Riesgo relativo (RR) y razón de cuotas (odds ratio, OR)
\(\newcommand{\mediana}{{\text{Me}}}\) \(\newcommand{\PR}[1]{{\Pr\left[#1\right]}}\) \(\newcommand{\binomial}[2]{{\mathcal B\left(#1,#2\right)}}\) \(\newcommand{\dif}{{\,\mathrm d}}\)
- situación del contraste de homogeneidad (dos poblaciones independientes)
- cuantificar efecto de factor sobre probabilidad de enfermar
- factor: \(F\) = fuma ; \(N\) = no
- \(E\) = enfermo ; \(S\) = sano
| \(E\) | \(S\) | ||
|---|---|---|---|
| \(F\) | \(a\) | \(b\) | \(n_F\) |
| \(N\) | \(c\) | \(d\) | \(n_N\) |
| \(n_E\) | \(n_S\) | \(n\) |
- riesgo de fumar \(p_F\) = \(\Pr[E\mid F]\), \(\hat p_F\) = \(\dfrac a{n_F}\)
- riesgo de no fumar \(p_N\) = \(\Pr[E\mid N]\), \(\hat p_N\) = \(\dfrac b{n_F}\)
1. riesgo relativo
- riesgo relativo RR = \(\dfrac{p_F}{p_N}\)
- si el factor no influye, entonces RR = \(1\)
- si el factor es de riesgo, RR \( > \) \(1\)
- si el factor es de prevención, RR \( < \) \(1\)
- estimador \(\widehat{\text{RR}}\) = \(\dfrac{\hat p_F}{\hat p_N}\) = \(\dfrac{a/n_F}{c_/n_N}\)
- ventaja del RR: interpretación fácil
inconveniente:
no calculable en muestreos diseñados (caso-control) pues
- se conoce \(\Pr[F\mid E]\)
- se desconoce \(\Pr[E]\)
- no se puede calcular \(\Pr[E\mid F]\)
2. razón de cuotas (odds ratio)
- cuota (odds) de un suceso de probabilidad \(p\) es \(\dfrac p{1-p}\)
- razón de cuotas = odds ratio = OR = \(\dfrac{\dfrac{p_F}{1-p_F}}{\dfrac{p_N}{1-p_N}}\) \(\implies\) \(\widehat{\text{OR}}\) = \(\dfrac{\dfrac{a/(a+b)}{b/(a+b)}}{\dfrac{c/(c+d)}{d/(c+d)}}\) = \(\dfrac{ad}{bc}\)
- \(p_F\), \(p_N\) \(\approx\) \(0\) \(\implies\) OR \(\approx\) RR
- no cambia si se considera la matriz traspuesta: \(\dfrac{\dfrac{\widehat\Pr[F\mid E]}{\widehat\Pr[N\mid E]}} {\dfrac{\widehat\Pr[F\mid S]}{\widehat\Pr[N\mid S]}}\) = \(\dfrac{\dfrac{a/(a+c)}{c/(a+c)}}{\dfrac{b/(b+d)}{d/(b+d)}}\) = \(\dfrac{ad}{bc}\) = \(\widehat{\text{OR}}\)
3. ejemplo
datos E = enfermedad coronaria ; F = fuma
E S F 84 2916 N 87 4913
X <- matrix (c(4913,2916,87,84), 2, dimnames=list(factor=c("N","F"),salud=c("S","E"))) epitools::riskratio (X) # ojo al orden; existe opción "rev" epitools::riskratio (t (X)) # incorrecto epitools::oddsratio (X) epitools::oddsratio (t (X))