%% -*- (fset 'tejer [?\C-x ?\C-s escape ?n ?S escape ?n ?P right return ?\C-x ?1]) -*-
%% -*- (local-set-key "\C-c\C-c" 'tejer) -*-
\documentclass{beamer}
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\usepackage[T1]{fontenc}
\usetheme{Antibes}

\usepackage{Sweave}
\begin{document}
\title{CONTRASTES DE HIPÓTESIS}
\author{EJEMPLOS}

\begin{frame} [fragile]
  \maketitle
\end{frame}
\section{Ejemplo 1: POBLACIÓN GAUSIANA}
\subsection{BILATERAL}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Enunciado}
  Una empresa envasa patatitas en bolsas de
  $40$ 
  g. 
  
  Su procedimiento de control de calidad estipula que la cantidad
  media envasada por bolsa ha de ser exactamente $40$ g, y
  que el proceso se considera fuera de control si se producen desvíos
  tanto por arriba (por la pérdida económica) como por abajo (por
  evitar acusaciones de fraude).
  
  El protocolo de control consiste en la supervisión periódica de muestras
  de $10$ bolsas.
  \begin{enumerate}
  \item Constrúyase una región crítica a nivel $\alpha=0.05$
      para el contraste $H_0\equiv\text{bajo control}$, 
      $H_1\equiv\text{fuera de control}$.
    \item Aplíquese el contraste a la muestra $
     38.5$ - $39.2$ - $39.8$ - $38.3$ - $39.7$ - $39.5$ - $39.6$ - $40.6$ - $38.3$ - $40.8
      $.
  \end{enumerate}
  Supóngase que la cantidad envasada por bolsa sigue una distribución 
  gausiana.
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Resolución}
  Población:
  $$X = \text{``cantidad en g envasada en cada bolsa''}\equiv N(\mu,\sigma)$$
   Hipótesis:
   $$H_0\equiv\mu=40\qquad H_1\equiv\mu\neq40$$
   Estadístico del contraste:
   $$X\stackrel{H_0}{\equiv} N(40,\sigma) $$
  $$ 
  \left.
    \begin{array}{r}
      \bar X\stackrel{H_0}{\equiv} 
      N\bigg(40,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\bigg) \\
      \frac{(n-1)\hat S^2_X}{\sigma^2}\equiv \chi^2_{n-1}
    \end{array}
    \right\} \text{independientes} \implies T=
    \frac{\bar X-40}{\frac{\hat S_X}{\sqrt n}}\equiv t_{n-1}
    $$
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Resolución}
    Región crítica:
    $$
    \text{R.C.} = \{\vec x\mid T<c_1\} \cup  \{\vec x\mid T>c_2\} 
    $$
    $$
    P(T<c_1)=P(T>c_2)=\frac{\alpha}{2}\implies -c_1=c_2=
    F_{t_{n-1}}^{-1}\bigg(1-\frac \alpha 2\bigg)
    $$

    En R:
    
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (c2 <- qt (1-alfa/2, n-1))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 2.262157
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Resolución}
  Para la muestra obtenida:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> X
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
 [1] 38.5 39.2 39.8 38.3 39.7 39.5 39.6 40.6 38.3 40.8
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> mean(X); sd(X)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 39.43
\end{Soutput}
\begin{Soutput}
[1] 0.8794569
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> (T <- (mean(X) - mu0) / sd(X) * sqrt(n))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] -2.049558
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> T < -c2 | T > c2 # ¿se rechaza H0?
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] FALSE
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{frame}

\subsection{UNILATERAL}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Enunciado}
  Una empresa envasa patatitas en bolsas de
  $40$ 
  g. 
  
  Su procedimiento de control de calidad estipula que la cantidad
  media envasada por bolsa ha de ser \alert{al menos $40$ g}.
  
  El protocolo de control consiste en la supervisión periódica de muestras
  de $10$ bolsas.
  \begin{enumerate}
  \item Constrúyase una región crítica a nivel $\alpha=0.05$
      para el contraste $H_0\equiv\text{bajo control}$, 
      $H_1\equiv\text{fuera de control}$.
    \item Aplíquese el contraste a la muestra $
     38.5$ - $39.2$ - $39.8$ - $38.3$ - $39.7$ - $39.5$ - $39.6$ - $40.6$ - $38.3$ - $40.8
      $.
  \end{enumerate}
  Supóngase que la cantidad envasada por bolsa sigue una distribución 
  gausiana.
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Resolución}
  Población:
  $$X = \text{``cantidad en g envasada en cada bolsa''}\equiv N(\mu,\sigma)$$
   Hipótesis:
   $$H_0\equiv\mu\ge40\qquad H_1\equiv\mu<40$$
   Estadístico del contraste:
   $$  T=
    \frac{\bar X-40}{\frac{\hat S_X}{\sqrt n}}\equiv t_{n-1}
    $$
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Resolución}
    Región crítica:
    $$
    \text{R.C.} = \{\vec x\mid T<c\}
    $$
    $$
    P(T<c)={\alpha}\implies c = 
    F_{t_{n-1}}^{-1}(\alpha)
    $$
    
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (c <- qt (alfa, n-1))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] -1.833113
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> (T <- (mean(X) - mu0) / sd(X) * sqrt(n))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] -2.049558
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> T < c # ¿se rechaza H0?
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] TRUE
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Enunciado}
  Una empresa envasa patatitas en bolsas de
  $40$ 
  g. 
  
  Su procedimiento de control de calidad estipula que la cantidad
  media envasada por bolsa ha de ser al menos $40$ g.
  
  El protocolo de control consiste en la supervisión periódica de muestras
  de $10$ bolsas.
  \begin{enumerate}
  \item Constrúyase una región crítica a nivel $\alpha=0.05$
      para el contraste $H_0\equiv\text{bajo control}$, 
      $H_1\equiv\text{fuera de control}$.
    \item Aplíquese el contraste a cierta muestra \alert{tal que
      $\bar x = 40.2$}.
  \end{enumerate}
  Supóngase que la cantidad envasada por bolsa sigue una distribución 
  gausiana.
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
  \frametitle{Resolución}
  Población:
  $$X = \text{``cantidad en g envasada en cada bolsa''}\equiv N(\mu,\sigma)$$
   Hipótesis:
   $$H_0\equiv\mu\ge40\qquad H_1\equiv\mu<40$$
   Estadístico del contraste:
   $$  T=
    \frac{\bar X-40}{\frac{\hat S_X}{\sqrt n}}\equiv t_{n-1}
    $$
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Resolución}
    Región crítica:
    $$
    \text{R.C.} = \{\vec x\mid T<c\}
    $$
    $$
    P(T<c)={\alpha}\implies c = 
    F_{t_{n-1}}^{-1}(\alpha)
    $$
    
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (c <- qt (alfa, n-1))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] -1.833113
\end{Soutput}
\end{Schunk}
Sabemos que $c<0$ y que $T>0$, luego $\vec x\notin{}$R.C.
\end{frame}
\section{Ejemplo 2: POBLACIÓN BERNULI}
\subsection{UNILATERAL}
\begin{frame} [fragile]
\frametitle{Enunciado}
  Una empresa fabrica sensores, que se clasifican en válidos 
  o defectuosos.
  
  Su procedimiento de control de calidad estipula que la proporción
  poblacional de defectuosos ha de ser a lo sumo $0.03$.
  
  El protocolo de control consiste en la supervisión periódica de muestras
  de $50$ sensores.
  \begin{enumerate}
  \item Constrúyase una región crítica a nivel $\alpha=0.05$
      para el contraste $H_0\equiv\text{bajo control}$, 
      $H_1\equiv\text{fuera de control}$.
    \item Aplíquese el contraste a la muestra $
 0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $0$ $0$ $0
      $.
    \item Calcúlese el tamaño del contraste.
  \end{enumerate}
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
\frametitle{Resolución}
  Población:
  $$X = \text{``0 si válido, 1 si defectuoso''}\equiv B(1,p)$$
   Hipótesis:
   $$H_0\equiv p\le0.03\qquad H_1\equiv p>0.03$$
   Estadístico del contraste:
   $$T=\sum_{i=1}^nX_i \stackrel{H_0}{\equiv} B(n,0.03) $$
   Región crítica:
   $$\text{R.C.} = \{\vec x \mid T > c\}$$
\end{frame}
\begin{frame} [fragile]
\frametitle{Resolución}
\begin{itemize}
  \item
   Región crítica:
   $\text{R.C.} = \{\vec x \mid T > c\}$
   
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (c <- qbinom(1-alfa, n, p0))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 4
\end{Soutput}
\end{Schunk}

\item
$P(T>4)$ = tamaño
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> 1 - pbinom(c, n, p0)   
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.01681065
\end{Soutput}
\end{Schunk}

\item $P(T>3) = P(T\ge4)$ excede el nivel de significación
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> 1 - pbinom(c-1, n, p0)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.06275993
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Potencia}
\vspace{-5ex}\centering
\includegraphics{contrastes1-008}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Potencia}
\begin{eqnarray*}
  \text{Pot}(p) &=& 1- \Pr[T \le c\mid p] \\
  &=&
  1-\sum_{k=0}^c \Pr[B(n,p)=k]={}\\
&=&1-\sum_{k=0}^c {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}\\
&=&1-\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Potencia}
  \footnotesize
\begin{equation*}
\frac{\partial\,\text{Pot}(p)}{\partial p} =
\frac{\partial}{\partial p}
\left(1-\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
{}=-\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}\left(kp^{k-1}(1-p)^{n-k}
  -p^k(n-k)(1-p)^{n-k-1}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
  {}=
-\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}kp^{k-1}(1-p)^{n-k}
+\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}p^k(n-k)(1-p)^{n-k-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  {}=
-\sum_{k=1}^c {n! \over k!(n-k)!}kp^{k-1}(1-p)^{n-k}
+\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k)!}p^k(n-k)(1-p)^{n-k-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  {}=
-\sum_{k=1}^c {n! \over (k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}
+\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k-1)!}p^k(1-p)^{n-k-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  {}=
-\sum_{\kappa=0}^{c-1} {n! \over \kappa!(n-\kappa-1)!}p^\kappa(1-p)^{n-\kappa-1}
+\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k-1)!}p^k(1-p)^{n-k-1}
\end{equation*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Potencia}
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\,\text{Pot}(p)}{\partial p} &=&
-\sum_{\kappa=0}^{c-1} {n! \over \kappa!(n-\kappa-1)!}p^\kappa(1-p)^{n-\kappa-1}\\
&+&\sum_{k=0}^c {n! \over k!(n-k-1)!}p^k(1-p)^{n-k-1}\\
  &=&{n! \over c!(n-c-1)!}p^c(1-p)^{n-c-1}\\[2ex]
      &>&0\\[2ex]
  &\implies&\text{Pot($p$) creciente}
\end{eqnarray*}
\end{frame}

\begin{frame} [fragile]
\frametitle{Resolución}
   A menudo se usa la versión asintótica:
   $$\hat p = \bar X \equiv N\left(p_0,\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\right)$$
   $$\text{R.C.} = \{\vec x \mid \hat p > c\}$$
   
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
> (c <- qnorm(1-alfa, p0, sqrt(p0*(1-p0)/n)))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0.06968156
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
> c * n
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 3.484078
\end{Soutput}
\end{Schunk}
\end{frame}

%% \begin{frame} [fragile]
%% \frametitle{Resolución}
%%    ...o la versión asintótica con correción por continuidad:
%%    $$\hat p = \bar X \equiv N\left(p_0,\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}\right)$$
%%    $$\text{R.C.} = \left\{\vec x \;\middle|\; \hat p > c+\frac{1/2}n\right\}$$
   
%% <<>>=
%% c + 1/2 / n
%% (c + 1/2 / n) * n
%% @ 
%% \end{frame}
\end{document}
