Prueba de rachas

Variable \(X\) dicótoma.
- Toma valores \(A\) y \(B\).
\(R\) = número de rachas en la muestra \(\vec X=(X_1,\dots,X_n)\).
- \(\vec X=AAABBBBBBBAB\implies R=4\)
- \(n_A = \#\{X_i=A\} > 0\)
- \(n_B = \#\{X_i=B\} > 0\)
- \(R\) puede tomar valores \(r\in\{2, \dots, c\}\)
  - \(n_A=n_B\implies c=n\)
  - \(n_A\neq n_B\implies c=1+2\min\{n_A,n_B\}\)
- \(\Pr[R=r]\)
  - \(r\) par, \(r=2s\) \[\frac{2\binom{n_A-1}{s-1}\binom{n_B-1}{s-1}}{\binom n{n_A\,,\;n_B}}\]
  - \(r\) impar, \(r=2s+1\) \[\frac{\binom{n_A-1}{s}\binom{n_B-1}{s-1}+ \binom{n_B-1}{s}\binom{n_A-1}{s-1}} {\binom n{n_A\,,\;n_B}}\]
- Si \(n\gg0\), entonces \(R\stackrel{\sim}{\hookrightarrow}\mathcal N(E[R],D[R])\)
  - \(Y_i=[X_i\neq X_{i-1}]\) para \(i\in\{2,\dots,n\}\)
  - \(R=1+\sum_{i=2}^n Y_i\)
  - \(Y_i \hookrightarrow \mathcal B\left(\frac{2n_An_B}{n(n-1)}\right)\) pero dependientes pues \(R\le c\)
  - \(i\ne j\) \(\implies\) \(E(Y_iY_j)=\Pr[Y_i=1\cup Y_j=1]={}\) \[{}= \begin{cases} \frac{n_A}n\frac{n_B}{n-1}\frac{n_A-1}{n-2}+ \frac{n_B}n\frac{n_A}{n-1}\frac{n_B-1}{n-2}= \frac{n_A n_B (n_A-1+n_B-1)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{n_A n_B}{n(n-1)} & |i-j|=1 \\ \frac{4n_An_B(n_A-1)(n_B-1)}{n(n-1)(n-2)(n-3)} & |i-j| > 1 \end{cases}\]
  - \(E(R)=1+\frac{2n_An_B}{n}\)
  - \(\text{Var}(R)=\frac{2n_An_B(2n_An_B-n)}{n^2(n-1)}\)

/* Obtener Var(R) con Maxima */
n : nA+nB $
EYi : (2*nA*nB)/(n*(n-1)) $
VYi : factor(EYi*(1-EYi)) $
Svar : (n-1)*VYi $
EYiYi1 : (nA*nB)/(n*(n-1)) $ /* E(Y[i]Y[i+1]) */
EYiYj : 4*nA*nB*(nA-1)*(nB-1)/(n*(n-1)*(n-2)*(n-3)) $ /* |i-j| > 1 */
nScov : binomial(n-1,2) $ /* número de sumandos con covarianzas */
Smedprod : (n-2)*EYiYi1 + (nScov-(n-2))*EYiYj $
Sprodmed : nScov * EYi * EYi $
Scov : 2 * (Smedprod - Sprodmed) $
VR : Svar + Scov $
factor(VR) ;
/* EJECUCIÓN: */
Maxima 5.43.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.

                          2 nA nB (2 nA nB - nB - nA)
(%o12)                    ---------------------------
                                                  2
                           (nB + nA - 1) (nB + nA)

## Ejemplo en R
install.packages("snpar")
set.seed(13) # para p-valor polémico
n <- 10
(X <- sample (c("A","B"), n, TRUE)) # bajo H0
(rachas <- rle(X))
(R <- length(rachas$values)) # número de rachas
(Xn <- +(X=="A")) # runs.test exige vector numérico
snpar::runs.test(Xn)
snpar::runs.test(Xn, exact=TRUE) # p-valor cambia
## EJECUCIÓN:
R version 4.1.1 (2021-08-10) -- "Kick Things"
Copyright (C) 2021 The R Foundation for Statistical Computing
Platform: x86_64-pc-linux-gnu (64-bit)

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>   set.seed(13) # para p-valor polémico
>   n <- 10
>   (X <- sample (c("A","B"), n, TRUE)) # bajo H0

 [1] "B" "A" "B" "A" "B" "A" "B" "B" "B" "B"
>   (rachas <- rle(X))

Run Length Encoding
  lengths: int [1:7] 1 1 1 1 1 1 4
  values : chr [1:7] "B" "A" "B" "A" "B" "A" "B"
>   (R <- length(rachas$values)) # número de rachas

[1] 7
>   (Xn <- +(X=="A")) # runs.test exige vector numérico

 [1] 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0
>   snpar::runs.test(Xn)

        Approximate runs rest

data:  Xn
Runs = 7, p-value = 0.1408
alternative hypothesis: two.sided

>   snpar::runs.test(Xn, exact=TRUE) # p-valor cambia

        Exact runs test

data:  Xn
Runs = 7, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two.sided