}, 
\bar{X} + z \frac{\sqrt{p \, (1-p)}}{n} )$$
y la cota inferior para el tamaño de la muestra vale:
$$ n \ge \frac{ z^2 \, p \, (1-p)}{e^2}$$

Dado que $p$ es desconocido, el valor de $n$ se puede aproximar usando
una cota para $p \, (1-p)$ o estimándolo mediante una muestra.
\begin{enumerate}
\item Cota para Var$(X)= p \, (1-p)$. La Var$(X) \le 0.25$ ya que
  $p \, (1-p)$ es una parábola con máximo en $p=0.5$, es decir, cuando
  la incertidumbre sobre el resultado que va a ocurrir es máxima.

  En las condiciones del enunciado de este apartado se estima el
  mínimo tamaño de muestra en tres casos diferentes:
\begin{enumerate}
 \item No se sabe nada sobre $p$
 \item $p \ge 0.70$
 \item $p \le 0.20$
 \end{enumerate}
 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 & Var$(X) \le 0.25$  & Var$(X) \ge 0.70$  & Var$(X) \le 0.20$ \\ \hline
$n$ & 97 & 81 & 62
  \end{tabular}
  \end{center}

\item Se toma una muestra para tener una idea aproximada del valor de
  $p$ y sustituir la varianza por $\hat{p} \, (1-\hat{p})$.
  
  $ \vec x = (1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1)$ ;  $\hat{p} = 0.4$
  
  El tamaño estimado de la muestra vale: $ n \ge 93$
  
\begin{verbatim}
## Generación de la muestra
p <- runif(1, 0, 1)
x <- rbinom(10, 1, p)
p_est <- mean(x)
var <- p_est*(1-p_est)
n_minimo <- ceiling((z*sqrt(var)/e)^2)
\end{verbatim}

\end{enumerate}
 \end{document}
