% Created 2022-12-13 mar 23:24
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
\documentclass[11pt]{article}
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\author{Inferencia Estadística}
\date{\today}
\title{Problemas de Intervalos de Confianza}
\hypersetup{
 pdfauthor={Inferencia Estadística},
 pdftitle={Problemas de Intervalos de Confianza},
 pdfkeywords={},
 pdfsubject={},
 pdfcreator={Emacs 27.1 (Org mode 9.3)}, 
 pdflang={Spanish}}
\begin{document}

\maketitle
\raggedright
\begin{itemize}
\item (Esta viñeta indica el texto de las resoluciones.)
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria
\(X\) con función de densidad 
\[f_\theta(x)=
   \begin{cases}
   \frac{2x}{\theta^2}&0<x<\theta\\0&\text{en el resto}
   \end{cases}\]
Resuelve los siguientes apartados:
\begin{enumerate}
\item Determina un estadístico suficiente y minimal.
\begin{itemize}
\item \(f(x;\theta)\) \(=\) \(\frac{2x}{\theta^2}\cdot
        [x < \theta]\) \(\implies\)
\(L(\vec x;\theta)\) \(=\) 
\(\frac{2^n}{\theta^{2n}}\prod x_i\cdot[x_{(n)} < \theta]\)
\(\implies\) \(X_{(n)}\) es suficiente.
\item Sean \(\vec x\) y \(\vec y\) muestras.
Entonces \(\bigg\{\)
\(\frac{L(\vec x;\theta)}{L(\vec y;\theta)}\) \(=\)
\(\frac{\prod x_i\cdot[x_{(n)} < \theta]}
           {\prod y_i\cdot[y_{(n)} < \theta]}\) 
es independiente de \(\theta\)
\(\iff\) \(x_{(n)}=y_{(n)}\) \(\bigg\}\)
\(\implies\) \(X_{(n)}\) mínimamente suficiente.
\end{itemize}
\item Calcula el estimador máximo-verosímil.
\begin{itemize}
\item Para \(\theta > x_{(n)}\), 
\(\ln L\) \(=\) \(\ln2^n-2n\ln\theta+\ln\prod x_i\) \(\implies\)
\(\partial\ln L/\partial\theta\) \(=\) \(-2n/\theta\) \(<\) \(0\)
\(\implies\) \(L\) decreciente \(\implies\) \(\hat\theta_{\rm MV}\) 
\(=\) \(X_{(n)}\)
\end{itemize}
\item Calcula un intervalo de confianza a nivel \(1-\alpha\) \(=\) \(0.95\)
por el método de la función pivote para la realización muestral 
\texttt{c(4.6, 4.4, 1.8, 3, 4, 2.7, 1.7, 4.3, 3.9, 2.2)}.
\begin{itemize}
\item La variable \(Y=X/\theta\) tiene ojiva \(F_Y(y)\) \(=\) 
\(\Pr[Y\le y]\) \(=\) \(\Pr[X\le y\theta]\) = \(F_X(y\theta)\)
\(=\) \(\frac{(y\theta)^2}{\theta^2}\) = \(y^2\)
independiente de \(\theta\), con \(0 < y < 1\), luego 
\(Y_{(n)}\) \(=\) \(X_{(n)}/\theta\) es un pivote, 
con ojiva \(F(y)=y^{2n}\).
\item Sean \(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\), \(\alpha_1=F(c_1)\), 
\(1-\alpha_2=F(c_2)\).  Entonces \(c_1=\sqrt[2n]{\alpha_1}\),
\(c_2=\sqrt[2n]{1-\alpha_2}\) y
\(1-\alpha\) = \(\Pr[c_1\le X_{(n)}/\theta\le c_2]\) = 
\(\Pr[X_{(n)}/c_2\le\theta\le X_{(n)}/c_1)]\), luego
I.C. \(=\) \(X_{(n)}\left[\frac1{\sqrt[2n]{1-\alpha_2}},
        \frac1{\sqrt[2n]{\alpha_1}}\right]\) \(\implies\) 
amplitud \(\propto\) 
\(\frac1{\sqrt[2n]{\alpha_1}}-\frac1{\sqrt[2n]{1-\alpha_2}}\) \(=\)
\(A(\alpha_1)\) \(\colonequals\)
\(\frac1{\sqrt[2n]{\alpha_1}}-\frac1{\sqrt[2n]{1-\alpha+\alpha_1}}\)
\begin{verbatim}
A(a1) := 1/a1^(1/(2*n))-1/(1-a+a1)^(1/(2*n)) $
assume (n > 1, a > 0, a < 1, a1 > 0, a1 <= a) $
define (Aprima(a1), diff(A(a1),a1)) ;
minuendo : part(Aprima(a1),1);
sustraendo : part(Aprima(a1),2,1);
is(minuendo > sustraendo); /* unknown */
is(part(minuendo,1) > part(sustraendo,1)); /* unknown */
is(part(minuendo,1,1) > part(sustraendo,1,1)); /* true */
/* => part(minuendo,1) < part(sustraendo,1) */
/* => minuendo < sustraendo => Aprima < 0 => A decrece */
\end{verbatim}

\(\implies\) \(\alpha_1=\alpha\) es óptimo \(\implies\)
I.C. \(=\) \(\left[X_{(n)},\frac{X_{(n)}}{\sqrt[2n]{\alpha}}\right]\)
\begin{verbatim}
X <- c(4.6, 4.4, 1.8, 3, 4, 2.7, 1.7, 4.3, 3.9, 2.2)
Xn <- max(X) ; n <- length(X) ; alfa <- 0.05
print (c(Xn, Xn/alfa^(1/2/n)))
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 4.600000 5.343297
\end{verbatim}
\end{itemize}

\item Calcula un intervalo de confianza a nivel \(1-\alpha\) por el método
\emph{bootstrap} y compara su longitud con el intervalo del apartado 
anterior.
\begin{itemize}
\item Haciendo los cálculos en R:
\begin{verbatim}
n <- 10 ; B <- 1e5 ; a <- .05
X <- c(4.6, 4.4, 1.8, 3, 4, 2.7, 1.7, 4.3, 3.9, 2.2)
T <- max # estimador
t <- T(X)
distri <- replicate (B, T(sample(X,,TRUE)))
## intervalo pivotal
cat("pivotal:", t, t/a^(1/2/n), "\n")
## bs percentil/cuantil: no funciona con extremos
cat("bs cuantil: ")
print (ICc <- quantile (distri,   c(a,1), names=FALSE))
## bs básico
cat("bs básico: ")
print (ICb <- t - quantile (distri-t, c(1,a), names=FALSE)) 
## bs paramétrico
distri <- replicate (B, T(rbeta(n,2,1)*t))
cat("bs paramétrico: ")
print (ICp <- t - quantile (distri-t, c(1,a), names=FALSE))
## t-bústrap paramétrico
dtT <- function (t) t*sqrt(n/((n+1)^2*(n+2)))
distri <- replicate (B, ((Tb<-T(rbeta(n,2,1)*t))-t)/dtT(Tb))
cat("t-bústrap: ")
print (ICt <- t - quantile (distri, c(1,a), names=FALSE) * dtT(t))
## estimador puntual
cat ("estimación puntual:", t, "\n Longitudes:\n")
## longitudes
cat("pivotal:", t*(1/a^(1/2/n)-1), "\n")
cat("bs cuantil:", diff(ICc), "\n")
cat("bs básico:", diff(ICb), "\n")
cat("bs paramétrico:", diff(ICp), "\n")
cat("t-bs paramétrico:", diff(ICt), "\n")
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

pivotal: 4.6 5.343297

bs cuantil: > [1] 4.3 4.6

bs básico: > [1] 4.6 4.9

bs paramétrico: > [1] 4.600000 5.244668

t-bústrap: > [1] 4.600002 5.348207

estimación puntual: 4.6 
 Longitudes:

pivotal: 0.7432972

bs cuantil: 0.3

bs básico: 0.3

bs paramétrico: 0.6446675

t-bs paramétrico: 0.7482052
\end{verbatim}

El bústrap cuantil no funciona en absoluto.

El bústrap básico genera una distribución demasiado discreta y un intervalo muy estrecho.

El bústrap paramétrico da un intervalo más estrecho que el pivotal.

El t-bústrap paramétrico, con muchas repeticiones, da casi el mismo
resultado que el pivote.

(Mediante simulaciones, se puede comprobar que el bústrap básico y
el paramétrico, a nivel 95\%, cubren respectivamente menos del 85\% y
del 90\%.)
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item Sea \(X\) una variable con distribución \(F_{\theta}(x)=x^{\theta}\) para
\(x\in(0,1)\).  Calcular un intervalo de confianza a nivel \(1-\alpha=0.9\)
para una muestra aleatoria simple de tamaño \(n\).
\begin{itemize}
\item \(X\hookrightarrow F_X(x)=x^{\theta}\) \(\implies\)
\(f(x)=\theta x^{\theta-1}\) \(\sim\) \(\beta(\theta,1)\) \(\implies\)
\(L(\vec x,\theta)=\theta^n\left(\prod x_i\right)^{\theta-1}\) \(\implies\)
\(l\colonequals\ln L=n\ln\theta+(\theta-1)(-T)\) con 
\(T\colonequals-\ln\prod x_i=-\sum\ln x_i\) \(\implies\) 
\(l'\) \(=\) \(n/\theta-T\) \(\implies\) \(\hat\theta_{\rm MV}=n/T\)
\item \(X\hookrightarrow\beta(\theta,1)\) \(\implies\) 
\(-\ln X\) \(\hookrightarrow\) \({\rm Exp}(\theta)\)  \(=\)  \(\gamma(1,\theta)\)
\(\implies\) \(T\hookrightarrow\gamma(n,\theta)\)  \(\implies\)
\(\theta T\hookrightarrow\gamma(n,1)\) es un pivote.
\item \(\alpha_1+\alpha_2\colonequals\alpha\), \(\quad\)
\(\Pr[\gamma(n,1) < c_1]\) \(\colonequals\) \(\alpha_1\), \(\quad\)
\(\Pr[\gamma(n,1) > c_2]\) \(\colonequals\) \(\alpha_2\) 
\(\implies\) \(1-\alpha\) \(=\) \(\Pr[c_1\leqslant\theta T\leqslant c_2]\)
\(=\) \(\Pr[c_1/T\leqslant\theta\leqslant c_2/T]\)
\item Como \(\gamma(n,1)\) es acampanada, suele tomarse \(\alpha_1\) \(=\)
\(\alpha_2\) \(=\) \(\alpha/2\) \(=\) \(0.05\)
\end{itemize}
\item La duración de cierto tipo de válvulas sigue una distribución
\(\gamma(1,\lambda)\).  Se desea determinar qué duración \(\theta\)
es superada por el 90\% de las válvulas.  Para ello se dispone de la 
duración de 9 válvulas: 15,5 \(\,\) 7,3 \(\,\) 12,5 \(\,\) 22 \(\,\)
14 \(\,\) 12 \(\,\) 30 \(\,\) 10 \(\,\) 10,5.
Determinar un intervalo de confianza para \(\theta\) con 
\(1-\alpha\) \(=\) \(0.95\).
\begin{itemize}
\item \(X\) \(\hookrightarrow\) \(\gamma(1,\lambda)\) \(=\) \({\rm Exp}(\lambda)\)
\(\implies\) \(0.9\) \(=\) \(\Pr[X>\theta]\) \(=\) \(e^{-\lambda\theta}\)
\(\implies\) \(\lambda=(-\ln0.9)/\theta\)
\item \(X\) \(\hookrightarrow\) \(\gamma(1,\lambda)\) \(\implies\)
\(\sum X_i\) \(\hookrightarrow\) \(\gamma(n,\lambda)\) \(=\)
\(\gamma(n,[-\ln0.9]/\theta)\) \(\implies\) 
\((-\ln0.9)\sum X_i/\theta\) \(\hookrightarrow\) \(\gamma(n,1)\) pivote.
\item \(n=9\) \(\,\) \(\alpha_1=\alpha_2=\alpha/2=0.025\) \(\implies\) 
\((c_1,c_2)\) \(=\)
\begin{verbatim}
print (c (c1 = c1 <- qgamma(0.025,9,1), c2 = c2 <- qgamma(0.975,9,1)))
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
      c1        c2 
4.115373 15.763189
\end{verbatim}


\(\implies\) I.C. \(=\) \((-\ln0.9)\sum x_i\cdot[1/c_2,1/c_1]\) \(=\)
\begin{verbatim}
X <- c(15.5, 7.3, 12.5, 22, 14, 12, 30, 10, 10.5)
print (-log(0.9) * sum(X) / c(c2,c1))
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 0.8943138 3.4255064
\end{verbatim}
\end{itemize}

\item El número de partículas alfa emitidas, en un segundo, por una
sustancia radiactiva sigue una distribución \(P(\lambda)\). Se
dispone de una muestra aleatoria simple de \(10\) segundos 
\((x_1,\dots, x_{10})\) durante los que se detectaron tres partículas
alfa.  Calcula un intervalo de confianza para \(\lambda\)
con coeficiente de confianza \(1-\alpha\) \(=\) \(0.95\).
\begin{itemize}
\item \(\sum X_i\) \(\hookrightarrow\) \(P(n\lambda)\) que es discreta y
no puede proporcionar un pivote exacto, así que buscaremos uno 
asintótico, aunque el tamaño muestral sea pequeño.
\item Por el T.C.L., \(\bar X\) \(\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\)
\(N(\lambda,\sqrt{\lambda/n})\) luego \(1-\alpha\) \(=\) 
\(\Pr[|\bar X-\lambda|/\sqrt{\lambda/n}\leqslant z_{1-\alpha/2}]\) \(=\)
\(\Pr[(\bar X-\lambda)^2/(\lambda/n) < z]\) \(\implies\) I.C. \(=\)
\begin{verbatim}
expresion : (Xm - l)^2 / (l/n) - z $
print (expand (expresion)) $
soluciones : solve (expresion, l) $
print (soluciones) $
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
                2
              Xm  n
(- z) + l n + ----- - 2 Xm n 
                l
             2                                     2
       sqrt(z  + 4 Xm n z) - z - 2 Xm n      sqrt(z  + 4 Xm n z) + z + 2 Xm n
[l = - --------------------------------, l = --------------------------------] 
                     2 n                                   2 n
\end{verbatim}

\item En el enunciado, \(n=10\), \(\bar X = 3/10\), luego I.C. \(=\)
\begin{verbatim}
n : 10 $  Xm : 3/10 $  z : 1.96 $
expresion : (Xm - l)^2 / (l/n) - z $
soluciones : ev (solve (expresion, l), numer) $
print (soluciones) $
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[l = 0.1364584163082282, l = 0.6595415836917717] 
\end{verbatim}

\item Otra opción sería usar bústrap paramétrico (básico o
percentil, porque el t-bústrap
produce intervalos infinitos debido a
estimaciones nulas de la varianza):
\begin{verbatim}
n <- 10 ; T0 <- 3/10 ; a <- 0.05 ; B <- 1000
distri <- replicate (B,
{
  Xb <- rpois (n, T0)
  Tb <- mean(Xb)
  Tb - T0
})
T0 - quantile(distri, c(1-a/2,a/2), names=FALSE) # básico
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] -0.1  0.6
\end{verbatim}


\begin{verbatim}
distri <- replicate (B,
{
  Xb <- rpois (n, T0)
  mean(Xb)
})
quantile(distri, c(a/2,1-a/2), names=FALSE) # percentil
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 0.0 0.7
\end{verbatim}
\end{itemize}

\item En el lenguaje de la silvicultura se denomina \emph{bosque de Poisson} de
intensidad \(\lambda\) a aquél que satisface:
\begin{enumerate}
\item El número de árboles existentes en una parcela de área \(A\)
contenida en el bosque es una variable aleatoria con ley de Poisson de 
parámetro \(\lambda A\).
\item Si \(A_1, \dots, A_n\) son parcelas disjuntas dentro del bosque, 
las variables aleatorias «número de árboles en cada parcela» son 
independientes.
\end{enumerate}
Resuelve las siguientes cuestiones referentes a cierto bosque de Poisson
de intensidad \(\lambda\):
\begin{enumerate}
\item Fijado un punto \(P\) cualquiera en el bosque, probar que la ley de
probabilidad de la variable aleatoria «distancia de \(P\) al árbol 
más próximo» tiene densidad 
\(f(x) = 2 \pi \lambda x \exp(-\pi\lambda x^2)\)
si \(x > 0\).
\begin{itemize}
\item Sea \(D\) dicha distancia. \(F_D(x)\) \(=\) \(\Pr[D\leqslant x]\)
\(=\) \(1-\Pr[D > x]\)
\(=\) \(1-\Pr[X=0]\) \(=\) \(1-\exp(-\lambda\pi x^2)\),
siendo \(X\) el número de árboles en el círculo
con centro \(P\) y radio \(x\), luego 
\(X\hookrightarrow P(\lambda\pi x^2)\).
\item Entonces \(f_D(x)\) \(=\) \(F_D'(x)\) \(=\)
\(\left[1-\exp(-\lambda\pi x^2)\right]'\) \(=\)
\(-\exp(-\lambda\pi x^2)\cdot(-\lambda\pi2x)\)
\item Por otro lado, la forma de \(F_D\) 
sugiere que la distribución de \(D\) está relacionada con la 
exponencial; considerando \(Y\colonequals D^2\) se tiene que 
\(F_Y(y)\) \(=\) \(\Pr[D^2\leqslant y]\) \(=\) 
\(\Pr[D\leqslant\sqrt y]\) \(=\) \(1-\exp(-\lambda\pi \sqrt{y}^2)\)
\(=\) \(1-\exp(-\lambda\pi y)\) \(\implies\) \(D^2\) \(\hookrightarrow\)
\({\rm Exp}(\lambda\pi)\)
\end{itemize}
\item Fijados \(10\) puntos al azar suficientemente alejados en el bosque
se midieron las distancias en metros \(X_1, \dots, X_{10}\) de cada punto
al árbol más próximo, obteniéndose los siguientes resultados:

\texttt{(7.11, 3.24, 2.31, 5.38, 4.29, 5.63, 4.91, 6.08, 7.89, 3.53)}

Con dicha información, obtener:
\begin{enumerate}
\item Una estimación máximo-verosímil para \(\theta\colonequals1/\lambda\).
\begin{itemize}
\item \(L(\vec x,\theta)\) \(=\) \(\prod f(x_i,\theta)\) \(=\)
\(\prod 2\pi x_i\exp(-\pi x_i^2/\theta)/\theta\) \(=\)
\(2^n\pi^n\prod x_i\exp(-\pi\sum x_i^2/\theta)/\theta^n\)
\(\implies\) \(l\colonequals\ln L\) \(=\) 
\(n\ln2+n\ln\pi+\sum\ln x_i-\pi\sum x_i^2/\theta-n\ln\theta\)
\(\implies\) \(l'\) \(=\) \(\pi\sum x_i^2/\theta^2-n/\theta\)
\(\implies\) \(\hat\theta_{\rm MV}=\pi\sum x_i^2/n\)
\item Otra forma: \(X^2\hookrightarrow{\rm Exp}(\pi/\theta)\)
\(\implies\) \(\widehat{\pi/\theta}\) \(=\) \(n/\sum x_i^2\)
\(\implies\) \(\widehat{1/\theta}\) \(=\) \(n/(\pi\sum x_i^2)\)
\(\implies\) \(\hat{\theta}\) \(=\) \(\pi\sum x_i^2/n\) por la
equivariancia del estimador máximo-verosímil.
\item estimación \(=\)
\begin{verbatim}
X <- c(7.11, 3.24, 2.31, 5.38, 4.29, 5.63, 4.91, 6.08, 7.89, 3.53)
n <- length(X)
pi * sum(X^2) / n
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 88.34746
\end{verbatim}
\end{itemize}

\item Un intervalo de confianza para \(\lambda\) con coeficiente de 
confianza \(0.99\).
\begin{itemize}
\item \(X^2\hookrightarrow{\rm Exp}(\pi\lambda)\) \(\implies\)
\(\sum X_i^2\hookrightarrow\gamma(n,\pi\lambda)\) \(\implies\)
\(\pi\lambda\sum X_i^2\hookrightarrow\gamma(n,1)\) es un pivote.
\item \(1-\alpha\) \(=\) 
\(\Pr[c_1\leqslant \pi\lambda\sum X_i^2\leqslant c_2]\)
\(=\) \(\Pr[c_1/(\pi\sum X_i^2)\leqslant \lambda\leqslant 
                   c_2/(\pi\sum X_i^2)]\)
\item \(\alpha_i=\alpha/2\) \(\implies\)
\begin{verbatim}
a <- 0.01
qgamma (c(a/2,1-a/2), n) / (pi * sum(X^2)) # I.C.
\end{verbatim}

\begin{verbatim}

[1] 0.004207164 0.022636104
\end{verbatim}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item Exponer otro método de recogida de datos para estimar el parámetro 
\(\lambda\).
\begin{itemize}
\item Fijar varias parcelas \(P_1,\dots,P_n\) de área \(A\) cada una
y contar el número de árboles en cada una para obtener una 
muestra de una \(P(\lambda A)\).
\item Fijar un punto \(C\) como centro de un círculo de radio \(R\)
y considerar las distancias cuadráticas a \(C\)
de los árboles inscritos, como una muestra aleatoria simple
de una variable con distribución exponencial de parámetro \(\lambda\)
truncada a \([0,R]\).
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item La vida media de un virus sigue una distribución \(N(\mu,3)\). Se toman
10 cultivos de dicho virus, y se obtiene que el tiempo medio de 
supervivencia del virus es de 12 horas.
\begin{enumerate}
\item Calcular un intervalo de confianza, con \(1-\alpha=0.99\), para la
media de la distribución.
\begin{itemize}
\item pivote \((\bar X-\mu)/(3/\sqrt n)\) \(\hookrightarrow\) \(N(0,1)\)
\(\implies\) I.C. \(=\) \(\bar X\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\frac3{\sqrt n}\)
\begin{verbatim}
12 + c(-1,1) * qnorm(.995) * 3 / sqrt(10)
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[1]  9.556354 14.443646
\end{verbatim}
\end{itemize}

\item ¿Qué tamaño de muestra sería necesario para que el intervalo
tuviese longitud menor que 1?
\begin{itemize}
\item 1 \(>\) longitud \(=\) \(2\cdot z_{1-\alpha/2}\cdot\frac3{\sqrt n}\)
\(\iff\) \(n > (6\cdot z_{1-\alpha/2})^2\)
\begin{verbatim}
(6 * qnorm (.995)) ^ 2
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
[1] 238.8563
\end{verbatim}


\(\implies\) 
\(n \geqslant\)
239
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item El departamento de control de calidad de una empresa desea estimar
la proporción, \(p\), de piezas defectuosas que se producen en la fábrica.
Para ello elige al azar una muestra de treinta piezas, de las cuales cinco
presentan algún defecto.  Calcula la estimación máximo-verosímil de \(p\).
\begin{itemize}
\item \(X_i\) \(\colonequals\) 
\(\mathds1(\text{pieza $i.^{\rm\underline a}$ defectuosa})\)
\(\implies\) \(X\hookrightarrow B(1,p)\)
\(\implies\) \(L(\vec x,p)\) \(=\) \(p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}\)
\(\implies\) \(\hat p_{\rm MV}\) \(=\) \(\sum x_i/n=\bar x\)
\(\implies\) estimación \(=\) \(5/30\) \(\approx\) 17\%
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}