\documentclass{beamer}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{bbm} % para \mathbbmss{E} sin remates
\usepackage{listings}
\newcommand{\num}{\ensuremath{\text{n\textsuperscript{\b{o}}}}} % número
\newcommand{\indi}{\ensuremath{\mathbbmss{1}}} % función indicatriz
\newcommand{\E}{\ensuremath{{\mathbbmss E}}} % esperanza
\newcommand{\var}{\ensuremath{{\text{Var}}}} % esperanza
\renewcommand{\d}{\ensuremath{{\text{d}}}} % diferencial en integrales; no sé qué hace el \d original
\begin{document}
\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Análisis de Datos 3.}
  \begin{block}{Función de densidad}
    \begin{eqnarray*}
     f(x) &=& \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{P(x \le X < x+h)}{h}\\
     &=&\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{P(x-h \le X < x+h)}{2h} 
    \end{eqnarray*}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Histograma}
    Teniendo en cuenta la siguiente aproximación para valores pequeños de $h$
    $$  \frac{P(x \le X < x+h)}{h} \simeq
    \frac{ \num \bigl(x_i \in [x, x+h)\bigr)/n}{h}$$
    el método consiste en agrupar los valores de la variable en intervalos 
    del tipo $[x_0 - m_1\cdot h, x_0 + m_2\cdot h)$
    y aplicar la aproximación anterior.

    Para $m_1=0$ y $m_2=1$ la estimación viene dada por:
    $$\hat{f}(x) = \frac{ \num\bigl(x_i \in [x, x+h)\bigr)}{n\,h} $$
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Método ingenuo (naive)}
    La función de densidad se puede expresar como:
    $$ f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{P(x-h < X < x+h)}{2 \, h} $$
    Por lo tanto un estimador directo de la densidad puede ser:
    $$\hat{f}(x) = \frac{ \num\bigl(x_i \in (x-h, x+h)\bigr)}{2 \,h \,n} =$$
    %Esta expresión puede ser escrita de la forma:
    $$% \hat{f}(x) 
    = \frac{1}{n} \, \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{h} \cdot K
    \left(\frac{x-x_i}{h}\right)\qquad\text{con}%
    \quad K(x) =
    \begin{cases}\frac12&\text{si }-1<x<1\\0&\text{si no}\end{cases} $$
    %donde $\indi_{[-1;1]}$ es la función indicatriz
    %del intervalo $[-1;1]$.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Estimador núcleo}
    La estimación ingenua puede generalizarse permitiendo que
    $K$ tome muchos más valores que $0$ y $\frac12$.

    Para ello se pide que $K$
    verifique dos condiciones:
    \begin{enumerate}
    \item $K(x)\ge0$
    \item $\int_{-\infty}^{\infty} K(x) \,  dx = 1 $
  \end{enumerate}
  $K$ suele ser una función de densidad que cumple:
  \begin{enumerate}
  \item Es simétrica respecto al $0$.
  \item Creciente para valores negativos.
  \item Decreciente para valores positivos.
  \end{enumerate}
  \end{block}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Estimador núcleo}
    El estimador núcleo de la densidad viene dado por:
    $$\hat{f}(x) = \frac{1}{n\,h} \, \sum_{i=1}^{n} 
    K\left(\frac{x-x_i}{h}\right) $$

    Propiedades:
    \begin{enumerate}
    \item $\hat f(x)\ge 0$
    \item $\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(x) dx$ =
      $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{n\,h} \, \sum_{i=1}^{n} 
    K\left(\frac{x-x_i}{h}\right) dx$ = 
      $\frac1n\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\,h} \, 
    K\left(\frac{x-x_i}{h}\right) dx$ = 
      $\frac1n\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{\infty}
    K\left(x\right) dx$ = 
      $\frac1n\sum_{i=1}^{n} 1$ = $\frac nn$ = $1$
    \end{enumerate}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Medidas de discrepancia de la estimación.}
    \begin{itemize}
    \item Error cuadrático medio
      $$\text{MSE}_x(\hat{f}) = \E\bigl([\hat{f}(x) - f(x)]^2\bigr) =
      \bigl[\E\hat{f}(x) - f(x)\bigr]^2 +
      \var\bigl[\hat{f}(x)\bigr]$$
      
    \item Error cuadrático medio integrado
      \begin{align*}
        \text{MISE}(\hat{f}) &= \E\int [\hat{f}(x) - f(x)]^2 \,\d x\\
        &= \int\bigl[\E\hat{f}(x) - f(x)\bigr]^2\, \d x + \int \var\bigl[\hat{f}(x)\bigr]\, \d x
      \end{align*}
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Núcleos más habituales.}
    \begin{itemize}
    \item cuadrático, parabólico o de Epanechnikov
      \[ \frac34 (1-x^2)\cdot \indi_{[-1;+1]} (x)\]
    \item bicuadrático o cuártico (\emph{biweight})
      \[ \frac{15}{16} (1-x^2)^2\cdot \indi_{[-1;+1]} (x)\]
    \item gausiano
      \[ \frac1{\sqrt{2\pi}} e^\frac{-x^2}2 \]
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Elección del parámetro de ventana.}  El punto crítico en la
    aplicación de este procedimiento es la elección de un \(h\)
    adecuado al tamaño de la muestra y al tipo de distribución. Un
    procedimiento que funciona bien en el caso de distribuciones
    simétricas es considerar el siguiente criterio:
    $$h_{opt}= 1.06\, \sigma \, n^{-1/5} \quad
    \text{siendo \(\sigma\) la desviación típica}$$
    Una alternativa
    que protege de la influencia de los atípicos consiste en sustituir
    la desviación típica por una estimación más robusta de la
    dispersión:
    $$h_{opt}= 0.79\, \text{RIC} \, n^{-1/5} \quad
    \text{con RIC = recorrido intercuartílico}$$
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Procedimientos para estimar la función de densidad.}
  \begin{block}
    {Implementación en R.}
    \begin{itemize}
    \item En R hay la función \texttt{density}.
    \item Por omisión, usa núcleo gausiano.
    \item Por omisión, usa como ancho de banda \(h\) el valor
      \[ 0.9 \times \min \left\{
          \sigma ; \frac{\text{RIC}}{1.34}
        \right\} \times n^\frac{-1}5 \]
      % conocido como regla de Sílverman\\
      % (ecuación (3.31) de página 48 de
      % Silverman, B. W., 1986, \emph{Density Estimation}.
      % Londres: Chapman and Hall)
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Ejemplo en R.}
  \lstset{language=R}
\begin{lstlisting}
> muestra <- rnorm (25)

> sort (round (muestra, 2))
 [1] -1.77 -1.13 -0.84 -0.71 -0.59 -0.55 -0.37
 [8] -0.33 -0.11  0.03  0.13  0.21  0.24  0.28
[15]  0.32  0.43  0.49  0.64  0.69  0.94  1.07
[22]  1.49  1.66  1.90  2.01                  

> densidad <- density (muestra)

> names (densidad)
[1] "x"         "y"         "bw"       
[4] "n"         "call"      "data.name"
[7] "has.na"   
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Ejemplo en R.}
  \lstset{language=R}
\begin{lstlisting}
> densidad$n # taman~o muestral
[1] 25

> length (densidad$x) # num. puntos calculados
[1] 512

> densidad$x [c(100,200,300)] # abscisas
[1] -1.7248983 -0.5460496  0.6327992

> densidad$y [c(100,200,300)] # ordenadas
[1] 0.058970494 0.305151025 0.360550792

> # teoricamente:
> dnorm (densidad$x [c(100,200,300)])
[1] 0.090123382 0.343687113 0.326555306
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Ejemplo en R.}
  \lstset{language=R}
\begin{lstlisting}
> 0.9 * sd(muestra) * length(muestra)^(-1/5)
[1] 0.445286

> 0.9 * IQR(muestra)/1.34 * length(muestra)^(-1/5)
[1] 0.3739862

> densidad$bw
[1] 0.3739862

> plot (densidad)

> points (cbind (muestra, 0))
\end{lstlisting}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-poromision.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-recomenda.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-adjust1.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-adjust5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-adjust10.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-adjust0,5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del parámetro de ventana.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-adjust0,1.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del núcleo.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-gaussian0,5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del núcleo.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-biweight0,5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del núcleo.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-epanech0,5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del núcleo.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-uniforme0,5.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Elección del núcleo.}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-uniforme1.png}
  \end{center}
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Distribución asimétrica (exponencial).}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-exp.png}
  \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Densidad discontinua (uniforme).}
  \begin{center}
   \includegraphics[width=0.9\textwidth]{graf/densidad-unif.png}
  \end{center}
\end{frame}
%  plot (density (muestra <- rexp(25))); points (cbind (muestra, 0))
%  savePlot("graf/densidad-exp.png")
%  plot (density (muestra <- runif(25))); points (cbind (muestra, 0))
%  savePlot("graf/densidad-unif.png")

\begin{frame}
  \frametitle{Estimación de la función de densidad.}
  \framesubtitle{Ejercicios.}
  \begin{block}
    {Tareas por resolver:}
    \begin{itemize}
    \item Representar en una gráfica densidades teóricas y estimadas.
    \item Construir la función de densidad estimada.
    \end{itemize}
  \end{block}
\end{frame}

\end{document}

