\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{fullpage}
\begin{document}
\title{Ejercicios }
\author{}
\maketitle
\begin{enumerate}
\item El coste de fabricación de equipos electrónicos de una empresa
  se ajusta a una distribución \textit{Normal(5000, 30)}. Su
  departamento de I+D ha desarrollado un nuevo método de fabricación
  con el que han producido \textit{n} equipos y quiere determinar si
  el coste medio sigue siendo el mismo o se ha reducido.

  Sabiendo que la desviación típica con el nuevo método no cambia,
  resuelve las siguientes cuestiones.
\begin{enumerate}
  \item Formula las hipótesis nula y alternativa
  \item Define una región crítica con nivel de significación $\alpha=0.05$.
  \item Estudia el efecto de $n$ sobre la potencia del test.
  \item Estudia el efecto de $\sigma$ sobre la potencia del test, para $n$ fijo.
  \item Analiza cómo cambiaría el problema si las hipótesis a
    contrastar fueran $H_0: \mu \ge 5000$ frente a $H_1: \mu < 5000$
  \item Contrasta las hipótesis $H_0: \mu \ge 5000$ frente a
    $H_1: \mu < 5000$ si la desviación típica fuera desconocida.
\end{enumerate}

\item Dada la variable aleatoria $X\equiv N(\mu, \sigma)$, con
  $\sigma $ conocido, se desea contrastar las hipótesis
  $H_0: \mu \leq \mu_0 $ frente a $ H_1: \mu > \mu_0$ al nivel de
  significación \( \alpha \) y de manera que la potencia del contraste
  sea \(\beta \) para \( \mu = \mu_0 + d \) con \(d>0 \). Resuelve los
  siguientes apartados.
\begin{enumerate}
 \item ¿Cuál será el mínimo tamaño de muestra necesario?
 \item ¿Cómo calcularías $n$ si la desviación típica $\sigma$ fuera desconocida?
\end{enumerate}

\item En una empresa se sabe que el porcentaje de piezas que presentan
  algún defecto es mayor o igual al 25\%. Para intentar mejorar esta
  situación el departamento de I+D+i ha propuesto una serie de cambios
  que se han aplicado en la fabricación de 36 piezas de las que sólo 3
  estaban defectuosas. Resuelve los siguientes apartados.

\begin{enumerate}
\item Contrasta al nivel de significación $0.01$ si la probabilidad de
  fallo se reduce realmente con el nuevo método de fabricación.
\item Estima el mínimo tamaño de muestra necesario para garantizar el
  rechazo del método tradicional, con una potencia de $0.80$, si la
  $P({\rm fallo})$ se hubiera reducido a la mitad.
 \end{enumerate}

\item Sea $(x_1,..., x_n)$ una muestra aleatoria simple de tamaño 9 de
  una variable $X$ con distribución $N(\mu, 1)$, con la que se desea
  contrastar las hipótesis $H_0: \mu= 3.5$ frente a $H_1: \mu =
  5$. Resuelve las siguientes cuestiones:
\begin{enumerate}
 \item Encontrar un test al nivel de significación $0.05$.
 \item Calcular la función potencia del test.
 \item ¿Qué ocurre con la potencia del test con un tamaño de muestra de 36?
 \item Si la hipótesis alternativa fuese $H_1: \mu = 9$, ¿qué cambia en el contraste?
 \end{enumerate}

\item La proporción de piezas defectuosas en una cadena de producción
  es usualmente $0.1$. Para contrastar esta hipótesis se toma una
  muestra de tamaño $10$ y se proponen dos métodos de decisión:
  \begin{itemize}
   \item Rechazar esa hipótesis si hay alguna pieza defectuosa.
   \item Rechazar esa hipótesis si hay más de dos piezas defectuosas.
  \end{itemize}
Resuelve las siguientes preguntas:
  \begin{enumerate}
   \item ¿Definen estos métodos tests al nivel de significación $0.1$?
   \item Construye una región crítica al nivel de significación $0.05$.
 \end{enumerate}

\item Un mayorista afirma que, entre los productos que fabrica, el
  96\% no sufre avería el primer año de uso. Se compra un lote de 125
  aparatos con el compromiso de que si durante el primer año de uso se
  averían más de 6 se rechaza la afirmación del mayorista, se devuelve
  el lote y se recibe una indemnización.
  \begin{enumerate}
  \item Plantea el contraste de hipótesis asociado a este problema, la
    región crítica y la de aceptación.
  \item Determina el nivel de significación del contraste.
  \end{enumerate}
\item
 Sea $X$ una variable aleatoria con función de densidad
 $$
 f (x) =
   \begin{cases}
     \theta x^{\theta-1} & \text{si } x\in[0,1] \\
     0 & \text{en el resto}
   \end{cases}
 $$
 para la que se recoge la siguiente muestra aleatoria simple:
\begin{verbatim}
c(0.355, 0.921, 0.404, 0.448, 0.196, 0.637, 0.968, 0.647, 0.862, 
0.462, 0.778, 0.312, 0.912, 0.57, 0.484, 0.506, 0.804, 0.643, 
0.213, 0.603, 0.128, 0.596, 0.958, 0.888, 0.772, 0.243, 0.652, 
0.662, 0.999, 0.856)
\end{verbatim}
 
 \begin{enumerate}
   \item Buscar una región crítica, basada en el estimador máximo-verosímil,
     para contrastar $H_0 : \theta = 3$ frente a $H_1 : \theta\ne3$ con la
     información de una muestra de $30$ observaciones y nivel de
     significación $0.05$.
   \item Calcular y representar la función potencia.
   \item Hallar el tamaño de la muestra necesario
     para tener una potencia de $0.90$ con $\theta=4$.
 \end{enumerate}
\item Se dispone de los siguientes valores de la variable $X$ =
  \emph{crecimiento diario predestete en kg/día} para una muestra de
  bisontes de capa parda:
\begin{verbatim}
c(1.358, 1.097, 0.945, 1.252, 1.022, 1.002, 1.098, 1.095, 1.342, 
1.174, 1.013, 1.315, 1.446, 1.29, 1.535)
\end{verbatim}
  Se quiere estudiar la misma variable en bisontes de capa rubia (BCR).
  \begin{enumerate}
  \item Suponiendo que tiene la misma varianza que $X$ y que vale
    $\sigma^2=0.04$, ¿cuántos BCR habría que medir para poder detectar
    con una potencia del $90$\% una diferencia de medias de $0.1$ kg a
    nivel de significación $0.05$?
  \item Suponiendo que las varianzas son desconocidas y que se han
    recogido la siguiente muestra para los BCR, contrasta si hay
    evidencia de que las medias poblacionales son distintas:
\begin{verbatim}
c(1.488, 1.732, 1.849, 1.353, 1.489, 1.535, 1.485, 1.421, 1.153, 
1.209, 1.474, 1.166, 1.369, 1.412, 0.984, 1.217, 1.495, 1.549, 
1.354, 1.354, 1.271, 1.58, 1.341, 1.62, 1.143)
\end{verbatim}
  \end{enumerate}
\item Se han obtenido las siguientes calificaciones en una prueba de
  matemáticas realizada a varios alumnos de primer y segundo cursos de
  bachillerato:
\begin{verbatim}
c(6.9, 6.1, 7.3, 7, 7.5, 6.9, 6.5, 6.8, 6.3, 6.6, 7.2, 7, 7.3, 
6.9, 7.1, 6.7, 6.9, 6.9, 6.5, 6.9) # primer curso
c(6.5, 8.1, 6.3, 6.1, 6.6, 4.9, 7.1, 4.5, 6.9, 6.1, 7.8, 5.7, 
7.4, 6.6, 6.8, 6.4, 6.1, 6.4, 5.4, 7.2) # segundo curso
\end{verbatim}
  Suponiendo que las calificaciones en cada curso siguen sendas
  distribuciones gausianas,
  \begin{enumerate}
  \item calcula un intervalo al $90$\% de confianza de la diferencia
    entre sus esperanzas;
  \item 
  comprueba si puede considerarse que sus esperanzas son iguales a
  nivel de significación $\alpha=0.05$.
  \end{enumerate}
\item En una empresa industrial donde se realiza un control de calidad
  por atributos, se muestrean doscientas piezas y se comprueba que
  cinco de ellas han salido defectuosas.  Se quiere realizar una prueba
  para comprobar si un nuevo sistema de producción reduce el porcentaje
  poblacional de piezas defectuosas.
  \begin{enumerate}
  \item ¿Cuántas piezas producidas bajo el nuevo sistema se deberían
    muestrear para poder detectar una reducción del porcentaje de
    defectuosos de un punto porcentual (p.ej. del 10\% al 9\%, o del
    2\% al 1\%) a nivel de significación $10\%$ y con potencia de $70\%$?
  \item Justifica una conclusión a partir de una muestra de ciento
    cincuenta piezas fabricadas bajo el nuevo sistema, entre las que
    no se ha observado ninguna pieza defectuosa.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}



