\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{dsfont}
\newcommand{\ce}{\;\raisebox{.4pt}{:}{=}\;}
\newcommand{\sigue}{{\;\hookrightarrow}\;}
\newcommand{\implica}{{\;\Longrightarrow}\;}
\newcommand{\sii}{{\;\Longleftrightarrow}\;}
\newcommand{\sumex}{\Sigma\,} % sumatorio en exponente
\newcommand{\bec}[1]{\skew{-2}\vec#1} % flecha un poco a la izquierda
\begin{document}
   \sloppy\RaggedRight
\title{Ejercicios del tema 2}
\author{Inferencia Estadística}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item Define estadístico suficiente y minimal suficiente para una
  familia de distribuciones.

\item Da un ejemplo de estadístico que sea suficiente pero no minimal
  en la familia Poisson \(\mathcal P(\lambda)\).

\item
Dada una muestra aleatoria simple de tamaño \(n\) de una variable
aleatoria continua \(X\) con función de densidad \(f\), calcula la
distribución del estadístico ordenado \(X_{(2)}\), de orden 2. Calcula
la esperanza y varianza de \(X_{(2)}\) si \(X\) sigue una distribución
exponencial.

\item Define función pivote y explica para qué se utiliza.

Dada la siguiente muestra aleatoria simple de una variable
\(X\) con distribución Exp(\(\lambda\)):

(2.39, 1.83, 0.23, 0.93, 2.64, 2.61, 1.82, 2.88, 0.52, 0.50, 0.51,
0.32, 0.41, 1.67, 0.45, 0.82)

resuelve los siguientes apartados:
\begin{enumerate}
\item Calcula el EMV de \(\lambda\) y estudia sus propiedades.

  
\item Busca una función pivote para el parámetro \(\lambda\) y calcula un
  intervalo de confianza a partir de la muestra anterior.

\end{enumerate}
\item{Enuncia el método delta, explica}
 para qué se utiliza y aplícalo en la construcción de un
 intervalo de confianza para \(\lambda\) a partir de una variable con distribución de Poisson
 \(\mathcal P(\lambda)\) y la siguiente muestra de tamaño \(20\):
 \begin{center}
   \begin{tabular}{rcccccccccc}
     valores&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
     frecuencias&1&3&4&4&4&3&2&5&1&3
   \end{tabular}
 \end{center}

\item{La proporción de horas/día con un nivel de}
 contaminación que no representa un riesgo
 para la salud es una variable aleatoria \(X\) con función de densidad:
 \[f (x,\theta) = \frac{2(1 - x)}{(1 -\theta)^2} I(\theta \le x \le 1)\]
 Resuelve los siguientes apartados con la información dada por la muestra aleatoria simple:

 (0.29, 0.77, 0.47, 0.35, 0.30, 0.57, 0.61, 0.52, 0.71, 0.20, 0.32, 0.47, 0.13, 0.40, 0.12, 0.36, 0.83)

 \everymath{\displaystyle}

 \begin{enumerate}
 \item  Busca un estadístico suficiente para \(\theta\).

 \item Determina el estimador de máxima verosimilitud de \(\theta\),
   su valor esperado y la estimación correspondiente.

 \item Calcula el estimador de \(\theta\) por el método de los momentos.

 \item Compara el estimador de máxima verosimilitud y el de los momentos.

 \item Busca una función pivote y calcula un intervalo de confianza para \(\theta\) con
   coeficiente de confianza \(0.95\).

       Calcula, de manera aproximada, el tamaño de muestra para garantizar que la longitud del intervalo sea inferior a $L$.

     
 \end{enumerate}
 
 \item{Sea \(X\) una variable aleatoria con función de densidad:}
 \[ f (x) = \frac x\theta\exp\left(\frac{-x^2}{2\theta}\right)I(x>0) \]
donde \(\theta>0\).  Resuelve los siguientes apartados:
\begin{enumerate}
\item Genera aleatoriamente el valor de \(\theta\) a partir de una \(\mathcal U (1, 2)\).
\item Genera una muestra aleatoria simple, de tamaño \(10\), de la
  variable \(X\), empleando el valor del parámetro obtenido en el
  apartado anterior.
\item Demuestra que \(\sum_{i=1}^n X_i\) no es un estadístico
  suficiente para \(\theta\).  Calcula un estadístico suficiente
  minimal.
\item 
 Calcula el EMV de \(\theta\) y estudia sus propiedades.
\item 
 Calcula el estimador de \(\theta\) por el método de los momentos.
\item 
  Calcula un intervalo de confianza para \(\theta\)
  con coeficiente de confianza \(0.95\)
  usando los métodos de la función pivote y
  \emph{bootstrap} paramétrico y no paramétrico, percentil y básico.
\end{enumerate}
\item Sea \((X_1,X_2)\) una muestra aleatoria simple de una distribución
  uniforme discreta sobre \(\{1,\dots,N\}\), siendo \(N\) el parámetro de
  la familia de distribuciones.  Calcular las probabilidades
  condicionadas en el espacio muestral dado \(X_1+X_2=4\) y deducir que
  \(X_1+X_2\) no es suficiente para \(N\).
\item  Sea \(X\) una variable aleatoria con función de densidad
\(f_\theta(x)=e^{\theta-x}\cdot I(x>\theta)\) de la que se extrae
  una muestra aleatoria simple de tamaño \(n\). Resuelve los siguientes apartados:
\begin{enumerate}
 \item Calcula un estadístico suficiente para $\theta$.
 \item Calcula los estimadores de $\theta$ usando el método de los momentos y el de máxima verosimilitud.
 \item Calcula un intervalo de confianza para \(\theta\)
   con coeficiente de confianza \(0.99\).
\end{enumerate} 
\item Sea $(X_1,...,X_4)$ una muestra aleatoria simple de una variable
  aleatoria $N(\mu,2)$.  Sean $T_1=\sum_{i=1}^4 X_i$ y
  $T_2=(X_1+X_2, X_3+X_4)$.  Comprobar si $T_1$ y $T_2$ son
  suficientes y calcular la distribución de $T_1\mid T_2$.
\item Sea $(X_1,...,X_n)$ una muestra aleatoria simple de una variable
  aleatoria $X$ con función de densidad $f_\theta(x)=\frac{2x}{\theta^2}
  \cdot I(0<x<\theta)$.  Resuelve los siguientes apartados considerando
  la realización muestral \texttt{c(4.6, 4.4, 1.8, 3, 4, 2.7, 1.7, 4.3, 3.9,
    2.2)}.
  
  \begin{enumerate}
    \item Determina un estadístico suficiente y minimal para $\theta$.
    \item Calcula el estimador máximo-verosímil y el de los momentos.
      Comprueba si son insesgados.
    \item Calcula un intervalo de confianza con coeficiente de confianza
      $1-\alpha$ por el método pivotal.
    \item Ídem \emph{bootstrap} y compara su longitud con el intervalo
      del apartado anterior.
  \end{enumerate}
\item Comprobar que las siguientes distribuciones pertenecen a la familia
  exponencial y determinar un estadístico minimal suficiente:
  \begin{enumerate}
  \item $\beta(p,q)$
  \item $f_\theta(x) = \frac x {\theta^2} e^{-x^2/2\theta^2}I(x>0)$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
\section*{Resol}
\begin{enumerate}
\item Probabilidades condicionadas dado \(C=[X_1+X_2=4]\)
  \[N=1\implica \Pr(C)=0\]
  \[N=2\implica 
    \Pr(x_1,x_2\mid C)=\frac{\Pr(x_1,x_2)}{\Pr C}=
    \frac{1/N\times 1/N}{\Pr[(2,2)]}=
    \frac{1/2^2}{1/2^2}=1
  \]
  \[N>2\implica
    \Pr(x_1,x_2\mid C)=\frac{\Pr(x_1,x_2)}{\Pr C}=
    \frac{1/N\times 1/N}{\Pr[(1,3),(2,2),(3,1)]}=
    \frac{1/N^2}{3/N^2}=\frac13
  \]
  \(T\) es suficiente para \(\theta\) si \(\Pr(\vec x\mid T=t)\) es independiente
  de \(\theta\). En este caso, \(\Pr(\vec x\mid X_1+X_2=t)\) depende de \(N\).
\item \(f=e^{\theta-x}\cdot I(x>\theta)\)
  \begin{enumerate}
  \item \(\mathcal L=e^{n\theta-\sum x_i}\cdot I(x_{(1)}>\theta)
    =e^{-\sum x_i}\cdot [e^{n\theta}\cdot I(x_{(1)}>\theta)]\)
    \(\implica\) \(X_{(1)}\) es suficiente
    \item
      \(E(X)=1+\theta\implica\hat\theta_{\rm MM}=\bar X -1\)\

      \(\theta>x_{(1)}\implica\mathcal L=0\) ;
      \(\theta<x_{(1)}\implica\frac\partial{\partial\theta}\ln\mathcal L=n>0\)
      \(\implica\) \(\mathcal L\) creciente en \(\theta\) \(\implica\)
      \(\hat\theta_{\rm MV}=X_{(1)}\) 
    \item \(\alpha=0.01\) ; \(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\) ;
      \(Y\ce X-\theta\sigue{\rm Exp}(1)\) \(\implica\) $Y_{(1)}$ pivote
      
      \(F_{Y_{(1)}}=1-(1-F_Y)^n=1-e^{-nx}\)  \(\implica\)  $Y_{(1)}\sigue{\rm Exp}(n)$

      \(1-\alpha=\Pr[a\le X_{(1)}-\theta\le b]\)

      \(\alpha_1=1-e^{-n a}\implica a=-\frac1n\ln(1-\alpha_1)\)
      
      \(1-\alpha_2=1-e^{-n a}\implica b=-\frac1n\ln\alpha_2\)

      \(1-\alpha=\Pr[-\frac1n\ln(1-\alpha_1)\le X_{(1)}-\theta\le -\frac1n\ln\alpha_2]\)
      \(\implica\) I.C. = \(X_{(1)}+[\frac1n\ln\alpha_2,\frac1n\ln(1-\alpha_1)]\)

      longitud = \(\frac1n[\ln(1-\alpha_1)-\ln\alpha_2]\)
      = \(\frac1n[\ln(1-\alpha_1)-\ln(\alpha-\alpha_1)]\)

      \(\frac\partial{\partial\alpha_1}\)longitud =
      \(\frac1n\left[\frac{1}{\alpha-\alpha_1}-\frac{1}{1-\alpha_1}\right]>0\)
      porque \(\alpha<1\), luego longitud crece con \(\alpha_1\)

      y el intervalo más corto se tiene con \(\alpha_1=0\) \(\implica\)
      I.C. = \(X_{(1)}+[\frac1n\ln\alpha,0]\)
    \item \(\mathcal L\) =
      \(\frac{1}{2^n\sqrt{2\pi}^n}e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\sum(x_i-\mu)^2}\) =
       \(\frac{1}{2^n\sqrt{2\pi}^n}
      e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\left(\sum x_i^2-2\mu\sum x_i+n\mu^2\right)}\) = 
       \(\frac{1}{2^n\sqrt{2\pi}^n}
       e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\sum x_i^2}
       e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\left(-2\mu\sum x_i+n\mu^2\right)}\)
       \(\implica\) \(\sum X_i\) es suficiente

       \(\mathcal L\) =        \(\frac{1}{2^n\sqrt{2\pi}^n}
       e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\sum x_i^2}
       e^{-\frac{1}{2\cdot2^2}\left(-2\mu[(x_1+x_2)+(x_3+x_4)]+n\mu^2\right)}\)
       \(\implica\) \((X_1+X_2,X_3+X_4)\) es suficiente

       \((T_1\mid T_2=[x_{12},x_{34}]) = x_{12}+x_{34}\) por lo que se trata de una
       distribución degenerada
     \item véase
       \verb|http://bellman.ciencias.uniovi.es/~carleos/grado/inferencia/pa/7/2/|
     \item
       \begin{enumerate}
       \item $\beta(p,q)\sigue f\propto x^{p-1}(1-x)^{q-1}I(0<x<1)$ =
         $\frac{1-x}x \cdot e^{p\ln x+q\ln(1-x)}$ $\implica$
         estadístico minimal suficiente $\bigl(\sum\ln X_i,\sum\ln(1-X_i)\bigr)$ $\equiv$
         $\bigl(\prod X_i, \prod(1-X_i)\bigr)$
       \item $f=\frac x {\theta^2} e ^{-x^2/2\theta^2}I(x>0)$ $\implica$ minsuf
         $\sum X_i^2$
       \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% problemas(Tema2).pdf

\item Determinar un estadístico suficiente basado en una muestra de
  tamaño $n$ para la familia $\{f_\theta\mid\theta\in\mathds R\}$ con
  $f_\theta(x)=e^{\theta-x}\cdot I(x>\theta)$.
\item Sea $(X_1,\dots,X_n)$ una muestra aleatoria simple de una
  variable aleatoria con función de densidad $f_\theta(x)=\frac
  x\theta\exp\left(-\frac {x^2}{2\theta}\right)\cdot I(x>0)$ donde 
  $\theta>0$. Demostrar que $\sum_{i=1}^n X_i^2$ es suficiente para
  $\theta$ pero $\sum_{i=1}^n X_i$ no es suficiente.
\item Comprobar que las siguientes distribuciones pertenecen a la
  familia exponencial y determinar un estadístico minimal suficiente:
  \begin{center}
    (\textit a)\quad $\beta(p,q)$\qquad\qquad
    (\textit b)\quad $f_\theta(x)=\frac x{\theta^2}\cdot
    \exp\left(\frac{x^2}{2\theta^2}\right)$ si $x>0$
  \end{center}
\item Encontrar un estadístico suficiente a partir de una muestra aleatoria
  simple de tamaño $n$ para
  $$f_\theta(x)=\left(\frac\theta x\right)^{\theta+1}\mbox{ si }0<\theta<x$$
\item Sea una variable aleatoria con distribución $U(\theta-1,\theta+1)$.
  Comprobar que $(X_{(1)}+X_{(n)},X_{(n)}-X_{(1)})$ es un estadístico
  suficiente.
\item Los individuos de una población pueden clasificarse según su grupo
  sanguíneo en $4$ categorías con proporciones poblacionales desconocidas
  $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$, $\theta_4$; $\sum_{i=1}^4\theta_i=1$.
  Sea $\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$.  Para obtener información
  sobre $\theta$ se muestrean $n$ individuos que se clasifican según su
  grupo sanguíneo.  Sea $T=(N_1/n,N_2/n,N_3/n)$ con $N_i$ = número de
  individuos de tipo $t$.  Demostrar que $T$ es centrado para $\theta$.
  Calcular el EMV de $\theta$.
\item A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ de una
  distribución $U(a,a+b)$ determinar los estimadores de $a$ y $b$ por
  el método de
  \begin{enumerate}
    \item los momentos.
    \item máxima verosimilitud.
  \end{enumerate}
\item Se dispone de una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ de una variable
  aleatoria con función de densidad $f_\theta(x) = 2\theta x e^{-\theta x^2}$,
  para $x>0$ y $\theta>0$.
  \begin{enumerate}
  \item Determinar el estimador $\theta$ por el método de los momentos y su
    distribución asintótica.
  \item Ídem EMV.
  \end{enumerate}
\item Sea $X$ una variable aleatoria con distribución $U(1,3)$. Sea
  $X_1,...,X_n$ una muestra aleatoria simple sobre $X$.  Calcular:
  \begin{enumerate}
    \item Distribución de los estadísticos ordenados.
    \item Probabilidad de que los valores muestrales no excedan $2$.
    \item Probabilidad de que los valores muestrales estén entre
      $1.5$ y $2.5$.
  \end{enumerate}
 \item Sea $X$ una variable con distribución
   $$
   F_\theta(x)=
   \cases{0&si $x\le0$\cr x^\theta&si $x\in(0,1)$\cr1&si $x\ge1$}
   $$
  Calcular un intervalo de confianza a nivel $1-\alpha=0.9$ para una muestra
  aleatoria simple de tamaño $n$.
\item La duración de cierto tipo de válvulas sigue una distribución
  $\gamma(1,\lambda)$. Se desea determinar qué duración $\theta$ es superada
  por el $90\%$ de las válvulas.  Para ello se dispone de la duración de $9$
  válvulas:
  \begin{center}
    $15.5$ \quad $7.3$ \quad $12.5$ \quad $22$ \quad $14$ \quad $12$
      \quad $30$ \quad $10$ \quad $10.5$
  \end{center}
  Determinar un intervalo de confianza para $\theta$ con $1-\alpha=0.95$
\item El número de partículas alfa emitidas, en un segundo, por una
  sustancia radiactiva sigue una distribución $P(\lambda)$. Se dispone de
  una muestra aleatoria simple de $10$ segundos ($x_1,...,x_n$) durante
  los que se detectaron tres partículas alfa. Calcula un intervalo de
  confianza para $\lambda$ con coeficiente de confianza $1-\alpha=0.95$.
\item En el lenguaje de la silvicultura de denomina \emph{bosque de
Poisson} de intensidad $\lambda$ a aquél que satisface
  \begin{enumerate}
  \item [1)] El número de árboles existentes en una parcela de área $A$
    contenida en el bosque es una variable aleatoria con ley de Poisson de
    parámetro $\lambda A$.
  \item [2)] Si $A_1,...,A_n$ son parcelas disjuntas dentro del bosque,
    las variables aleatorias ``número de árboles en cada parcela'' son
    independientes.
  \end{enumerate}
  Resuelve las siguientes cuestiones referentes a cierto bosque de Poisson
  de intensidad $\lambda$:
  \begin{enumerate}
  \item Fijado un punto $P$ cualquiera en el bosque, probar que la ley
    de probabilidad de la variable aleatoria ``distancia de $P$ al árbol
    más próximo'' tiene densidad $f(x)=2\pi\lambda x\exp(-\pi\lambda x^2)$
    si $x>0$.
  \item Fijados $10$ puntos al azar suficientemente alejados en el bosque
    se midieron las distancias en metros $X_1,...,X_{10}$ de cada punto
    al árbol más próximo y se obtuvieron los siguientes resultados:

    \texttt{c(7.11, 3.24, 2.31, 5.38, 4.29, 5.63, 4.91, 6.08, 7.89, 3.53)}

    Con dicha información,
  \item Obtener una estimación máximo-verosímil para $1/\lambda$.
  \item Obtener un intervalo de confianza para $\lambda$ con coeficiente
    de confianza $0.99$.
  \item Exponer otro método de recogida de datos para estimar el
    parámetro $\lambda$.
  \end{enumerate}
\item La vida media de un virus sigue una distribución $N(\mu,3)$.
  Se toman $10$ cultivos de dicho virus y se obtiene un tiempo medio de
  supervivencia del virus de $12$ horas.
  \begin{enumerate}
  \item Calcular un intervalo de confianza, con $1-\alpha=0.99$, para la
    media de la distribución.
  \item ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para que el intervalo
    tuviese longitud menor que $1$?
  \end{enumerate}
\item El departamento de control de calidad de una empresa desea estimar la
  proporción $p$ de piezas defectuosas que se producen en la fábrica. Para
  ello elige al azar una muestra de treinta piezas, de las cuales cinco
  presentan algún defecto.  Calcular la estimación máximo-verosímil de $p$.
\item Se realizó el siguiente experimento para comparar el tiempo de
  reacción de las personas frente a luces de color rojo y verde.  Cuando se
  encendía una de las luces, el sujeto apagaba el interruptor de la luz
  correspondiente y automáticamente se paraba un reloj que contaba el tiempo
  que había trascurrido.  El experimento realizado en ocho personas dio los
  siguientes resultados:
  \begin{center}
    \begin{tabular}{c|cccccccc}
      Sujeto&1&2&3&4&5&6&7&8\\
      \hline
      Roja &$0.30$&$0.23$&$0.41$&$0.53$&$0.24$&$0.36$&$0.38$&$0.51$\\
      Verde&$0.43$&$0.32$&$0.58$&$0.46$&$0.27$&$0.41$&$0.38$&$0.61$
    \end{tabular}
  \end{center}
  Suponiendo que el tiempo de parada para ambas luces es un vector aleatorio
  con distribución normal bidimensional $N\bigl((\mu_1,\mu_2),\Sigma\bigr)$,
  construir un intervalo con $1-\alpha=0.95$ para $\mu_1-\mu_2$.
\item Se desea comparar la altura en cm de dos poblaciones de lobos,
  geográficamente aisladas.  Tomada una muestra de individuos en cada una
  de las dos poblaciones, se obtuvieron los siguientes datos:
  $$n_1=41\qquad \bar x_1=63\qquad s^2_1=5.5$$
  $$n_2=56\qquad \bar x_2=68\qquad s^2_2=4.9$$
  Determinar un intervalo de confianza para la diferencia de medias
  poblacionales y otro para el cociente de varianzas poblacionales, a
  niveles del $95\%$.  ¿Qué tamaños muesttrales son adecuados si se pretende
  que el intervalo para la diferencia de medias tenga longitud inferior a
  $2$ mm?
\end{enumerate}
\end{document}
