Inferencia - Generalidades

• sea \(X_1,\dots,X_n\) una muestra aleatoria simple de \(X\)
• muestra ordenada: \((X_{(1)},\dots,X_{(n)})\) cumpliendo \[\min_{i=1}^n X_i = X_{(1)}\le X_{(2)} \le\dots\le X_{(n-1)}\le X_{(n)}=\max_{i=1}^n X_i\]
• \(X_{(k)}\) es el \(k\)-ésimo estadígrafo de orden
• sea \(F\) la ojiva de \(X\)
  • \(F_{X_{(n)}}(x) = F(x)^n\)
  • \(F_{X_{(1)}}(x) = 1-[1-F(x)]^n\)
  • \(F_{X_{(k)}}(x) = \sum_{j=k}^n{n\choose j} F(x)^j [1-F(x)]^{n-j}\)
• si \(X\) es continua, sea \(f\) su densidad
  • \( f_{X_{(k)}}(x) = n! \frac{F(x)^{k-1}}{(k-1)!} f(x) \frac{[1-F(x)]^{n-k}}{(n-k)!}\)
• más detalles en este fichero

\[ F_n(x) = \frac{\text{número de } X_i\le x}n = \frac1n\sum_{i=1}^n I_{(-\infty,x]}(X_i) = \frac1n\sum_{i=1}^n I_{[X_i,\infty)}(x) \]

• \(F_n(x)\) es estimador insesgado de \(F(x)\)
• \(F_n(x) \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow}{F(x)}\)
• por el Teorema Central del límite \[ \frac{F_n(x)-F(x)}{\sqrt{\frac{F(x)[1-F(x)]}n}} \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow} N(0,1) \]

• distancia entre ojiva empírica y teórica \[\Delta_n = \sup_{x\in\mathbf R} |F_n(x)-F(x)|\]
• teorema de Glivenco y Canteli \[ \Delta_n \stackrel{\text{c.s.}}{\longrightarrow} 0 \]
• más detalles en este fichero